1.LTI1.LTI离散系统的时域离散系统的时域分析分析：2.2.特点：特点：比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换时域分析法：序列的变量时域分析法：序列的变量-k-k域域分析法的基础分析法的基础 3.3.时域分析法主要内容：时域分析法主要内容：概述：概述： 求出响应与激励关系求出响应与激励关系 经典法（自由响应和强迫响应）经典法（自由响应和强迫响应） 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积和冲击响应与卷积和 建立线性差分方程建立线性差分方程并并第三章 离散系统的时域分析LTILTI离散系统的响应离散系统的响应单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应卷积和卷积和本章要点：本章要点：一一 差分与差分方程差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程前向差分、后向差分以及差分方程二二 差分方程解差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对应的数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解齐次解和不同激励对应的特解三三 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应3.1 LTI离散系统的响应仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。概念。 一、差分与差分方程一、差分与差分方程1. 差分运算差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：（1）一阶）一阶前向前向差分定义：差分定义： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶一阶后向后向差分定义：差分定义： f(k) = f(k) f(k 1)式中，式中， 和和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，后向差分，简称为简称为差分差分。前向差分与后向差分的关系：前向差分与后向差分的关系：（3）差分的差分的线性性质线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分二阶差分定义：定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)（5） m阶差分阶差分: : mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)1.1.定义差分定义差分2. 差分方程差分方程 包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差上式各移位序列的系数均为常系数，即常系数差分方程，用来描述LTI离散系统；若系数是变量K的函数则为变系数差分方程1 1、用迭代法求用迭代法求差分方程的数值解差分方程的数值解差分方程是具有差分方程是具有递推关系递推关系的代数方程，当已知的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解程的数值解当差分方程阶次较低时可以使用此法当差分方程阶次较低时可以使用此法二、差分方程的解二、差分方程的解解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得依次迭代可得特点：便于用计算机求解 得不到闭合解例例3.11若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)1.齐次解：与微分方程经典解类似与微分方程经典解类似: y(k) = yh(k) + yp(k) y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)齐次方程齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0特征方程特征方程 n + an-1n 1 + + a0 = 0其根其根i( i = 1，2，n) 称为差分方程的特征根。称为差分方程的特征根。2、差分方程的经典解（、差分方程的经典解（闭合解）若单输入若单输入-单输出的单输出的LTI系统的激励为系统的激励为f(k),全响应为全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性阶常系数线性差分方程差分方程，一般可写为，一般可写为齐次解（齐次解（由特征根形式确定齐次解形式）由特征根形式确定齐次解形式）-表表3-12.2.有重根有重根 特征根特征根为为r r重根重根时时3.有一对共轭复根有一对共轭复根1 、2=a+jb =ejYh(k)=kCcos(k)+Dsin(k) （或（或Akcos(k-),其中其中Aej=C+jD ）特解特解yp(k):激励激励f(k)响应响应y(k)的特解的特解yp(k)特解的形式与激励的形式类似特解的形式与激励的形式类似或或表表3-2典型激励对应的特解典型激励对应的特解 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。3 3）全解）全解 代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数C Ci i 于是得到完全解的于是得到完全解的见书见书P88P88解：方程的特征方程为例3.1-2,若描述某系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解特征根为1 22，为二重根，齐次解为由题意，设特解为将yp(k)代入到原方程得全解为：将已知条件代入， 得C11,C2=-1/4自由响应自由响应强迫响应强迫响应初始条件y(0)=0,y(1)=-1四四步步求求解解1、完全解的形式、完全解的形式 零状态响应，仅由激励引起零输入响应，激励为零时的响应三、零状态响应和零输入响应三、零状态响应和零输入响应零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（1 1） y yzizi(k) (k) 零输入响应（零输入响应（仅有系统的初始状态引起的响应）仅有系统的初始状态引起的响应）差分方程：齐次差分方程：齐次y(k) + an-1y(k-1) + + a0y (k-n)=0 y(k) = yzi(k) + yzs (k) 2.2.