1.3.1 函数的单调性教师：罗华荣 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：测试时间 t刚记忆完完毕20分分钟后后60分分钟后后8-9小小时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆保留保留量量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆保留量以上数据表明，记忆保留量y y是是时间时间t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯斯遗忘曲线遗忘曲线”, ,如图如图. .123tyo20406080100思考思考1:1:观察观察“艾宾浩斯遗艾宾浩斯遗忘曲线忘曲线”，你能发现什么，你能发现什么规律？规律？tyo20406080100123函数的单调性思考思考2:2:我们发现随着时间我们发现随着时间t t的增加，记忆保留量的增加，记忆保留量y y在不在不断减少；从图象上来看，断减少；从图象上来看，从左至右图象是在逐渐下降从左至右图象是在逐渐下降的。的。xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-21 1 1.从左至右图象从左至右图象 2.在区间在区间 (-, +)上，随上，随着着x的增大，的增大，f(x)的值随的值随着着 2.(0,+)上上从左至右图象从左至右图象上升上升， 当当x x增大增大时时f(x)f(x)随着随着增大增大 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上从左至右图象从左至右图象 当当x x增大增大时时f(x)f(x)随着随着 减小减小思考思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量自变量x的值增大时的值增大时,相应函数值是如何变化的？相应函数值是如何变化的？xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-21 11 1 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图象在该区间内逐渐上升；图象在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图象在该区间内逐渐下降。图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性思考思考2：通过上面的观察，如何用通过上面的观察，如何用图象上动点图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？思考思考3：如何用数学符号语言定义函：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？数所具有的这种性质？图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x01 21y方案1：在区间（0, )上取自变量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 图象逐渐 上升 方案二：对区间对区间D内内 任意任意 x1，x2 ，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f (x1)f (x2)方案1：在区间（0, )上取自变量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 图象逐渐 上升方案2:(0,+ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在在(0,+)内取任意的内取任意的x1，x2 且且x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2) y对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)都都设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.定定义义 任意任意如果对于如果对于区间区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )， D称为称为 f (x)的的单调单调增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间D上上 是单调是单调增函数增函数，区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升0 x1 1f (x1)f (x2)1 21y 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 ) ，当当x1单调区间单调区间如果函数如果函数 y y = =f f( (x x) )在区间在区间D D是单调增函数或单调减函是单调增函数或单调减函数，那么就说函数数，那么就说函数 y y = =f f( (x x) )在区间在区间D D上具有单调性。上具有单调性。（1 1）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个而言的，是一个局部性质局部性质; ;判断判断1 1：函数函数 f (x)= x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；xyo（2 2） x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性判断判断2 2：定义在定义在R上的函数上的函数 f ( (x) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则，则函数函数 f ( (x) )在在R上是增函数；上是增函数；yxO12f(1)f(2)解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有5,2）, ,2,1) ，1，3), 3，5.例例1 1. 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 5 5, ,55上的函数上的函数 y = f(x)的图象的图象, 根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间, 以以及在每一单调区间上及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函函数是增函数还是减函数？数？ 其中其中y=f(x)在区间在区间2，1)，3，5上是增函数；上是增函数；说明说明:1.:1.区间端点处若有定义写开写闭均可区间端点处若有定义写开写闭均可. . 2. 2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况 在区间在区间5，2），），1，3)上是减函数上是减函数. .- -432154312- -1- -2- -1- -5- -3 - -2xyO练一练练一练 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数区间上，函数是增函数还是减函数. 2544xyO- -1321解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有1,0）,0,2) ，2，4), 4，5.其中其中y=f(x)在区间在区间0，2)，4，5上是增函数上是增函数；在区间在区间1，0），），2，4)上是减函数上是减函数.例例2 证明函数证明函数 f(x) = 3 x2在区间在区间R上是增函数上是增函数例例2 证明函数证明函数 f(x) = 3 x2在区间在区间R上是增函数上是增函数设设 x1，x2 是是 R上任意两个实数，且上任意两个实数，且x1x2 证明：证明：则则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)= 3（x1-x2）由由 x1x2 ，得，得 x1 - x20于是于是 f(x1) - f(x2) 0即即 f(x1) f(x2)所以所以 f(x)=3x+2在在R上是增函数上是增函数 作差作差设值设值变形变形定号定号下结论下结论用定义证明函数单调性的四步骤用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设值）设值:在所给区间上任意设两个实在所给区间上任意设两个实 数数 （2）作差）作差（3）变形）变形 作差作差 ：常通过：常通过“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等等 手段将差式变形为因式乘积或平方和形式手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 判断判断 的符号的符号（4）结论）结论:并作出单调性的结论并作出单调性的结论设量设量判断差符号判断差符号作差变形作差变形下结论下结论课堂小结课堂小结1 1. . 两个定义：增函数、减函数的定义两个定义：增函数、减函数的定义；(定义法定义法)证明函数单调性，步骤证明函数单调性，步骤: :图象法判断函数的单调性图象法判断函数的单调性：增增函数的图象从左到右函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右上升上升下降下降3.一个数学思想：数形结合一个数学思想：数形结合2：两种方法：两种方法 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告诉告诉我们，对于一定量的气体，当其体积我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压减小时，压强强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。证明:12341.设值;2.作差变形;3.定号;4.下结论？画出函数画出函数 图象，写出定义域并写出单调区间图象，写出定义域并写出单调区间：xy_ , ,讨论：讨论：根据函数单调性的定义根据函数单调性的定义拓展探究拓展探究yOx 在在 (0 0,+) 上上任取任取 x1、 x2 当当x1yOx- -11- -11 取自变量取自变量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)不不能说能说 在在(- -,0 0) (0 0,+ +)上是上是减减函数函数 要写成要写成(- -,0 0)，(0 0,+ +)的形式。的形式。逗号逗号隔开隔开 巩固对区间对区间D内内 任意任意 x1，x2 ，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f (x1)f (x2)1 21方案1：在区间（0, )上取自变量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 图象逐渐 上升方案2:(0,+ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在在(0,+)内取任意的内取任意的x1，x2 且且x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2) y