1 / 7 第十三章全等三角形13.3 角的平分线的性质目标导航1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定。2、会用尺规作已知角的平分线。3、能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，解决一些实际问题。4、进一步发展我们的的推理证明意识和能力。名师引领1角的平分线的性质：定理 1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。2三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离相等师生互动共解难题例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点。已知：如图， ABC 的角平分线 AD与 BE交于点 I ，求证：点 I 在ACB 的平分线上。证明：过点 I 作 IHAB 、IGAC 、IF BC ，垂足分别是点H 、G 、F。点 I 在BAC 的角平分线 AD上，且 IHAB 、IGAC IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH=IF IG=IF（等量代换）又 IGAC 、IFBC 点 I 在ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点。例 2：如图，已知 ABC中BAC=90 ，AB=AC ，CD? 垂直于 ABC? 的平分线 BD于 D，BD交 AC于 E，求证： BE=2CD 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 / 7 分析：要证 BE=2CD ，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，?利用翻折的方法把 CBD 沿 BD翻折，使 BC重叠到 BA所在的直线上，即构造全等三角形（BCD BFD ），然后证明 BE和 CF （2CD ）所在的三角形全等。证明：延长 BA 、CD交于点 F BD CF （已知）BDC= BDF=90 （垂直的定义）BD平分 ABC （已知）1=2（角平分线的定义）在BCD 和BFD中21()()()BDBDBDCBDF已知公共边已证BCD BFD （ASA ）CD=FD （全等三角形的对应边相等）即 CF=2CD 5=4=90， BDF=90 3+F=90， 1+F=90（直角三角形两锐角互余）1=3（同角的余角相等）在ABE和ACF中4513()ABAC已证ABE ACF （ASA ）BE=CF （全等三角形对应边相等）BE=2CD （等量代换）积累运用举一反三一、选择题1到三角形三边的距离相等的点是三角形（）。A三条边上的高的交点B三个内角平分线的交点C三边上的中线的交点D以上结论都不对2如图 1，ABC中，AC CB ，CD平分 ACB ，点 E在 AC上，且 CE=CB ，则下列结论： CD平分 BDE ；BD=DE ； B=CED ； A+CED=90 。其中正确的有（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 A1 个B2 个C3 个D4 个DCBAE图 1 3如图 2，已知点 D是ABC中 AC边一点，点 E 在 AB延长线上，且 ABC? DBE ，BDA= A若 A：C=5 ：3，则 DBE 的度数是（）。DCBAE图 2 A100B80C60D1204下列说法：角的内部任意一点到角的两边的距离相等；?到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等； ABC 中BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）。A1 个B2 个C3 个D4 个5. 已知 AD是ABC 的角平分线， DE AB于 E,且 DE=3cm, 则点 D到 AC的距离是( )。A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm 6如图 3，已知 CE 、CF分别是 ABC的内角和外角平分线， ?则图中与 BCE互余的角有（）。A4 个B3 个C2 个D1 个7如图 4，已知点 P到 AE 、AD 、BC的距离相等，则下列说法：点P在BAC的平分线上；点P在CBE 的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P是BAC 、CBE 、BCD 的平分线的交点，其中正确的是（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 ABCDDCBAEFPDCBAE图 3 图 4 二、填空题1ABC 中 AB=AC ，点 D是BAC平分线上一点，且BD=2cm ，则点 D与点 C之间的距离是 _ 。2如图 3，ABC= ADC=90 ，要证明 ABC ADC ，可补充条件_或_ （填写两组适合的条件即可）。DCBA图 3 3如图 4，DEF由ABC沿直线 BC平移而得到的，则AB=_ ，CF=?_ ，A=_ 。DCBAEF图 44用直尺和圆规平分已知角的依据是_。5角的平分线上的点到 _相等；到 _ 相等的点在这个角的平分线上。6如图 3，AB CD ，AP 、CP分别平分 BAC和ACD ，PE AC于 E，且PE=2cm ，则 AB与 CD之间的距离是 _。三、解题题1如图， D、E是ABC中 AB 、AC边上的点，且 AD=AE ，1=2，求证BD=CE 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 2如图，已知 AB AC于 A，BD DC于 D，要想得到 AC=BD ，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由。DCBA3如图， A、B两点分别位于池塘两侧，小亮用下面的方法测量A、B?之间的距离：先在地上取一个可以直接到达A点和 B点的 C点，连接 AC 、BC ，?并分别延长至 D 、E两点，使 DC=AC ，EC=BC 那么量出 DE的长就是 A、B间的距离。请说明一下这样做的道理。DCBAE4如图 1，AD是ABC的角平分线， DE和 DF分别是 ABD 和ACD 的高， ?求证：AD垂直平分 EF 。DCBAEHF5如图，四边形 ABCD 中 AB=AD ，CB=CD ，点 P是对角线 AC上一点， PE BC于E，PFCD于 F，求证 PE=PF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 PDCBAEF6如图，四边形 ABCD 中 AB=AD ，AB BC ，AD CD ，P是对角线 AC上一点， ?求证：PB=PC 。PDCBA7如图，已知 CD AB于 D，BE AC于 E，CD交 BE于点 O 。若 OC=OB，求证：点 O在BAC的平分线上。若点 O在BAC 的平分线上，求证： OC=OB。DCBAEO答案：一、1B 2 D 3 A 4. B 5. B 6. C 7. A 二、12cm ；2AB=AD ；BAC= DAC ；3DE ；BE ；D；4SSS ；5角的两边的距离；角的两边的距离；6.4cm。三、1先证 ABE ACD 得到 AB=AC ，再用等式性质证明BD=CE 2比如： AB=DC 或ABC= DCB或ACB= DBC 3证 ABC DEC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 4证 AEH AFH 5. 证明 AC平分 BCD 6. 先证 RtABC RtADC ，再证 APB APD 7证明 COE BOD 得到 OE=OD；先由角平分线的性质证明OE=OD，再证明COE BO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页