学习必备欢迎下载初三数学期末复习专题提优抛物线与特殊三角形抛物线中的特殊三角形问题已经成为各地中考试题的热点题型之一，这类试题一般是通过运算考查等腰三角形或者直角三角形的判定条件，计算三角形的面积与周长，综合性强，区分度好， 沟通几何、 代数、 三角等知识间的联系，要求学生具有能够阅读图形、分析图形、分离基本图形的能力，较熟练地应用方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等常见的数学思想. 类型一抛物线与等腰三角形1.如图，抛物线的顶点是原点，抛物线经过点(8, 8),F点坐标为 (0, 2)，直线l为y=2，直线l平行于x轴.P点是抛物线上任意一点，过P点作PMl，垂足为M点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)求证 : PFMPMF; (3)当MPF是等腰直角三角形时，求P点的坐标 . 2.如图，抛物线212yxmxn与x轴交于,A B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D，已知( 1,0),(0,2)AC. (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标 ;如果不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载3.如图，抛物线2424455yxx与x轴相交于点,A B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点,M P是抛物线在x轴上方的一个动点(点,P M C不在同一条直线上 ).分别过点,A B作直线CP的垂线，垂足分别为,D E，连接,MD ME. (1)求点,A B的坐标 (直接写出结果 )，并证明MDE是等腰三角形 ; (2)MDE能否为等腰直角三角形?若能，求此时点P的坐标 ;若不能，说明理由; (3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点,P M C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点” ，其他条件不变，MDE能否为等腰直角三角形?若能，求此时点P的坐标 (直接写出结果 );若不能，说明理由. 4.如图，抛物线322xaxy与x轴交于 A、B 两点，且B（1 , 0） 。（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）如图 1，点 P 是直线xy上的动点， 当直线xy平分 APB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，已知直线9432xy分别与x轴y轴 交于 C、F 两点。点Q 是直线 CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y轴的平行线，交直线CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接QE。问以 QD 为腰的等腰 QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载类型二抛物线与直角三角形5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是 (4,0)，并且4OAOCOB，动点P在过,A B C三点的抛物线上. (1)求抛物线的表达式; (2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在， 求出所有符合条件的点P的坐标 ;若不存在，说明理由. 6.如图，直线2yx与抛物线26yaxbx相交于1 5(,)2 2A和(4,)Bm，点P是线段AB上异于,A B的动点，过点P作PCx轴，交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值 ?若存在， 求出这个最大值，若不存在，请说明理由 ; (3)当PAC为直角三角形时，求点P的坐标 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载7.如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线214yx交于,A B两点，其中点A的横坐标是 2. (1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标 ; (2)在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形?若存在，求出点C的坐标 ;若不存在，请说明理由; (3)过线段AB上一点P， 作/PMx轴，交抛物线于点M， 点M在第一象限， 点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，3MNMP的长度最大 ?最大值是多少? 8抛物线y=x2+4ax+b（a0）与 x 轴相交于O、A 两点（其中O 为坐标原点），过点P（2，2a）作直线 PMx 轴于点 M，交抛物线于点B，点 B 关于抛物线对称轴的对称点为C（其中 B、C 不重合），连接AP 交 y 轴于点 N，连接 BC 和 PC（1）a=23时，求抛物线的解析式和BC 的长；（2）如图 a1 时，若 AP PC，求 a的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载参考答案1.