学习必备欢迎下载等差数列的前n 项和例题解析【例 1】等差数列前10 项的和为140，其中， 项数为奇数的各项的和为125，求其第6 项解依题意，得10ad = 140aaaaa = 5a20d =125113579110 1012()解得 a1=113，d=22 其通项公式为an=113(n1)( 22)=22n135 a6=22 61353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先求出基本元素， 再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而直接去求，所列方程组化简后可得相减即得，a2a9d = 28a4d = 25a5d = 36111即 a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提【例 2】在两个等差数列2，5，8， 197 与 2， 7，12， 197中，求它们相同项的和解由已知，第一个数列的通项为an3n1；第二个数列的通项为bN=5N 3 若 ambN，则有 3n 15N3 即 nN213()N若满足 n 为正整数，必须有N3k 1(k 为非负整数 )又 25N3 197，即 1N 40，所以N1，4，7， 40 n=1， 6，11， 66 两数列相同项的和为21732 197=1393 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载【例 3】选择题：实数a，b，5a，7，3b， c组成等差数列，且ab5a73b c 2500，则 a，b，c 的值分别为 A1，3，5 B1，3，7C1，3， 99 D1， 3，9 解 C2b = a5ab = 3a由题设又145a 3b，a1，b 3 首项为1，公差为2 又 S = nad 2500= n2 n50n1n nn n()()1212a50=c=1 (501)2=99 a 1，b3，c99 【例 4】在 1 和 2 之间插入2n 个数， 组成首项为1、末项为 2 的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数解依题意 21(2n21)d 前半部分的和后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知，有化简，得解之，得SSnndnndndndnn111 121 229131222913()()()() nd =511由，有 (2n 1)d=1 由，解得，d =111n = 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载 共插入 10 个数【例 5】在等差数列 an中，设前 m 项和为 Sm，前 n 项和为 Sn，且 SmSn，mn，求 Sm+n解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn)a(mn1)dm+n11 1212且 SmSn，mn整理得 mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1) = 011112122d即 由 ，知 (mn)a(mn1)d = 0mna(mn1)d0111212Sm+n0【例6】已知等差数列 an中， S3=21， S6=64，求数列 |an|的前n项和 Tn分析nS = nadan11等差数列前项和，含有两个未知数，n n()12d，已知 S3和 S6的值，解方程组可得a1与 d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来解dSnad3a3d = 21ba15d = 24n111设公差为，由公式得n n() 12解方程组得：d 2，a19精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载an 9(n1)(n2) 2n11 由得 ，故数列的前项为正，a2n110 n= 5.5a 5nn112其余各项为负数列an的前 n 项和为：S9n(2) =n10nn2n n()12当 n5 时， Tn n2 10n当 n6 时， TnS5|SnS5| S5(Sn S5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50 即T=n10n n5n10n50 n6n*n22N说明根据数列 an 中项的符号，运用分类讨论思想可求|an|的前n项和【例 7】在等差数列 an 中，已知a6a9a12a1534，求前20 项之和解法一由 a6 a9a12 a1534 得 4a138d34 又S20ad2012019220a1190d5(4a138d)=5 34=170 解法二 S=(a + a)202= 10(aa)20120120由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载S20170 【例 8】已知等差数列 an的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20 项的和 S20的值解法一设等差数列 an的公差为d，则 d0，由已知可得(a2d)(abd)12 a3da5d =4 1111由，有a1 24d，代入，有d2=4再由 d0，得 d2 a1=10 最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得：a4a6a3a7即 a3a7 4 又 a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程 x24x120 的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增数列a3 6，a7=2 d =a= 2a10S1807120a373，【例 9】等差数列 an、 bn 的前 n 项和分别为Sn和 Tn，若STnnabnn231100100，则等于 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载A1BCD23199299200301分析nS=n(a +a )nn1n该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前 项和的值与项的值进行联系abSTnnnn1001002312解法一，Sn aaTn bbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()111111222312a100a1 a199，2b100b1b199选abab100100199199=ab=21993199 +1=199299C11解法二利用数列 an为等差数列的充要条件：Sn an2bn STnnnn231可设 Sn2n2k，Tnn(3n1)kabSSTTn knknnknnknnnnabnnnnnn1122100100221311 311426221312100131001199299()()() ()说明该解法涉及数列an 为等差数列的充要条件Sn=an2bn，由已知，将和写成什么？