湘教版湘教版SHUXUE八年级下八年级下本课内容本节内容第一章第一章-小结与复习小结与复习( (一一) )1 1、阅读、阅读p27的三项内容。的三项内容。2 2、根据内容填表：、根据内容填表：性性质质判判定定从角考虑从角考虑从边考虑从边考虑有一角为直角有一角为直角( (或或900) )两锐角互余两锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半；一边上的中线等于这边的一半一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。的三角形是直角三角形。 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方. . （勾股定理）（勾股定理）性质的逆定理性质的逆定理勾股定理逆定理勾股定理逆定理3 3、直角三角形中、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。角所对的边的大小性质及逆定理。三角形的三边之间满足怎样数量关系时，三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？此三角形是直角三角形？CBAacbABC为直角三角形为直角三角形a2b2c2 .a2b2c2 ，ABC为直角三角形为直角三角形4.4.直角三角形勾股定理的内容：直角三角形勾股定理的内容：勾股定理逆定理勾股定理逆定理也叫做直角三角形的也叫做直角三角形的判定定理。判定定理。5、直角三角形全等的判定方法：直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL1.1.在直角三角形中，两个锐角在直角三角形中，两个锐角_。互余互余2 2、两条直角边相等的直角三角形叫做、两条直角边相等的直角三角形叫做 。它的两个底角相等，都等于它的两个底角相等，都等于 。等腰直角三角形等腰直角三角形453 3. .直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于 _ _ 。斜边的一半斜边的一半4 4. .直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于那么这条直角边所对的角等于 。306 6. .如果三角形中如果三角形中_的平方和等于的平方和等于 边的边的平方平方，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形， 所所对的角是直角。对的角是直角。5. 直角三角形直角三角形_的平方和等于的平方和等于_的平的平方。如果用字母方。如果用字母a，b和和c分别表示直角三角形的两条分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么直角边和斜边，那么_+ _=_+ _=_。两直角边两直角边斜边斜边c2b2a2两边两边第三边第三边最大边最大边7.7.有两条边对应相等的两个有两条边对应相等的两个 三角形全等。三角形全等。直角直角1.如图如图, ACB=90A =30，则则B= _ED30CBABC=1，则则AB的长为的长为_，AC的长为的长为_CD是斜边是斜边AB的中线的中线，则则CD的长为的长为_CE是斜边是斜边AB的高线的高线，则则CE的长为的长为_602 231 1322. 若直角三角形的两锐角之差为若直角三角形的两锐角之差为18，则较大一个锐角的度数是则较大一个锐角的度数是 。543.如图，在如图，在RtABC中中，CD是斜边是斜边AB上的中线上的中线，CDA=70，则则A= _ ，B=_。55DCBA4.如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中中，AD是中线，是中线，DEAB，垂足为垂足为E。若若BC=4cm，则则DE的长的长_ cm。ABC的面积是的面积是 cm2。EDCBA33435 1、如图，如图，AC与与BD相交于点相交于点O，DAAC， DBBC，AC=BD，说明说明OD=OC成立的理由成立的理由. . ODCBA分析：分析：要证要证OD=OC，就只要证就只要证1=2 12只要证明只要证明RtBDC RtACD，条件满足吗？条件满足吗？ OD=OC（等角对等边）（等角对等边）证明证明: : DAAC DBBCA=B=900 又又 AC=BD ，CD=DC ACD BDC （HL） BDC= ACD（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） 2、如图如图，ABC中中，AB=AC，D是是AB上一点，上一点，且且BC=25，CD=20，BD=15，求求ABC的面积。的面积。解：解：BC=25，CD=20，BD=15，BC2=CD2BD2DCBA AB=AB= +15= +15= 3561256 S S ABC = 202= 12566253BCD为直角三角形，即：为直角三角形，即：CDAB在在RtACD中中，设设AD=x， 则则AB=x+BD=x+15AB=AC AC=x+15由勾股定理得由勾股定理得：(x+15)2 =x2+202356解得解得：x = BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2EDCBA解：解： 如图，如图，ACE是将是将ABD绕绕A点点逆时针旋转逆时针旋转90而得，连结而得，连结DE，可得，可得：DAE=90，CE=BD在在RtDEC中中，CE2+CD2=DE2 BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD23、如图，如图，ABC中，中，AB=AC，BAC=90，D是是BC上任意一点，则上任意一点，则BD2+CD2=2AD2吗？