精品资料欢迎下载高等数学期末复习第九章多元函数微分学一、内容要求1、会求简单二元函数定义域2、会求多二元函数表达式和值3、会求简单二元函数的极限4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性13、能观察出简单多元函数极值情况14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度二、例题习题1、二元函数xyzarcsin的定义域是 ( ) A.|),(xyyxB. 0|),(xxyyxC. 0|),(xxyyxD. 0|),(xxyyx解： 使函数xyzarcsin有意义，只要| 1,0yxx，即| | |,0yxx，所以，选B.（内容要求 1）2、函数221( , )ln()f x yxyxy的定义域为；解： 使函数221( , )ln()f x yxyxy有意义，只要220,0xyxy，所以填22(, ) |0,0x yxyxy（内容要求1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品资料欢迎下载3、设22(,),f xy xyxy则( , )f x y( ). (A) 22xy(B)22xy(C)2()xy(D)xy解： 令,uxy vxy，则,22uvuvxy，于是22(,)f xy xyxy( , )f u vuv即由函数与自变量记号选取无关性有( , )fx yxy。所以选D。 （内容要求2）4、设22( ,)2xyf x yxy，则(2,3)f；解：4913(2, 3)1212f，所以填1312。 （内容要求2）5、( , )(0,0)11limx yxyxy( )；A.21B. 41C. 1D. 0解：( , )(0,0)( , )(0,0)( , )(0,0)11(1 1) (11)112(11)1 1limlimlimx yx yx yxyxyxyxyxyxyxy所以选 A。 （内容要求3）6、( ,)(0,0)sinlimx yxyx；解：( , )(0,0)( ,)(0,0)( ,)(0,0)( ,)(0,0)sinsinsinlimlimlimlim0x yx yx yx yxyxyxyyyxxyxy所以填 0。 （内容要求3）7、( , )(2,0)sinlimx yxyy；解：( , )(2,0)( ,)(2,0)(, )(2,0)sinsinlimlimlim2x yx yx yxyxyxyxy，所以填2。 （内容要求3）8、函数),(yxf在点)0, 0(处存在偏导数，则xxffx)0,2()0, 0(lim0( )；A)0, 0(21xfB)0, 0(21xfC)0, 0(2xfD)0,0(2xf解： 由偏导数定义，00(0,0)(2 ,0)(2 ,0)(0,0)lim2lim2(0,0)2xxxffxfxffxx所以选 C。 （内容要求4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页精品资料欢迎下载9、 函数),(yxf在点)0,0(处存在偏导数，则yyffy2),0()0,0(lim0( )；A)0,0(21yfB)0,0(21yfC)0,0(2yfD)0,0(2yf解： 由偏导数定义，00(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1limlim(0,0)222yyyffyfyffyy所以选 B。 （内容要求4）10、函数),(yxf在点),(00yx处存在偏导数，则xyxxfyxfx),(),(lim00000( )；A),(00yxfxB),(00yxfxC),(00yxfyD),(00yxfy解： 由偏导数定义，000000000000(,)(,)(,)(,)limlim(,)xxxf xyf xx yf xx yf xyfxyxx所以选 A。 （内容要求4）11、函数),(yxf在点),(00yx处偏导数存在是),(yxf在点),(00yx处连续的 ( )；A充分必要条件B必要条件C充分条件D既不充分也不必要条件解： 选 D。 （内容要求4）12、设函数2( , )f x yxxy，则(1,1)yf( ). (A) 1 (B) 2(C) 12(D) 3解：( , )2yxfx yy，所以1(1,1)2yf，所以选C。 （内容要求5）13、设2yzx，则2(1, 1)zx y( ). (A) 2(B) 1(C) 2(D) 1解：22222,zyzyxxx yx，所以2(1, 1)2zx y，所以选 C。 （内容要求5）14、22ln(1)zxy，则12d|xyz解：222222,11zxzyxxyyxy，所以，112212|,|33xxyyzzxy，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页精品资料欢迎下载1212d33|xyzdxdy，所以填1212d33|xyzdxdy。 （内容要求6）15、设221ln(1)2zxy，则(1,1)d |z解：2222,11zxzyxxyyxy，所以，111111|,|33xxyyzzxy，故1111d33|xyzdxdy，所以填1111d33|xyzdxdy。 （内容要求6）16、设xyzarctan，则xz( )；A. 222yxxB. 22yxyC. 221yxD. 22yxy解：22221()1()zyyyxxxyx，所以选D。 （内容要求7）17、 设sinyzx，则zy( ). (A) 1cosyxx(B) 1cosyxx(C) 2cosyyxx(D) 2cosyyxx解：11coscoszyyyx xxx，所以选A。 （内容要求7）18、设22sin()zxy，则22zx( ). (A) 22sin()xy(B) 22sin()xy(C) 2224sin()xxy(D) 222222cos()4sin()xyxxy解：2222222222 cos(),2cos()4sin()zzxxyxyxxyxx，所以选 D。 （内容要求7）19、设xyzln，则xz( )；A. yxB. xyC. y1D. x1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品资料欢迎下载解：21()zxyxyxx，所以选D. （内容要求7）20、设yxyz)1 (，yz解：1(1)ln(1) (1)(1) ln(1)1yyyzxxyxxyxyxyxyyxy，所以填(1) ln(1)1yxxyxyxy。 （内容要求7）21、 若函数222xyxz，则xz解：24zxyx，所以填24xy。 （内容要求7）22、设)2(cos22yxz，验证02222yxzyz。解：22cos ()cos(2)1,2sin(2),sin(2)2yzzzxxyxyxyxy2222cos(2),cos(2)zzxyxyx yy，将上述导数代入式子左端得0， 所以等式成立。（内容要求7）23、设44224zxyx y，求222222,zzzzxyx yy x. 解：22322248,128,16zzzxxyxyxyxxx y由, x y在表达式中的对称性，2222128,16zzyxxyyy x。 （内容要求8）24、设22yxz，求2222yzxz解：2222222222 322 31,()()zxzxyxxxyxyxyxy由, x y在表达式中的对称性，22222 3()zxyxy， 所以，2222221zzxyxy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品资料欢迎下载（内容要求8）25、设)ln(yxz，求yzyxzx解：11122()zxxyxyx，由, x y在表达式中的对称性，11122()zyxyxyy，所以，12zzxyxy（内容要求8）26、设)ln(22yxz，求yxzyzxz22222,. 解：2222222222222222222224224,()()()zxzxyxzxyxxyxxyxyxyx yxy，由, x y在表达式中的对称性，222222222()zxyxxy。 （内容要求8）27、设)ln(yxeez，验证22xz22yz-22yxz=0. 解：2222222,()()()xxxxyxyxyxyxyxyxyzezeeezexeexeeeeeex yee由, x y在表达式中的对称性，222()xyxyzeyee，将上述各导数代入式子左端得0，所以等式成立。（内容要求8）28、设tyxz22，txsin，tycos，求全导数tzdd. 解：2 cos2 sin1dzxtytdt。 （内容要求9）29、ln ,zuv uxy vxy，求,zzxy及全微分dz. 解：lnln()zuxyv yyxyxvxy，lnln()zuxyv xxxyyvxy，全微分为ln() ln()xyxydzyxydxxxydyxyxy。 （内容要求9）30、设22zyfxy, 其中f u可微，则zzyxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品资料欢迎下载解：22222,12zzxfxyyfxyxy，所以zzyxxxy，所以填x. （内容要求 9）31、设22(,)xyzf xye，其中f有一阶连续偏导数，求yzxz,. 解：12122,2xyxyzzxfye fyfxe fxy量（内容要求9）32、设22(,)x yzf xye，其中f有一阶连续偏导数，求yzxz,. 解：12122,2x yx yzzxfefyfefxy。 （内容要求9）33、),(yxxzzyfu有连续偏导数，求zuyuxu解：231312,uuuffffffxyz，所以，0uuuxyz（内容要求9）34、设,xzxyy则z的全微分dz( ). (A) 21()d()dxyxxyyy(B) 21()d()dxyxxyyy(C) 1()d()dxyxxyyy(D) 11()d()dyxxyyy解：21,zzxyxxyyy所以21d()d()dxzyxxyyy，所以选 A。 （内容要求10）35、函数)ln(yxz的全微分为解：11,zzxxyyxy，所以1()dzdxdyxy。