第七第七节一、三角一、三角级数及三角函数系的正交性数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶二、函数展开成傅里叶级数数三、正弦三、正弦级数和余弦数和余弦级数数 第十一章 傅里叶傅里叶级数数 三角函数正交性一、三角一、三角级数及三角函数系的正交性数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性定理定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性二、二、函数展开成傅里叶函数展开成傅里叶级数数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证: 由定理条件,对在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式 确定的以的傅里里的傅傅里里叶叶级数数 .称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性定理定理3 (收收敛定理定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解解: 先求傅里里叶系数将 f (x) 展成傅里里叶级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明明:f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性例例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性说明明: 当时, 级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性周期延拓傅里里叶展开上的傅里里叶级数定定义在在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏的傅氏级数展开法数展开法其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性例例3. 将函数级数 .则解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性设已知又机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性三、正弦三、正弦级数和余弦数和余弦级数数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性例例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性例例5. 将周期函数展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:是周期为2 的周期偶函数 , 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性例例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 三角函数正交性再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性说明明: 令 x = 0 可得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性内容小内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意: 若为间断点, 则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与思考与练习三角函数正交性处收敛于2.则它的傅里里叶级数在在处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,三角函数正交性3. 设又设求当的表达式 .解解: 由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性4. 写出函数傅氏级数的和函数 .答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性备用用题 1.叶级数展式为则其中系提示提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 三角函数正交性2. 设是以 2 为周期的函数 , 其傅氏系数为则的傅氏系数提示提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数正交性