请说明理由。吗？请说明理由。又又DCE=90 AE=AD， 在在RtADE中，中，AD2+AE2=DE2=2AD21、如图，已知如图，已知AB=AC，ADBC于于D，BEAC于于E，则图中和则图中和C互余的角共有（互余的角共有（ ）A、1个个 B、2个个 C、3个个 D、4个个C2、直角三角形斜边的高与中线分别是直角三角形斜边的高与中线分别是5cm和和6cm，则它的面积是则它的面积是 。30EDBCA3、已知三角形两个外角的和是已知三角形两个外角的和是2700，则则该该三角形是三角形是 三角形三角形。直角直角4、如图，如图，AP平分平分BAC， PBAB，PCAB，已知已知BAC=300，AC=30，求求PB的长。的长。DBCAP解：解：作作CDAB，垂足是垂足是D，PBAB，PCAB， CD=PB在在RtACD中，中，BAC=300，AC=30， CD= AC= 30=151212 PB=155、已知已知a、b、c是是ABC的三边长，的三边长，且满足且满足a2c2- -b2c2=a4- -b4 ，你能判断你能判断ABC的形状吗？的形状吗？解：解： a2c2- -b2c2=a4- -b4即：即：a4- -a2c2+ +b2c2- -b4 =0 a4- -a2c2+ +b2c2- -b4 =(a4- -b4)+(b2c2- -a2c2)=0即：即：(a2+b2)(a2- -b2)- -c2(a2- -b2)=0(a+b)(a- -b)(a2+ +b2- -c2)=0a+b0a- -b=0，a=b或：或：a2+b2- -c2=0， a2+b2=c2ABC是是等腰三角形或直角三角形。等腰三角形或直角三角形。作业：作业：p28 A 1、6、76、若若ABC的的三边三边a、b、c满足条件满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断试判断ABC的的形状。形状。解：解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c a2- -6a+9+b2- -8b+16+c2- -10c+25=0即：即：(a- -3)2+(b- -4)2+(c- -5)2=0 a=3，b=4，c=5 32+42=52 ABC是是直角三角形。直角三角形。湘教版湘教版SHUXUE八年级下八年级下本课内容本节内容第一章第一章-小结与复习小结与复习( (二二) )三角形的三边之间满足怎样数量关系时，三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？此三角形是直角三角形？CBAacbABC为直角三角形为直角三角形a2b2c2 .a2b2c2 ，ABC为直角三角形为直角三角形1.1.直角三角形勾股定理的内容：直角三角形勾股定理的内容：勾股定理逆定理勾股定理逆定理也叫做直角三角形的也叫做直角三角形的判定定理。判定定理。（2 2）300角所对的边等于斜边的一半。角所对的边等于斜边的一半。2 2、直角三角形的特殊性质：、直角三角形的特殊性质：（1 1）斜边上的中线等于斜边的一半。）斜边上的中线等于斜边的一半。4 4、角平分线的性质和判定：、角平分线的性质和判定：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。3、直角三角形全等的判定方法：直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HLOCB1A2PDE1= 2，PDOA ，PEOBPD=PE.PDOA ，PEOB PD=PE 1= 2.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. .1 1、有四个三角形，分别满足下列条件：、有四个三角形，分别满足下列条件：(1) (1) 一个内角等于另外两个内角之和；一个内角等于另外两个内角之和；(2) (2) 三个内角三个内角之比为之比为3 4 5；(3) (3) 三边之比为三边之比为5 12 13；(4) (4) 三边长三边长分别为分别为7、24、25.其中直角三角形有其中直角三角形有 ( )( )A. 1个个 B. 2个个 C. 3个个 D. 4个个C2、在在ABC中中，A：B：C=1：2：3，CDAB于于D，AB=a，则则DB等于（等于（ ）A. B. C. D.以上结果都不对以上结果都不对a4a3a2C4、在在RtABC中中，C=90，A=30，BC=2cm，则则AC=_cm。3、在在RtABC中中， C=90， CD是是AB边上的高边上的高，若若AC=4，BC=3，则则CD= 125235如图，所有的四边形都是正如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长角形，其中最大的正方形的边长为为7cm，则正方形则正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。 A B C D7cm49（面积法）（面积法）例例1、已知：如图，已知：如图， A=90B=15BD=DC.请说明请说明AC= BD的理由的理由.12ABCD证明证明： BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC= DC（直角三角形中，（直角三角形中，30角所对直角角所对直角边是斜边的一半）边是斜边的一半）12 AC= BD12FEDCBA例例2：如图：如图：AD是是ABC中中BC边上的高边上的高，E为为AC上一点上一点，BE交交AD于于F，BF=AC，FD=CD，问问BE，AC互相垂直吗？