平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和思考已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎样用a 与 b 的坐标表示a b？上述结论是怎样推导的？答案推导： ax1iy1 j，bx2iy2 j，a b(x1iy1 j) (x2iy2 j)x1x2i2x1y2i jx2y1 j iy1y2 j2.又 i i1， j j1，i j j i0，a bx1x2y1y2.知识点二平面向量的模(1)向量模公式：设a(x1，y1)，则 |a|x21y21.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12 y2y12.思考设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式答案推导： ABOB OA(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12 y2y12.知识点三平面向量夹角的坐标表示设 a，b 都是非零向量，a(x1，y1)，b (x2，y2)， 是 a 与 b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.特别地，若ab，则有 x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，则 ab.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页思考(1)已知向量a(2,1)，b(1，x)，ab 则 x_.(2)若 a(3,0)，b(5,5)，则 a 与 b 的夹角为 _(3)已知 A(1,2)，B(2,3)，C( 2,5)，则 ABC 的形状是 _三角形答案(1)2(2)34 (3)直角题型一平面向量数量积的坐标运算例 1已知 a 与 b 同向， b(1,2)，ab10.(1)求 a 的坐标；(2)若 c(2， 1)，求 a(bc)及(ab)c.解(1)设 a b( ，2 ) ( 0)，则有 ab 4 10， 2，a(2,4)(2)bc12210，ab1 22410，a(bc)0a 0，(ab)c10(2， 1)(20， 10)跟踪训练1已知 a(3， 2)，b(4，k)，若 (5a b) (b3a) 55，试求 b 的坐标解a(3， 2)，b(4，k)，5ab(11， 10k)b3a(5，k6)，(5ab) (b3a)(11， 10k) (5 ，k6) 55(k10)(k 6) 55，(k10)(k6)0，k 10 或 k 6，b(4， 10)或 b(4， 6)题型二平面向量的夹角问题例 2已知 a(1,2)，b(1， )，分别确定实数 的取值范围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角； (2)a 与 b 的夹角为钝角；(3)a 与 b 的夹角为锐角解设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab(1,2) (1， )12 .(1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以cos 0，所以 ab0，所以 12 0，所以 12.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以cos 0 且 cos 1，所以 ab0 且 a 与 b不反向由 ab0 得 12 0，故 0，且 cos 1，所以 ab0 且 a，b 不同向由 ab0，得 12，由 a 与 b 同向得 2.所以 的取值范围为12，2 (2， )跟踪训练2已知 a(1， 1)， b( ，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的取值范围解a(1， 1)，b ( ，1)，|a|2，|b|12，a b 1.a，b 的夹角 为钝角 10，2121 ，即 1，22 10. 0，由 a b|a|b|cos 知，只需 ab0，即 123 0，即 23.错因分析本题误以为两非零向量a 与 b 的夹角为锐角等价于ab0，事实上，两向量的夹精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页角 0， ，当 0 时，有 cos 10，对于非零向量a 与 b 有 ab0.两非零向量a 与 b的夹角为锐角的等价条件是ab0 且 a 不平行于 b.正解由 为锐角， 得 cos 0 且 0，由 ab|a| |b|cos ，而|a|、|b|恒大于 0，所以 ab0，即 123 0，即 23；若 ab，则 1 230，即 6，但若 ab，则 0 或 ，这与 为锐角相矛盾，所以 6.