学习必备欢迎下载函数与四边形综合类型题教案教师姓名辅导科目授课时间教材版本教辅材料苏初四数学人教版教师选印教学目标1、 学会对函数综合题如何分析的一般规律。掌握二次函数与四边形综合题的解题思路及分析方法。授课纲要及重、难点提示通过对典型二次函数综合题的剖析，使其掌握一般的解题分析方法及技巧，提高综合分析解决问题的能力。重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握。教学过程一、 复习二、典例分析（一）、与平行四边形相关例 1如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B 两点，其中A 点的坐标为 (3,4)，B 点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点P 与 A、B 不重合），过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段 PE的长为h，点 P 的横坐标为x ，求h与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3） D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点P， 使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 例 1 图例 3 图例2、抛物线223yxx与 x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D. （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点， 过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为 m ：用含 m 的代数式表示线段PF的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与 m 的函数关系式解： （1）A（- 1，0） ，B（3， 0） ，C（0，3） ，抛物线的对称轴是：x=1（ 2）设直线BC 的函数关系式为：y=kx+b 把 B（3，0） ，C（0，3）分别代入得：303kbb，解得： k= - 1，b=3所以直线BC 的函数关系式为：3yx当 x=1 时， y= - 1+3=2， E（1，2） 当xm时，3ym，x y D C A O B E P F M 例 2 图CyxOBAM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载P（m，m+3） 在223yxx中，当1x时，4y14D， 当xm时，223ymm，223F mmm，线段DE=4- 2=2，线段222333PFmmmmmPFDE，当PFED时，四边形PEDF为平行四边形由232mm，解得：1221mm，（不合题意，舍去） 因此，当2m时，四边形PEDF为平行四边形设直线PF与x轴交于点M，由3 00 0BO， ， ，可得：3OBOMMBBPFCPFSSS即1111()2222SPF BMPF OMPFBMOMPF OB221393303222Smmmmm例3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过40A， ，04B，20C，三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m ，AMB的面积为S求S关于 m 的函数关系式，并求出S的最大值 （ 3）若点P是抛物线上的动点，点Q 是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点PQBO， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标CyxOBAM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 4、解（ 1）略。例 5、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364yx与 x轴、y轴的交点分别为AB、，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点.C（1）直接写出点C的坐标，并求过ABC、 、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 TQ， 为线段BT上一点，直接写出QAQO 的取值范围例 5 图xy11MPGDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载解： （1）点 C 的坐标为(3,0). - 点 A、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)AB， 可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)ya xx. 将0,6xy代入抛物线的解析式，得14a. 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为2111644yxx. （2）可得抛物线的对称轴为112x，顶点 D 的坐标为1125(,)216，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G.直线 BC 的解析式为26yx，设点 P 的坐标为( , 26)xx. 解法一：如例5 图，作 OPAD 交直线 BC 于点 P，连结 AP，作 PMx 轴于点 M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD.PMDGOMGA，即2526161182xx. 解得167x. 经检验167x是原方程的解. 此时点 P 的坐标为16 10(,)77.但此时165,72OMGA，OMGA.,coscosOMGAOPADPOMGADPOMGAD OPAD，即四边形的对边OP 与 AD 平行但不相等， 直线 BC 上不存在符合条件的点P.解法二：如图9，取 OA 的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点P，作 PNx 轴于点 N. 则 PEO=DEA，PE=DE. 可得 PEN DEG 由42OAOE，可得 E 点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OENE=52， NP=DG=2516. 点 P 的坐标为5 25(,)2 16. x=52时，52526261216x， 点 P 不在直线BC 上. 直线 BC 上不存在符合条件的点P .（3）QAQO的取值范围是04QAQO. 例 6、图 10 xyT11CBAOHQK图 9 xy11NEGDCBAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 6 图例 8 图（二）、与菱形相关例 7、如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，6AD，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程27120xx的两个根，且OAOB（1）求sinABC的值（2）若E为x轴上的点， 且163AOES，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断AOE与DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）解27120xx得1243xx，所以OA 大于 OB,43OAOB，在RtAOB中，由勾股定理有225ABOAOB,4sin5OAABCAB（2）点E在x轴上，163AOES,11623AOOE,83OE,880033EE， 或，由已知可知D（6，4）设DEykxb，当803E，时 有 ,46803kbkb解 得65165kb,61655DEyx, 同 理803E，时 ，6161313DEyx在AOE中，89043AOEOAOE ，,在AOD中，9046OADOAOD ，, ，AOEDAO。