学习必备欢迎下载在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题：问题一：从A 地道 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4 班，汽车有3 班，轮船有 2 班。那么从A 地道 B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3 条道路。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有1m种不同的方法，第二类方法中有2m种不同的方法 .第 n 类方法中有nm种不同的方法。那么，完成这件事共有12nNmmm种不同的方法。乘法原理：为了完成一件事，需要n 个步骤。做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法 做第 n 步有nm种不同的方法。那么，完成这件事共有12nNmmm种不同的方法。【例题 1】每天从武汉到北京去，有4 班火车， 2 班飞机， 1 班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？解:4+2+1=7( 种) 【拓展 1】学校开展读书竞赛活动，小明要从4 本故事书、 2 本文艺书、 3 本科技书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载【例题 2】如图，从家村去乙村有3 条道路，从乙村去丙村有2 条道路，从丙村去丁村有4 条道路。小华从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？【拓展 2】 （2008 年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年解题技能展示大赛试题）在右图的每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），共有多少种不同的放法？【例题 3】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3 这四个数字组成三位数，请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个不相等的三位数？解： （） 3 32=18（个）（3） 344=48（个）【拓展 3】用 1、2、3、4 这四个数可以组成多少个没有重复数字的四位数? 【例题 4】十把钥匙开十把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来? 解： 9+8+2+1=45（次）【拓展 4】15 把钥匙开 15 把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载【例题 5】用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域所染的颜色不同。请问：共有多少种不同的染色方法? 思路点拨： 从区域 A开始讨论，那么就要分区域A与区域 E的颜色相同与不同两种情况。解答本题的关键在于：对有最多相邻区域的区域先染色；对不相邻的两个区域染成同色。解： （1）当区域 A与区域 E的颜色相同： A有 5 种不同的方法， B有 4 种不同的方法， C有 3 种不同的方法，D有 3 种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有5433=180（种）。（2）当区域 A与区域 E的颜色不同时：A有 5 种不同的方法，E有 4 种不同的方法，B有 3 种不同的方法，C有 2 种不同的方法，D有 2 种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有54322=240（种）。（3）根据加法原理，不同的染色方法共有180+240=420（种）【拓展 5】如图， A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、白、绿五种颜色中的某一种涂染，若使相邻的区域涂不同的颜色，问：有几种不同的涂法? 【例题 6】某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号? 思路点拨：用一面旗子可以表示3 种不同信号（红、黄、蓝），用两面旗子可以表示32=6（种）信号，用三面旗子可以表示321=6（种）信号，运用加法原理，可以计算出表示信号的种数。3+3 2+321=15（种）【拓展 6】右图是某以地区的道路分布图，A,B,C,D 分别代表四个城镇，那么从A镇去 C镇一共有多少种不同的走法 ?( 每个点不重复经过) A B D C E A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载【例题 7】将 A、B、C、D、E、F、G七位学生在操场排成一列，其中学生B与 C必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法? 思路点拨：可以分两类情况考虑：若 B站在两端， B有两种选择， C只有一种选择，另五人分别有5，4，3，2，1 种站法选择，这种情况共有 21 54321=240（种）不同站法。若 B站在中间， B有五种选择。 B无论在中间何处，C都有两种选择，另五人分别有5、4、3、2、1 种站法选择，这种情况共有525432 1=1200（种）不同站法。因此七人排一列，B与 C必须相邻，共有 240+1200=1440（种）不同【拓展 7】 （第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）节日期间，小明将6 个彩灯排成一列，其中有2个红灯， 4 个绿灯。如果两个红灯不相邻，则不同的排法有种。【精练 1】从武汉到南京去，每天有2 班火车、 3 班汽车、 2 班飞机、 1 班轮船。请问：每天从武汉到南京去，一共有多少种不同的走法? 【精练 2】 “六一”儿童节，小东到书店去买书，他喜欢的书有：3 种故事书、 4 种科学书、 5 种文艺书，他带的钱只能买其中一种，请问：他有多少种不同的选择方法? 【精练 3】 （小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）奥运吉祥物中的五个“福娃”取自“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放五个不同的“福娃”，那么一共有多少种不同的放法 ? 【精练 4】 （天津 “陈省身杯” 国际青少年数学邀请赛试题）用 4 种颜色的水彩笔给“MATH ”四个字涂颜色，要求不同字母用不同颜色的笔去涂，共可以有多少种不同颜色搭配方式? 【精练 5】 （长春市天宇杯数学测试题）用 0，1，2，3，4， 5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载【精练 6】人民电影院有6 个门，其中A,B,C,D 这四个门只供散场时作为出口，甲乙这两个门既可以作为入口页可以作为出口（如图）。请问：如果要到人民电影院去看电影，共有几种不同的进出路线? 【精练 7】( 第十四届“华罗庚杯”少年数学邀请赛试题) 按照中国篮球职业联赛组委会的规定，每队队员的号码可以选择范围是055 号，但选择两位数的号码时，每位数字不能超过5。那么，可供每支球队选择的号码共有多少个? 【精练 8】(2008 年巨人学校数学“尖子班”入学试题)如图，要从A 走到 B，但 C，D 不能通过，所以增添了一条斜着的路。如果只能向右、向上、向斜上方走，一共有多少种不同的走法? 【精练 9】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别别有数字1，2，3，4，5，6，将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情况? 甲乙A B D C A B D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载【精练 10】 （南京市“兴趣杯”数学邀请赛试题）六年级的大哥哥大姐姐要毕业了，准备照一张合影留作纪念。 4 个男同学， 2 个女同学共6 个人站成一排，要求2 个女同学紧挨着站在正中间。请问：一共有多少种不同的站法? 【精练 11】 (全国“创新杯”数学邀请赛试题)如图，这是一个棋盘，将一个白字和一个黑子放在棋盘线的交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，则有多少种不同的方法? 【精练 12】(第七届湖北省“创新杯”全国数学邀请赛试题)从 5 名奥运志愿者选出3 名，分别从事翻译、导游、 保洁三项不同的工作，每天承担一项， 其中只有甲不能从事翻译工作，则有多少种不同的选派方案? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页