综上， 23且 6.1已知 a(3， 1)，b(1， 2)，则 a 与 b 的夹角为 ()A.6B.4C.3D.22已知向量a (1，n)，b (1，n)，若 2a b 与 b 垂直，则 |a|等于 ()A1 B.2 C2 D43已知向量m( 1,1)，n( 2,2)，若 (mn)(mn)，则 等于 ()A 4 B 3 C 2 D 14已知平面向量a(2,4)，b( 1,2)，若 c a(a b)b，则 |c|_.5已知 a(4,3) ，b(1,2)(1)求 a 与 b 的夹角的余弦；(2)若(a b)(2ab)，求实数 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页一、选择题1已知向量a (5,6)，b(6,5)，则 a 与 b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向2已知 a(3,2)，b (1,0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为 ()A17B.17C16D.163平面向量a 与 b 的夹角为60 ， a(2,0)，|b|1，则 |a2b|等于 ()A.3 B2 3 C4 D 124已知 OA( 2,1)，OB(0,2)，且 ACOB，BC AB，则点 C 的坐标是 ()A(2,6) B(2， 6)C(2,6) D(2,6)5已知向量a (2,1)，a b10，|ab|52，则 |b|等于 ()A.5 B.10 C5 D256已知向量a (1,2)，b(2， 3)若向量c 满足 (ca)b，c(ab)，则 c 等于 ()A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73二、填空题7已知 a(3，3)，b(1,0)，则 (a2b) b_.8若平面向量a(1， 2)与 b 的夹角是180 ，且 |b|4 5，则 b_.9若 a(2,3)， b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_10设a (2， x)， b ( 4,5) ，若a 与b 的夹角 为钝角，则x 的取值范围是_三、解答题11在 ABC 中， AB(2,3)，AC(1，k)，若 ABC 是直角三角形，求k 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页12已知平面向量a(1， x)， b(2x3， x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求 |a b|.13已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1)求证： AB AD；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页当堂检测答案1答案B解析|a|10，|b|5，a b 5.cosa，ba b|a|b|510522.又 a，b0， ，a 与 b 的夹角为4.2答案C解析(2ab) b2a b|b|22( 1n2)(1n2)n230，n 3.|a|12 n22.3答案B解析因为 mn(2 3,3)，mn (1， 1)，由(mn)(mn)，可得 (mn) (mn)(2 3,3) (1， 1) 2 60，解得 3.4答案82解析a (2,4)，b(1,2)，a b2(1) 426，ca6b，c2a2 12a b36b220126365128.|c| 82.5解(1)a b 4(1)3 22，|a|4232 5，|b|12225，cos a b|a|b|2552525.(2)a b(4 ，32 )，2ab(7,8)，又(a b)(2ab)，(a b) (2ab)7(4 )8(32 )0， 529.课时精练答案一、选择题1答案A解析ab 566 50，ab.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页2答案A解析由 a(3,2)，b(1,0)，知 ab(3 1,2 )，a 2b(1,2)又( ab) (a2b)0，3 14 0， 17.3答案B解析a(2,0)，|b|1，|a| 2，a b21cos 60 1.|a2b|a24a b4b22 3.4答案D解析设 C(x，y)，则 AC(x2，y1)，BC(x，y 2)，AB(2,1)由ACOB，BCAB，得2 x 2 0，2xy20，解得x 2，y 6.点 C 的坐标为 (2,6)5答案C解析|ab|5 2，|ab|2a22a bb25210b2(52)2，|b| 5.6答案D解析设 c(x，y)，则 ca(x1，y2)，又(ca) b，2(y2)3(x1)0.又 c(ab)， (x，y) (3， 1)3xy0.解得 得 x79，y73.二、填空题7答案1解析a2b(1，3)，(a2b) b11301.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页8答案(4,8)解析由题意可设b a( ， 2 )， 0，则|b|2242 5280， 4，b 4a (4,8)9答案655解析设 a、b 的夹角为 ，则 cos 2 4 372232427255，故 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 1355655.或直接根据ab|b|计算 a 在 b 方向上的投影10 答案x85且 x52解析 为钝角， cos a b|a|b|0，即 a b 85x0，x85.ab 时有 4x100，即 x52，当 x52时， a(2，52)12b，a 与 b 反向，即 .故 a 与 b 的夹角为钝角时，x0，|AC|2 5，|BD|2 5.设AC与BD夹角为 ，则cos AC BD|AC| |BD|1620450，解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页