借助经典法借助经典法Czij-待定系数待定系数由由y yzizi(k)(k)起始条件确定（起始条件确定（k0k0）yzi(k)=y（k），），k0零输入的初始状态满足零输入的初始状态满足一般K=0，接入激励由由y y (0)y(0)y（1 1）包含输入）包含输入由由y yzszs(k)(k)起始条件确起始条件确定定其中其中：C Czsjzsj-待定系数待定系数- -由由yzs(k)起始条件确定起始条件确定y yp p(k)(k)-特解特解- -3.y(k) 3.y(k) 全响应全响应零输入响应零输入响应由由y yzizi(k)(k)起始条件确定起始条件确定y(0)y(0)、y(1)- -y(1)- -起始条件确定起始条件确定待定系数代差待定系数代差分方程分方程待定系数代待定系数代差分方程差分方程零状态响应零状态响应强迫响应强迫响应自由响应自由响应 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)差分方程：非齐次差分方程：非齐次（2 2） y yzszs(k) (k) 零状态响应零状态响应 初值的确定 yzi (-1) = y(-1) yzi (-2) = y(-2) - yzi (-n) = y(-n)连续系统连续系统y yzizi(j)(j)(0+)=y(0+)=yzizi(j)(j)(0-)=y(0-)=y(j)(j)(0-)(0-) yzi (1) = ？ yzi (2) = ？ yzi (n) = ？y(k)=yzi(k)+yzs(k)（1 1） y yzizi(k)(k) 初值初值k0, 激励没有接入激励没有接入f(k)=0初初始始状状态态迭代迭代yzi（-1） yzi（0）例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为已知f(k)=0,k0,初始状态y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应解：零输入响应满足初始状态：求初始值差分方程的特征方程为：齐次解为：有必要吗？有必要吗？将初始值代入得：由于由于y yzszs(k)(k)为零状态响应，为零状态响应，k0k0时为零，因而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的函数形式相同。因此因此，求h(k)的问题转化为求差分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差由差分方程确定分方程确定。1).定义：定义：g(k)=T0, (k) 当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列单位阶跃序列(k) 时，系统的零零状态响应状态响应为单位阶跃序列响应单位阶跃序列响应，用g(k)表示。2).h(k)与与g(k)的关系：的关系： h(k) = g(k) =g(k) g(k 1) (k) = (k) =(k) (k 1) 阶跃响应：阶跃响应：g(k)线性移位线性移位不变性不变性由于由于所以所以 (k2k1 )表表3-3几种常见的数列求和公式几种常见的数列求和公式 (k0) (k2k1 ) (k0)例题例题例3.2-1 求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。（2）h(k)满足满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k) h(-1)=h(-2)=0 (3)求初始值：用迭代法求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k) h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 (4) k0时时, h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k)=c1(-1)k+c2(2)k h(0)=c1+c2=1 ； h(1)=-c1+2c2=1 得得 c1=1/3;c2=2/3所以 （1 1）列写差分方程）列写差分方程： y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)k0K=0时，代入值已经考虑时，代入值已经考虑(k)作用了作用了经典法：同例经典法：同例3.2-1例：求例：求y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)的单位阶跃响应的单位阶跃响应g(k) 经典法：经典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k) g(-1)=g(-2)=0 迭代法迭代法g(0)=g (-1)+2g (-2)+1=1 g (1)=g (0)+2g (-1)+1=2 对对k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1 齐次解：齐次解：gn(k)=c1 (-1)k +c2(2)k 求求g(k)g(k)的方法的方法g(k)= c1 (-1)k + c2(2)k - ，k0特解：特解：gp(k)=- （因为（因为f（k）=(k)，设特解为，设特解为P(k)）代入代入g(0)，g(1)，解得，解得c1 =1/6; c2=4/3g(k)=1/6 (-1)k + 4/3(2)k - (k) )利用利用h(k)h(k)求求g(k):g(k): l 卷积和卷积和l 卷积和图解法卷积和图解法l 不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积l 卷积和的性质卷积和的性质3.3 卷积和卷积和1 .序列的时域分解任意离散序列f(k) 可表示为f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + 信号信号f(k)f(k)分解为分解为单位序列叠加单位序列叠加 卷积和卷积和线性运算2 .任意序列作用下的零状态响应根据h(k)的定义：3 .卷积和的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和，则定义和为为f1(t)与与f2(t)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量i 下进行的，下进行的，i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。