专题四 分类讨论问题 分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想. 分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难度较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性.目前，深圳中考试卷中，常见的需分类讨论的知识点有三大类:（1）代数类:有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等.（2）几何类:有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.（3）综合类:代数与几何类分类情况的综合运用. 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的. 分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.代数类常常涉及绝对值，方程及根的定义，分式、根式方程.【例题1】已知|a|=5，|b|=3，且ab0，求a-b的值思路分析：根据已知条件和绝对值的性质，得a=5，b=3，且ab0，确定a，b的符号，求出a-b的值解：|a|=5，|b|=3，a=5，b=3ab0，a，b异号当a=5，b=-3时，a-b=5-（-3）=8当a=-5，b=3时，a-b=-5-3=-8故a-b的值为8或-8题型一题型一 代数类代数类【例题2】已知实数a，b分别满足a2+2a=2，b2+2b=2，求的值.思路分析：根据题意，a，b可看作方程x2+2x-2=0的两根，则根据韦达定理得到a+b=-2，ab=-2，然后把原式变形得到原式=，再利用整体代入的方法计算即可.解：若ab，可知a，b为方程x2+2x-2=0的两实数根，由韦达定理，得a+b=-2，ab=-2，若a=b，则解关于a，b的方程，分别得a=b=或a=b=， 或综上所述， 或或【例题3】已知直角三角形两边x，y的长满足，则第三边长为.思路分析：直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质进而得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分类讨论得出即可解答： 两个非负数的和为0，这两个非负数都为0,x2-4=0且y2-5y+6=0.x2=4，(y-2)(y-3)=0.又x0，x=2，y=2或y=3.当x=2，y=2时，x，y都是直角边，第三边为斜边，根据勾股定理第三边为；当x=2，y=3，且x，y都是直角边时，根据勾股定理第三边为斜边即；当x=2，y=3，且y为斜边时，根据勾股定理第三边为另一条直角边即故答案为或或.【例题4】（2016荆门市）已知3是关于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7B10C11D10或11思路分析：把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰三角形ABC的两条边长；最后利用三角形三边关系和三角形的周长公式求解即可解答：把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4.因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，所以当ABC的腰为4，底边为3时，ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，ABC的周长3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或11故答案选DD几何类常涉及各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况，函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等;函数定义域变化、函数图象未给出、函数对称性(反比例函数、二次函数的图象)等，分类讨论问题也常通过数形结合的方法来解答.题型二题型二 几何类几何类【例题5】在半径为5 cm的O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且ABCD，求AB与CD之间的距离.思路分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种:两弦在圆心的同侧;两弦在圆心的异侧.解:过点O作AB，CD的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接OA，OC.在RtOAE中，在RtOCF中，当AB，CD在圆心O的同侧时，如图，AB和CD之间的距离为EF=4-3=1(cm);当AB，CD在圆心O的异侧时，如图，AB和CD之间的距离为EF=4+3=7(cm).AB和CD之间的距离为1 cm或7 cm.【例题6】（2016台州市）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形（1）三等角四边形ABCD中，A=B=C，求A的取值范围.（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH求证：四边形ABCD是三等角四边形（3）三等角四边形ABCD中，A=B=C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长思路分析：（1）根据四边形的内角和是360，确定出A的范围；（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到E=F，且E+EBF=180，再根据等角的补角相等，判断出DAB=DCB=ABC，即可；（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长解答：（1）解：A=B=C.3A+ADC=360.ADC=360-3A0ADC180，0360-3A180.60A120.（2）证明：四边形DEBF为平行四边形，E=F，且E+EBF=180DE=DA，DF=DC，E=DAE=F=DCF.DAE+DAB=180，DCF+DCB=180，E+EBF=180，DAB=DCB=ABC.四边形ABCD是三等角四边形.（3）解：当60A90时，如答图，过点D作DFAB交点BC于点F，DEBC交点AB于点E，四边形BEDF是平行四边形，DFC=B=DEA.EB=DF，DE=FB.A=B=C，DFC=B=DEA，DAEDCF，AD=DE，DC=DF=4.设AD=x，AB=y，AE=y-4，CF=4-x.DAEDCF，当x=2时，y的最大值是5，即当AD=2时，AB的最大值为5.当A=90时，三等角四边形是正方形，AD=AB=CD=4.当90A120时，D为锐角，如答图，AE=4-AB0，AB4.综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE=1，如答图.过点C作CMAB于点M，DNAB于点N.DA=DE，DNAB，AN=AE=.DAN=CBM，DNA=CMB=90，DANCBM.BM=1.AM=4，代数与几何类分类情况的综合运用.【例题7】（2016齐齐哈尔市）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B，C两点，且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根（1）求线段BC的长度（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由题型三题型三 综合类综合类思路分析：（1）解出方程后，即可求出B，C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A，B，C三点坐标可知OA2=OCOB，AOC=BOA,所以可证明AOCBOA，利用对应角相等即可求出CAB=90；（3）容易求得直线AC的表达式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的表达式即可求出D的坐标；（4）以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：AB=AP；AB=BP；AP=BP；然后分别求出点P的坐标即可解:（1）x2-2x-3=0，x=3或x=-1B（0，3），C（0，-1）BC=4（2）ACAB.理由如下：A（ ，0），B（0，3），C（0，-1），OA=，OB=3，OC=1OA2=OBOC又AOC=BOA=90，AOCBOACAO=ABOCAO+BAO=ABO+BAO=90BAC=90ACAB（3）设直线AC的表达式为y=kx+b.把点A（3，0）和C（0，-1）代入y=kx+b， 解得直线AC的表达式为DB=DC，点D在线段BC的垂直平分线上D的纵坐标为1把y=1代入解得x= D的坐标为（ ，1）（4）设直线BD的表达式为y=mx+n，直线BD与x轴交于点E.把B（0，3）和D（ ，1）代入y=mx+n，解得直线BD的表达式为 令y=0代入 ，解得x= E（ ，0）OE= tanBEO= BEO=30同理，可求得ABO=30，ABE=30当PA=AB时，如答图此时，BEA=ABE=30，EA=AB点P与点E重合点P的坐标为（ ，0）当PA=PB时，如答图此时，PAB=PBA=30，ABE=ABO=30，PAB=ABOPABCPAO=90点P的横坐标为 令x= 代入，解得y=2.P（ ，2）当PB=AB时，如答图由勾股定理，可求得AB= ，EB=6若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1Fx轴于点F.P1B=AB=EP1=6-sinBEO= FP1=3令y=3 代入 ，解得x=-3P1（-3，3 ）若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2Gx轴于点G.P2B=AB= EP2=6+ sinBEO= GP2=3+ 令y=3+ 代入 ，解得x=3P2（3，3+ ）综上所述，当以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（ ，0），（ ，2），（-3，3- ），（3，3+ ）