学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲 (初三.11) 未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下， 解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组， 所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数 . 解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解， 或几个未知数的和(积 )等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质， 增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等. 二、例题例 1. 在实数范围内，解下列方程或方程组：0211122yxxx；x2+xy+y23x3y+3=0；4222zxyzyx解：根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零. 得不等式组01010122xxx解得 x2=1 而 x1, 21yx 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 0. x2+(y3)x+(y2 3y+3)=0. x 是实数， 0. 即( y3)24(y23y+3)0 . 解得(y1)20 . 而 (y 1)20. y=1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载11yx是原方程的解. 消去一元后，利用实数平方是非负数性质. 由得 z=2xy . 代入得2xy (2xy)24=0. 整理配方，得 (x2)2+(y2)2=0. 相加得0 的两个数，只有是互为相反数. 而 x, y 是实数，(x2)20，(y2)20. 满足等式的条件只能是：0202yx. 方程组的解是222zyx本题在消去z 后，也可以仿，写成关于x 的二次方程，用判别式求解. 例 2. 一个自然数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 4，求适合条件的最小自然数. 分析：本题有多种解法：交集法，设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，设二元，求二元一次方程的整数解. 解法一：除以4 余 1 的自然数集合：1，5，9， 13，17，21， 37；除以 5 余 2 的自然数集合：2，7，12，17， 37；除以 11 余 4 的自然数集合：4， 15，26，37， . 三个集合的公共元素中最小的自然数是37. 解法二：设所求的自然数为 4a+1 或 5b+2 或 11c+4 (a,b,c 都是自然数 ). 得方程组)2(41114)1 (2514caba由(1)得 a=41415bbb. 设kb41(k 为正整数 )，那么b=4k1，a=5k1. 由(2)得c=117911720113) 15(41134kkkka. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载要使1179k为整数， k 取最小正整数2. 这时 c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数是 37. 解法三：设所求的自然数为x, 则41x，52x，114x都是自然数 . 41x52x114x. 41x+114x52x也是自然数 . 设 y=41x+114x52x. 去分母，得200y=31x47. x=31163173147200yyy. y 取最小正整数5，能使31163y为整数 . x=37,即最小的自然数是37. 例 3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3 件，乙 7 件，丙 1 件共需 3.15 元；若购买甲4 件，乙 10 件，丙 1 件共需 4.20 元.问购买甲、乙、丙各 1 件共需几元？解：设甲，乙，丙每件分别为x,y,z 元. 根据题意，得)2(20. 4104) 1(15.373zyxzyx( 依题意只要求出x+y+z 的值 ) (1)3(2) 2：x+y+z=1.05 （元） . 答：买甲、乙、丙各 1 件共需 1.05 元. 例 4. 甲、乙两车分别从A、B 两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距 A 站 24 公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站 15 公里 .求 A、B 两站的距离 . 解：设 A、 B 两站的距离为x 公里，并引入辅助未知数V甲，V乙分别表示甲、乙两车的速度 . 根据题意，得)2(215)1(242乙甲乙甲VxVxVxVx( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载 方程 (2)左、右不等于零(1)(2)得224152xxxx. 解得，x=40；或x=12 (不合题意舍去 ). 答： A、B 两站的距离为40 公里 . 三、练习1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5 小时，甲，丙戊合作需5 小时，甲，丙，丁合作需6 小时，乙，丁，戊合作需4 小时 .问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9 元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6 元，厂方把这1.6 元又买了甲、乙两种布各1 尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700 米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400 米，求河的宽. 4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20 分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000 米，求水流的速度. 5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3 列纵队，则最后一行只有1 人；若排成5 列纵队，则最后一行只有 7. 人；排成 7 列纵队，则最后一行只有6 人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解：0311221yxx 5x2+6xy+2y2 14x8y+10=0 (x2+1)(y2+4)=8xy 052312yxyx8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做， 完成这件工程所需时间的b 倍.(其中 ba1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行 120 公里遇丙车，再行20 公里遇丁车；乙车在离西站126 公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载10. 三辆车 A，B，C 从甲到乙 .B 比 C 迟开 5 分钟，出发后20 分钟追上 C；A 比 B 迟开10 分钟，出发后50 分钟追上C.求 A 出发后追上B 的时间 . 11. 学生若干人住宿，如果每间4 人，有 20 人没房住；如果每间8 人，则有一间不满也不空 .求学生人数 . 12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5 小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7 小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时？参考答案1.3 小时，2.53 尺，3.1700 米.4.时速 1.5 公里 .5.6，3；4，46.97 人8.倍12abba. 9.引入各车的速度，解方程组144，210.10.250.11.44 人.12.35 小时 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页