（3） 满足条件的点有四个123475224244(3 8)( 3 0)1472525FFFF，；，；，；，例 8、x y A D B O C 例 7 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载DP2P1yxBAO（三）、与梯形相关例 9、直线)0(kbkxy与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程048142xx的两根（OBOA） ，动点P从O点出发，沿路线OBA以每秒 1 个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止（1）直接写出A、B两点的坐标；（2） 设点P的运动时间为t(秒 )，OPA的面积为S， 求S与t之间的函数关系式 （不必写出自变量的取值范围）；（3）当12S时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解： . (1) )6,0(),0,8(BA. (2) 8OA，6OB，10AB当点P在OB上运动时，tOP1，ttOPOAS4821211当点P在BA上运动时，作OADP2于点D，有ABAPBODP22ttAP161062，53482tDP51925125348821212ttDPOAS（3）当124t时，3t，)3 ,0(1P，此时，过AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在，当125192512t时，11t，)3,4(2P，此时，)3, 0(1M、)6,0(2M。例 10、 如图， 在菱形ABCD中，2ABcm ，60BAD，E为CD边中点， 点P从点A开始沿AC方向以每秒2 3 cm的速度运动，同时，点Q 从点D出发沿DB方向以每秒 1cm 的速度运动，当点P到达点C时， PQ， 同时停止运动，设运动的时间为x 秒 （1）当点P在线段AO上运动时请用含x 的代数式表示OP的长度；若记四边形PBEQ 的面积为y，求y关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；2）显然，当0x时，四边形PBEQ 即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以PBEQ， 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由OPEQDCBAQHEOACBDPQHEOACBDPQHEOACBDP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载（1）由题意得BAO=30 ， ACBD AB=2 OB=OD=1 ， OA=OC=3OP=32 3x过点 E作 EH BD ，则 EH为 COD 的中位线，1322EHOCDQ=x BQ=2-x 113(2)(32 3 )(2)222BPQBEQySSxxx211 33 3342xx（2）能成为梯形，分三种情况：当 PQ BE时， PQO= DBE=30 3tan303oOPOQ即32 3313xxx=25此时 PB不平行 QE ， x=25时，四边形PBEQ 为梯形 . 当 PE BQ时， P为 OC中点AP=3 32，即3 32 32x34x此时，BQ=2-x=54PE ， x=34时，四边形PEQB为梯形 . 当 EQ BP时， QEH BPO HEQHOPBO312212 33xxx=1（ x=0 舍去）此时， BQ不平行于PE ， x=1 时，四边形PEQB 为梯形 . 综上所述，当x=25或34或 1 时，以 P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形. 例 11、如图，P为正方形ABCD的对称中心，03A，10B， ，直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿 x 轴的正半轴方向以1 个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2 个单位每秒速度运动，运动时间为 t 求：（1）C的坐标为； （2）当 t 为何值时，ANO与DMR相似？（3）求HCR的面积S与 t 的函数关系式；并求以ABCR， 为顶点的四边形是梯形时t 的值及S的最大值（1）（，）（ 2）当 MDR 45时， 2, 点（ 2，0）当 DRM 45时， 3, 点（ 3， 0）HyxPNMRODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载（）21（） ； （1 分）21（）当时，413，3239当时，29，89当时，31，1811）例 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点( 3 ,1)A关于 x 轴的对称点为C，AC与 x轴交于点B，将OCB沿OC翻折后，点B落在点D处 （1）求点C、D的坐标；（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点， 过点P作y轴的平行线， 交抛物线于点Q 当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P的坐标；当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P的坐标 . 解：（1） 如图所示， 点( 3 ,1)A关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B， ACx轴于B，( 3 ,0)B，( 3 ,1)C1,3BCABOB2,130,360OC，由题意可知2130，3ODOB30NOD过点D作DMx轴于M，DNy轴于N， 在Rt OND中，1322DNOD, 332ONDN 由矩形ONDM得32OMDN点D在第四象限33,22()D（2）设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为2yaxbx. 依题意得333,422330.abab解得2,2 3.ab此抛物线的解析式为222 3yxx3478OyxMQ1CDNBP121P2Q2E6A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载提交时间：教务审批：（3）223322 32()22yxxx，点D为抛物线的顶点直线DM为抛物线的对称轴，交OC于E，由题意可知4360，90ODC，60OEM，660，760，EDC是等边三角形，830112CEDEOEOC当点1P在EC上时，四边形11EDQ P为等腰梯形. DMy11PQ，1EP与1DQ不平行，四边形11EDQ P为梯形 . 要使梯形11EDQ P为等腰梯形，只需满足1660EDQ. 760, 点1Q在DC上. 由( 3 ,1)C、33,22()D求 得 直 线CD的 解 析 式 为323yx. 又 点1Q在 抛 物 线 上 ， 2322 323xxx. 解得12233 ,32xx（与点D重合，舍） .1P点横坐标为233.由(0 , 0)O、(3 ,1)C求得直线OC的解析式为33yx.点1P在OC上，32 32333y12 32(,)33P当点2P在OE上时，四边形22EDQ P为平行四边形，此时2P点坐标为231(,)33P. 综上所述，当12 32(,)33P时，11EDQ P为等腰梯形；当231(,)33P时，22EDQ P为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页