请说明理由互相垂直吗？请说明理由答：答：BEAC证明：证明： AD是是ABC中中BC边上的高边上的高， 即：即：ADBC ADC=BDF=90又又 BF=AC，FD=CD RtBDF RtADC (HL) FBD=CAD BFD=AFE BFD+FBD=90AFE+CAD=90AEF=90即：即：BEACCABDEF例例3、如图如图，ACBC，ADBD，点点E，F分分别是别是AB，CD的中点，求证：的中点，求证：EFCD. ACBC，ADBD， ACB和和ADB是具有公共斜边是具有公共斜边AB的直角三角形的直角三角形 。证明：证明：连接连接CE，DE又又 E是是AB的中点，的中点， CE=DE= AB12 CED是是等腰三角形。等腰三角形。又又 F是是CD的中点，的中点， EFCD （三线合一）（三线合一）D分析：分析：A城是否受到这次台风的影响，就看城是否受到这次台风的影响，就看A城与台城与台风中心的距离在风中心的距离在200千米以内还是以外。千米以内还是以外。思考：思考：若若A城与城与B地的方向保持不变，为了确保地的方向保持不变，为了确保A城不受城不受台风影响，至少离台风影响，至少离B地多远？地多远？ 例例4、如图，如图，A城市气象台测得台风中心，在城市气象台测得台风中心，在A城正西方向城正西方向300千米的千米的B处，正向北偏东处，正向北偏东600的的BF方向方向移动，移动，已知已知距台风中心距台风中心200千米的范围内是受台风影响千米的范围内是受台风影响的区域，那么的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？城是否受到这次台风的影响？为什么？知识运用知识运用解：解：作作ADBF北北东东B600FACCBF=600FBA=300而而 150200，所以所以A城会受到台风的影响城会受到台风的影响在在RtABD中中，BA=300千米千米 AD= AB=150千米千米。12例例5、如图，已知如图，已知ABBD于点于点B，CDBD于点于点D。若。若点点E是是BD上一点，能否在上一点，能否在AB、CD上分别各找一点上分别各找一点F、G，使，使RtFEB RtCEG？如果能，如果能，EF与与EG的的位置位置关系和数量关系关系和数量关系怎样怎样？DCBAEGF分析：分析：要使要使RtFEB RtDEG，就有夹直角的两边对应相等。就有夹直角的两边对应相等。解：解：在在AB上取上取BF=CE，在在CD上取上取CG=BE，连接，连接EF，EG在在RtFEB和和RtDEG中，中， BF=CE FBE=ECG=900 BE=CGRtFEB RtDEG(SAS) EF=EGBFE=CEGBFE+BEF=900 CEG+BEF=900即：即：EFG=900 EFEG1、如图，已知如图，已知AB=AC，AD是是BC边上边上的中线的中线，EBC=BAD，问问BE与与AC的的位置关系位置关系怎样怎样？ABCDEBEAC2.如图如图，ABC中，中，C=90，AB=2AC，M是是AB的中点，点的中点，点N在在BC上，上，MNAB。求证：求证：AN平分平分BAC.NMCBA12可证可证：RtAMN RtACN1=23.在在ABC中中，BD、CE是高是高，BD与与CE交于点交于点O，且且BE=CD，求证求证: :AE=AD.提示：要根据题意画图（如图）提示：要根据题意画图（如图）先证先证RtOEB RtODC(AAS)，再证明再证明RtAEO RtADO(HL)4.已知如图，已知如图，在在ABC中，中，BAC=2B，AB=2AC，求证求证: :ABC是直角三角形。是直角三角形。CBADE提示：过提示：过A作作CAB的角平分线，的角平分线，交交BC于于D，过，过D作作DEAB于于E，再证明再证明ACDAED(SAS)ABCDEO5、如图，在如图，在ABC中中，AB=6，BC=AC=5（1 1）求）求AB边上的高边上的高CD；（2 2）求）求BC边上的高边上的高AE。 （3 3）DFBC，求求DFCD=4（2 2）由面积公式可得：）由面积公式可得：AE=4.8(3)(3)也可由面积公式得：也可由面积公式得：DF=1.26、如图，一块直角三角形的纸片，、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边两直角边AC=6cm，BC=8cm, ,现现将直角边将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使折叠，使它落在斜边它落在斜边AB上，且与上，且与AE重合，重合，求求CD的长的长 ACBE664xx8- -x如图，设未知数，在如图，设未知数，在BED中中，由勾股定理列方程，求解。由勾股定理列方程，求解。CD=3FEDBCA7.如图如图，在在ABC中中，AB=AC，DE是过点是过点A的直的直线，线，BDDE于于D，CEDE于于E（1 1）若）若BC在在DE的同侧（如图的同侧（如图）且）且AD=CE，说说明：明：BAAC（2 2）若）若BC在在DE的两侧（如图的两侧（如图）其他条件不变，）其他条件不变，问问AB与与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由明理由BAEDCEDCBA还能证明线段还能证明线段DE、BD、CE之间的数量关系。之间的数量关系。图图中：中：DE=CE+BD，图，图中：中：DE=CE-BD证明证明：RtABD RtCAE(HL)