求和上下限求和上下限 如果f1(k)为因果序列，由于k0时，f1(k)=0，故式(5.2 - 2)中求和下限可 改写为零，即 如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2 - 2)中，当(k-i) 0，即ik时，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改写为k，也就是 如果f1(k)和f2(k)均为因果序列， 则有 (5.2 - 5)用定义求卷积和例题用定义求卷积和例题例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。解： yzs(k) = f (k) * h(k)当i k时，(k - i) = 0这种卷积和的计算方法称为解析法二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： k换为i得f1(i)， f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转f2(i),右移k f2(k i)（3）乘积： f1(i) f2(k i)（4）求和： i 从到对乘积项求和。注意：k 为参变量。下面举例说明。 与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘平移、相乘 、求和等四个基本步骤。、求和等四个基本步骤。 例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？（1）换元（2） f2(i)反转得f2( i)（3） f2(i)右移2得f2(2i)（4） f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2) = 4.5解：画出解：画出f1(i),f2(i),f2(-i)?列表法求卷积和列表法求卷积和 f(k) =f1(k)*f2(k) = f1(i)f2(k-i) f(k)序号和：序号和：见书p104i+（k-i）=kf1(i)和和f2(k-i)将将f1(k)的值排成一行；将的值排成一行；将f2(k)的值排成一列，的值排成一列，交叉点处记入相应的乘积、交叉点处记入相应的乘积、沿虚线上对应序列和为沿虚线上对应序列和为常数，沿虚线各数值之和即为卷级和常数，沿虚线各数值之和即为卷级和不进位乘法求卷积与不进位乘法求卷积与-列表法本质是一样列表法本质是一样方法：方法：将两序列样值以各自将两序列样值以各自k k的最高值按右端对齐，的最高值按右端对齐，然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最后然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和。把同一列上的乘积值按对位求和。对有限长序列，卷积和的计算用：对有限长序列，卷积和的计算用：不进位乘法不进位乘法f(k)=所有两序列序号之和为所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。的那些样本乘积之和。如如k=2时时f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + 任意序列任意序列f(k) =+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2)+ + f1(i) f2(k i) + + f1(1) ， f1(2) ， f1(3)f2(0) ， f2(1)f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) f1(3) f2(1) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(1) f2(0)f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成乘法排成乘法例例 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0不进位乘法求卷积和不进位乘法求卷积和例例 f1(k) =1， 2 ， 3 ， 4 k=0 f2(k) = 5，6，7 k=01 ， 2， 3， 45 ， 6 ， 7解解7 ，14， 21， 286 ，12, 18, 245 , 10，15, 20+ 5, 16, 34 , 52, 45， 28求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 5，16 ，34，52，45，28k=0四、卷积和的性质1.卷积和代数运算满足乘法的三律：(1)交换律交换律, (2) 分配律分配律,(3) 结合律结合律.求求卷积和卷积和是本章的重点是本章的重点三个LTI系统响应相同 级联卷积和的代数运算规则在系统分析中的物理意义卷积和的代数运算规则在系统分析中的物理意义：两个子系统两个子系统并联并联组成的复合系统，其单位序列响应组成的复合系统，其单位序列响应=两个子系统的单位序列响应之和两个子系统的单位序列响应之和两个子系统两个子系统级联级联组成的复合系统，其单位序列响应组成的复合系统，其单位序列响应=两个子系统的单位序列响应卷积和两个子系统的单位序列响应卷积和2 与 (k) 卷积和:证明:(或用图形卷积法证明或用图形卷积法证明)3 与(k)的卷积和(k)*(k) = (k+1)(k)性质求卷积和性质求卷积和例例1 复合系统中复合系统中h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求复合系统的，求复合系统的单位序列响应单位序列响应h (k) 。 解解 根据根据h(k)的定义，有的定义，有h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k) = h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = (k)* (k) (k 5) *(k) = (k+1)(k) (k+1 5)(k 5) = (k+1)(k) (k 4)(k 5)(k)*(k) = (k+1)(k)例例2 如图复合系统由两个子系统如图复合系统由两个子系统级联组成，其中级联组成，其中h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = ak(k)，激励激励f(k)= (k)a(k-1)，求复合，求复合系统的零状态响应响应系统的零状态响应响应yf (k) 。 解解yf (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(k)*ak(k)*(k)a(k-1) = 2cos(k)*ak(k) - ak(k -1) = 2cos(k)* (k) = 2cos(k)作业作业P111 -3.8（2），），3.1（1）,3.12（2）