学习必备欢迎下载相似三角形的判定及有关性质备课人：李发知识点 1：比例线段的相关概念比例线段： 对于四条线段abcd、 、 、， 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即acbd（或: =a b c d:）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb知识点 2：比例的性质基本性质： (1)bcaddcba:；(2)bacbcca2:反比性质 (把比的前项、后项交换)：cdabdcba合比性质：ddcbbadcba发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba等等等比性质： 如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除了可化为dcba:，还可化为dbca:，badc:，cadb:，cdab:，bdac:，abcd:，acbd:知识点 3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论： (1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理： 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边知识点 :4：黄金分割把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项， 叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC2150.618AB知识点 5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载注意：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比2、相似三角形的判定方法预备定理： 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BCDE /ADE ABC 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形的判定两 边 对 应 成 比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法 . 3、相似三角形的性质定理：（ 1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（ 2）相似三角形的周长比等于相似比；（ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（ 4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC有ABCABC(2)对称性：若ABCCBA，则CBAABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载(3)传递性：若ABCCBA，且CBACBA，则ABCCBA5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边 .（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项. 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项. ABCD经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型平行线型：常见的有如下两种，DEBC，则ADEABCAABCBCDEDE相交线型：常见的有如下四种情形，如图，已知1= B，则由公共角A得，ADEABC11ABCDABCEED如下左图，已知1= B，则由公共角A得，ADCACB；如下右图，已知BD，则由对顶角12得，ADEABCA211BCACBEDD旋转型：已知BADCAE，BD，则ADEABC，下图为常见的基本图形BCADE母子型：已知90ACBABCD，则CBDABCACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载ABCD解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形知识点 6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 拓展：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3）位似图形的对应边互相平行或共线. 2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质. 3、画位似图形画位似图形的一般步骤：确定位似中心；分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 位似中心的选取：位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外；位似中心可取在多边形的一条边上；位似中心可取在多边形的某一顶点上. 说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载圆的章节知识点总结备课人：李发一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合；轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；图 1rRd图 3rRdrddCBAO图2rRd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载OCDABFEDCBAOCBAOCBAO五、垂径定理弦： 连接圆上任意两点之间的线段叫做弦. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论 .即：AB是直径 ;ABCD;CEDE; 弧BC弧BD( );中任意2 个条件推出其他3 个结论 . 推论 4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论也即：AOBDOE;ABDE;OCOF;BAED推论 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论 2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等；推论 3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半. 符号语言：在O中，CD、都是弧AB所对的圆周角CDAOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB图形语言：图 4rRd图 5rRdBCBDACAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载CBAODCBAOPBAONMAO推论 1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言： 在O中，AB是直径=90C;或=90CAB是直径推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形符号语言：在ABC中，OA OB OCABC是直角三角形或=90C注：此推论实际上是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理. 八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆 . 圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. 符号语言： 在O中，四边形ABCD是内接四边形180180CBADBDDAEC，图形语言：圆的内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆. 符号语言： 在四边形ABCD中，180180CBADBD，ABCD、 、 、四点共圆圆的内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 符号语言： 在四边形ABCD中，DAECABCD、 、 、四点共圆九、切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （ 1）判定定理 ：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线图形语言：（ 2）性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：(1)经过圆心 (2)经过切点 (3)垂直于切线 .以上三个条件中，知EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载道其中两个条件推出最后一个条件.(MN是切线MNOA) 2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长. 切线长定理 : 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： PAPB、是的两条切线=PA PB且PO平分APB图形语言：3、弦切角： 顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角) 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 符号语言： BAC是圆的一个弦切角BACAPC4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD图形语言：推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言： 在O中，直径ABCD， 2CEAE BE5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. 符号语言： 在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 符号语言： 在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB图形语言：切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 弦切角定理弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 十、圆内正多边形的计算（ 1）正三角形：在O中，ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，:1:3 :2ODBD OBPODCBAOEDCBADECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载DCBAOECBADOBAO（ 2）正四边形：同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，:1:1:2OEAE OA（ 3）正六边形：同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，:1:3 :2AB OB OA十一、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. 用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. 用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。轴对称中心对称十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（ 1）弧长公式：180n RlR；（ 2）扇形面积公式：213602n RSlR【n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积】2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2222SSSrhr侧表底； （2）圆柱的体积：2Vr h3 .圆锥侧面展开图圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；圆锥侧面展开图是形，它的半径是这个圆锥的，它的弧长是这个圆锥的底面的 . （1）2SSSRrr侧表底； （2）圆锥的体积：213Vr h4、求面积的方法B1RrCBAO母线长底面圆周长C1D1DCBASlBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载（1）直接法由面积公式直接得到；（2）间接法即：割补法（和差法）进行等量代换；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页