1 / 9 经济数学基础作业4 知识要点： 1 掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。2知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道极值点与驻点的关系，会求函数的极值。3会求需求对价格的弹性。4熟练掌握经济分析中求最大（小）值的方法（求平均成本的最小值，利润的最大值）。5熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。6了解微分方程的几个基本概念：微分方程、阶、解（通解、特解）及线性微分方程等。7 掌握可分离变量微分方程的解法，掌握一阶线性微分方程的解法。8理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。（一）填空题1.函数)1ln(14)(xxxf的定义域为_解：要使)(xf有意义，则要求110104xxx，解不等式组得：214xxx，因此，定义域为4 ,2()2, 1(。2.函数2) 1( 3 xy的驻点是_，极值点是，它是极值点. 解：)1)(1(23xxy=)1(6 x令0y得：1x因此，所求驻点是1x，极值点是1x，它是极小值点。06y求初等函数的定义域，一般要满足：（1）分式中分母的表达式不为零；（2）根式中偶次根号下的表达式大于或等于零；（3）对数中真数的表达式大于零。1 使0)(xf的点称为函数)(xf的驻点。2 设0)(0xf，且0)(0xf（1）若0)(0xf，则0x为极小值点；（2）若0)(0xf，则0x为极大值点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 / 9 3.设某商品的需求函数为2e10)(ppq，则需求弹性pE. 解：有弹性公式)10(1022pppeepqqpE=2)21(101022peeppp。4.若线性方程组002121xxxx有非零解，则= 解：系数矩阵1011111A当方程有非零解，则2)(Ar（未知量个数），则1。5.设线性方程组bAX，且010023106111tA，则_t时，方程组有唯一解 . 解：要使线性方程组bAX有唯一解，则要求nArAr)()(（方程未知量个数），因此，当1t时，3)()(ArAr，方程组有唯一解。（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）AsinxBe xCx 2 D3 x 解：函数sinx ， e x，x 2均为基本初等函数，由它们的性质知：函数 e x在区间(,)上是单调增加。该题正确答案为：B2. 设xxf1)(，则)(xff（）Ax1 B21x Cx D2x解：因为xxf1)(，则xxfxffx11)1()(，该题正确答案为：C3. 下列积分计算正确的是（）A110d2eexxxB110d2eexxx齐次方程组0AX有非零解的 充 分 必 要 条 件 为 ：nAr)(，（n为方程组中未知量的个数）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 / 9 C0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-解：注意到：定积分aadxxf)(，（1）当)(xf为奇函数时，则0)(aadxxf；（2）当)(xf为偶函数时，则aaadxxfdxxf0)(2)(。答案 A 中设2)(xxeexf，22)()(xxxxeeeexf=)(xf，因此，110d2eexxx，该题正确答案为：A4. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（）AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(解：该题正确答案为：D5. 设线性方程组33212321212axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件是（）A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa解：1321321110110011121110011aaaaaaaA21321000110011aaaaa方程组有解的充分必要条件是：)()(ArAr，即0213aaa，即0321aaa，该题正确答案为：C三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 / 9 (1) yxye解：原方程变形为：dxedyexy方程两边积分得：dxedyexyceexy即为方程通解 . （2）23eddyxxyx解：原方程变形为：dxxedyyx23方程两边积分得：dxxedyyx23cexedxexexdeyxxxxx3cexeyxx3即为方程通解 . 2. 求解下列一阶线性微分方程：（1）32xyxy解：由一阶线性微分方程通解公式：)()()(cdxexqeydxxpdxxp得原方程通解：)()2(3)2(cdxexeydxxdxx=)(ln23ln2cdxexexx=)1(232cdxxxx=)2(22cxx（2）xxxyy2sin2解：由一阶线性微分方程通解公式：)()()(cdxexqeydxxpdxxp得原方程通解：)2sin2()1()1(cdxxexeydxxdxx =)2sin2(lnlncdxxexexx =)2sin2(cxdxx =)2cos(cxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 / 9 3.求解下列微分方程的初值问题：(1)yxy2e,0)0(y解：原方程变形为：dxedyexy2方程两边积分得：dxedyexy2ceexy221即为方程通解将0)0(y代人通解得：cee0021则21c因此，原方程特解为：21212 xyee(2)0exyyx,0) 1(y解：原方程变形为：xexyyx由一阶线性微分方程通解公式：)()()(cdxexqeydxxpdxxp得方程通解：)(11cdxexeeydxxxdxx =)(lnlncdxexeexxx =)(1)(1cexcxdxxexxx将0) 1(y代人通解得：)(110ce，则ec原方程特解为：)(1eexyx4.求解下列线性方程组的一般解：（1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx解：000011101201111011101201351223111201A所以，方程的一般解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 / 9 4324312xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）（2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解：51147111112241215114712412111112A000003735024121373503735024121000005357531054565101000005357531024121一般解：535753545651432431xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）5.当为何值时，线性方程组43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。解：141826203913103913102451110957332231131224511A800000000039131024511000008000039131015801当8时，42)()(ArAr，方程有无穷多解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 / 9 方程的一般解为：3913158432431xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）5ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221解：1140112011113122111111babaA330011201111ba当3a且3b时，方程组无解；当3a时，方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组无穷多解。6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元） , 求：当10q时的总成本、平均成本和边际成本；当产量q为多少时，平均成本最小？解：1851061025.0100)10(2C（万元）；5 .1810)10()10(CC（万元 / 单位）；102)625.0100()10(qqqC=11)65.0(10qq（万元 / 单位） .平均成本：625.0100)()(qqqqCqC，0q25.0100)625.0100()(2qqqqC令0)(qC得唯一驻点20q求经济最值问题的解题步骤：（ 1 ） 列 出 目 标 函 数（就是所求实际问题达到最值的经济函数，比如利润函数或平均成本函数等）；（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于0，求出驻点；（3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点；（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 / 9 0200)20(203qqC因此，当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低。（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201. 0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解：收入函数201.014)01.014()(qqqqpqqR利润函数)()()(qCqRqL=)01. 0420(01. 01422qqqq2002. 0102qqqqL04.010)(令0)(qL得唯一驻点250q004.0)250(L因此，当产量为250 个单位时可使利润达到最大，且最大利润为：1230)201002.0()250(2502qqqL（元）。（3）投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为402)(xxC(万元 /百台 )试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4 百台增至6 百台时，总成本的增量为6464)402()(dxxdxxCC100)40(642xx（万元）总成本函数00)()(CdqqCxCx364036)402(20xxdqqx平均成本：0,3640)()(xxxxxCxC2361)(xxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 / 9 令0)(xC得唯一驻点6x072)6(63xxC因此，当产量为6 百台时，平均成本达到最低. （4）已知某产品的边际成本)(xC=2（元 /件），固定成本为0，边际收益xxR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解：边际利润)()()(xCxRxLxx02.010202.012令0)(xL得唯一驻点500x，002.0)500(L因此，当产量为500 件时，利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润增量550500550500)02.010()(dxxdxxLL25)01.010(5505002xx即利润将减少25 元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页