(1)218yx(2)2128PFx,21,2,8PMlPMxPFPMPFMPMF(3)(4,2)P2.(1)抛物线212yxmxn经过(0,2)C2n，把A点代入方程式得32m，抛物线表达式为213222yxx. (2)作如图辅助线，可得出抛物线的对称轴32x，C D P是等腰三角形，123CPDPDPCD. 12333535(, 4 ) ,(,) ,(,)22222PPP. 3.(1)作如图辅助线，90ADEBED由题意知，ADMBFM11,22DMDF EMDFDMEM，MDE是等腰三角形 . (2)能，如图，可推出AMDGME，2GMAM，(3,2)G设直线CP的表达式为ykxb，即32,4kbb解得24yx，设(,24)P mm，解得10m(舍去 )，272m，此时7(,3)2P. (3)能，点P的坐标为315(,)69. 4. （1）把 B（1,0）代入 y=ax2+2x-3 得 a+ 2-3=0,解得 a=1 y=x2+2x-3 ,A(-3,0) （2）若 y=x 平分 APB，则 APO= BPO如答图 1，若 P 点在 x 轴上方， PA 与 y 轴交于B点POB=POB=45 ， APO=BPO，PO=PO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载BOP OPB OBBO=1,)1 ,0(BPA: y=3x+1 ），（2323P若 P 点在 x 轴下方时，APOPOBBPO综上所述，点P 的坐标为），（2323（3）如图 2，做 QHCF，CF:y=23-49，C23,0,F490,tanOFC=23OCOFDQy 轴 QDH=MFD =OFCtanHDQ =32不妨记 DQ=1,则 DH =213t,HQ=313tQDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形若 DQ=DE,则213 13226DEQSDEHQt若 DQ=QE,则21143622131313DEQSDEHQttt23 1326t2613t当 DQ=QE 时则 DEQ 的面积比DQ=DE 时大设 Q224,23 ,39x xxD xx则当 DQ=t=2224423233939xxxxxmax23.3xt当时，2max6541313S DEQt以 QD 为腰的等腰5413QDE的面积最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载5.(1)设抛物线的表达式为2(0)yaxbxc a，得到方程组016404abcabcc，可解得抛物线表达式为234yxx. (2)存在 . 当以C为直角顶点时，过点C作1CPAC交抛物线于点1P，过点1P作y轴的垂线，垂足为M. 由题意可推出11,MCPOAC MCMP, 设21(,34)P mmm，解得10m(舍去 )，22m，1(2,6)P.当以A点为直角顶点， 过点A作2APAC交抛物线于2P，交y轴于F，过点2P作y轴的垂线，垂足为N. 2/P Nx轴，2P NNF. 设22( ,34)P nnn，解得12n，24n(舍去 )，2( 2,6)P. 6.(1)由题意得6,(4,6)mB. 1 5(,),(4,6)2 2AB在抛物线26yaxbx上，解得2,8ab，抛物线表达式2286yxx. (2)设动点2( ,2),( ,286)P n nC nnn294 92 ()48PCn，20a，当94n时，PC取得最大值498，此时9 17(,)44P. 综上，存在符合条件的点9 17(,)44P，使线段PC的长有最大值498. (3)显然90APC，当90PAC时，如图，设直线AC的解析式为yxb. 代入1 5(,)2 2A，解得3b，由23286xxx，得13x或212x(舍去 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载当3x时，坐标为(3,5)P. 当90PCA时，如图，由1 5( ,)2 2A知C点的纵坐标52y，由252862xx，得112x(舍去 )，272x，当72x时，此时，坐标为7 11(,)22P. 综上知，满足条件的点有两个，坐标分别为(3,5)P或7 11(,)22P. 7.(1)设函数关系式为ykxb，将(0,4),(2,1)代入，解得3,42kb. 函数关系式为342yx. 点B的坐标为(8,16). (2)作如图辅助线，若90BAC，则222ABACBC，解得12m.若90ACB，则222ABACBC，解得0m或6m.若90ABC，则222ABBCAC，解得32m. 综上，点C的坐标为1(,0),(0,0),(6,0),(32,0)2. (3)设21( ,)4M aa,如图，在Rt MQN中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载213394M NM Paa当6a时，又268，21394aa取到最大值18. 当点M的横坐标为6 时，3MNMP的长度最大，最大值是18. 8.（1）抛物线y=x2+4ax+b（ a0）经过原点O，b=0，a= ，抛物线解析式为y=x2+6x，x=2 时， y=8，点 B 坐标（ 2，8），对称轴x=3，B、 C 关于对称轴对称，点 C 坐标（ 4，8）， BC=2（2） APPC， APC=90 ， CPB+APM=90 ， APM+PAM=90 ， CPB=PAM， PBC=PMA=90 ， PCB APM，=，=，整理得 a24a+2=0，解得 a=2，a0，a=2+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页