若写成，STnnnn231STS= 2nkT = (3n1)knnnnk 是常数，就不对了【例 10】解答下列各题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载(1)已知：等差数列an 中 a23，a6 17，求 a9；(2)在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an 中， a4a6 a15a1750，求 S20；(4)已知：等差数列an 中， an=333n，求 Sn的最大值分析与解答(1)a= a(62)d d=5621734a9=a6(96)d= 173(5)=32(2)a1=19， an+2=89，Sn+21350 S=(a +a)(n +2)2n2 =2135019+89= 25 n= 23a= a= a24d d =3512n+21n+2n+2251故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数21111286112351223(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21 a4 a17=a6a15=25 S=(a + a)2020120210250417()aa(4)an=333n a130S=(a + a )n2n1n()()633232632322123218222n nnnnnN，当 n=10 或 n=11 时， Sn取最大值165精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载【例 11】求证：前n 项和为 4n2 3n 的数列是等差数列证设这个数列的第n 项为 an，前 n 项和为 Sn当 n2 时， anSnSn-1an (4n23n) 4(n 1)23(n1) =8n1 当 n=1 时， a1=S1=43=7 由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有 an=8n1 又 an+1an8(n1) 1 (8n1)8 这个数列是首项为7，公差为8 的等差数列说明这里使用了“ an=Sn Sn-1”这一关系使用这一关系时，要注意，它只在 n2 时成立因为当n1 时， Sn-1=S0，而 S0是没有定义的所以，解题时，要像上边解答一样，补上n1 时的情况【例 12】证明：数列 an的前 n 项之和 Sn an2bn(a、b 为常数 )是这个数列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2bn，得当 n2 时， anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1) =2naba a1S1ab 对于任何nN，an2naba 且 anan-1=2na(b a) 2(n1)ab a 2a(常数 ) an是等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载若an是等差数列，则Snad= dn(ad)=d2n11n nnnnn ad()()()1212221若令，则，即dd22= aa= b1Sn=an2bn综上所述， Sn=an2 bn 是an成等差数列的充要条件说明由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为Sn=an2bnc 的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上， 设数列为 un ，则：充分性是等差数列必要性是等差数列 c = 0Sanbu u Sanbnc0n2nnnn2【例 13】等差数列 an的前 n 项和 Snm，前 m 项和 Smn(mn)，求前 mn 项和 Sm+n解法一设an的公差 d 按题意，则有SnadmSmadn (mn)ad = nmn1m11，得n nm mmn mn()()()()121212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载即ad =11mnSmn amn mndmn amndm n12121211()()()()()=(mn)解法二设 SxAx2Bx(x N) AmBmn AnBnm 22，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(m n)B=1 故 A(m n)2B(mn) (mn) 即 Sm+n (mn) 说明a1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了 ，这种设而不ad11mn12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2Bx(xN)【例 14】在项数为2n 的等差数列中， 各奇数项之和为75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为27，则 n 之值是多少？解S偶项S奇项=nd nd=9075=15 又由 a2n a127，即 (2n1)d=27 nd15 (2n1)d27n = 5【例 15】在等差数列 an中，已知 a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值解法一建立 Sn关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载根据题意：，S=17adS9ad1719117162982a1=25，S17S9解得 d 2S25n(2) =n26n =(n13)169n22n n()12当 n=13 时， Sn最大，最大值S13169解法二因为 a1=250，d 20，所以数列 an是递减等差数列，若使前项和最大，只需解，可解出na0a0nnn+1a1 25，S9S17 ，解得9252d =1725dd =29817162an=25(n 1)(2)=2n272n2702(n1)270n13.5n12.5n = 13即前 13 项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S13=169解法三利用 S9=S17寻找相邻项的关系由题意 S9=S17得 a10a11a12 a17=0 而 a10a17=a11 a16=a12 a15=a13a14a13a140，a13=a14a130，a140 S13=169 最大解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的nan是等差数列可设 SnAn2Bn 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载二次函数y=Ax2Bx 的图像过原点，如图321 所示S9S17， 对称轴 x =9 +172= 13取 n=13 时， S13169 最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页