所以填1()dzdxdyxy。（内容要求10）36、设0yyxe，则ddyx( ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品资料欢迎下载(A) 1yyexe(B) 1yyexe(C) 1yyxee(D) 1yyxee解：()001yyyyyeyxeyexe yyxe，所以选B。 （内容要求11）37、设( , )zz x y是由方程0zexyz所确定的隐函数，则zx( ). (A) zyzexy(B) zyzexy(C) zxyeyz(D) zxyeyz解：0zzzzzyzeyzxyxxxexy，所以选B。 （内容要求11）38、设( , )zz x y是由方程330zxyz所确定的隐函数，则有( ). (A) zzxyxy(B) zzxy(C) zzxy(D) zzyxxy解：223330zzzyzzyzxyxxxzxy，同理，2zxzyzxy，所以选A。 （内容要求 11）39、设方程zxyze确定了二元函数( ,)zf x y，则zx解：111zzzzzexxxe，所以填11ze。 （内容要求11）40、 设方程20zxyez确定了二元函数( , )zf x y，则zy解：2201zzzzzeyyye所以填21ze。 （内容要求11）41、设方程zexyz确定了二元函数),(yxz，则yz; 解：zzzzzxzxzxyeyyyexy，所以填zxzexy。 （内容要求11）42、设方程22240xyzz确定了二元函数),(yxz，则yz; 解：22402zzzyyzyyyz，所以填2yz。 （内容要求11）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品资料欢迎下载43、设方程0sin zzxy确定了二元函数),(yxz，则xz; 解：cos0cos1zzzyyzxxxz，所以填cos1yz。 （内容要求11）44、设函数22( ,)22013f x yxyy，则( )(A) (0,1)不是( , )f x y的驻点(B) (0,1)是( , )f x y的驻点，但非极值点(C) (0,1)是( , )f x y的极小值点(D)(0,1)是( , )f x y的极大值点解：( , )2 ,( , )22,( , )2,( ,)0,( , )2xyxxxyyyfx yx fx yyfx yfx yfx y因为(0,1)满足( , )0xfx y，( , )0yfx y，所以是驻点，又(0,1)2,(0,1)0,(0,1)2xxxyyyAfBfCf有20,0AACB，(0,1)是( , )f x y的极大值点。故选D。 （内容要求12）45、设yxxz33，则它在点 (1,0)处( ) A.取得极大值B.无极值C.取得极小值D. 无法判断是否有极值解：233,1zzxxy，所以yxxz33无驻点， 不存在偏导数不存的点，故选 B。（内容要求12）46、设22)(4yxyxz，则它在点 (2，-2)处( ) A.取得极大值B.无极值C.取得极小值D.无法判断是否有极值解：2222242 ,42 ,2,0,2zzzzzxyxyxx yy，故选 A。 （内容要求12）47、 函数22( ,)42f x yxyx在驻点(1, 0)处 ( )(A) 取到极小值(B) 取到极大值(C) 取不到极值(D) 无法判断是否有极值解：( , )22,( , )8 ,xyfx yxfx yy( , )2,( , )0,( ,)8,xxxyyyfx yfx yfx y故选 A。 （内容要求 12）48、 二元函数512632yxyxz在)2,3(处( ); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品资料欢迎下载A. 无法判断是否有极值B. 取不到极值C. 取到极大值D. 取到极小值解：22222226,312,2,0,6zzzzzxyyxyxx yy，故选 C。 （内容要求12）49、 二元函数xyxyxz9332233的极小值点为( ); A. )0 ,3(B. )2,3(C. )0, 1(D. )2, 1(解：2222222369,36 ,66,0,66zzzzzxxyyxyxyxx yy，故选C。（内容要求12）50、 二元函数xyxyxz9332233的极大值点为( ); A. )0 , 1(B. )2, 1 (C. )0, 3(D. )2 ,3(解：2222222369,36 ,66,0,66zzzzzxxyyxyxyxx yy，故选D。（内容要求12）51、 函数2423yxz的极大值为；解： 显然在（ 0，0）处取极大值3，所以填3。 （内容要求13）52、 函数5342yxz的极小值为解： 显然在（ 0，0）处取极小值5，所以填5。 （内容要求13）53、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为：xyx)3(和yyx)24(， （0） ，求使产鱼总量最大的放养数 . 解： 产鱼总量223422zxyxxyy，所以32204240zxyxzxyy解得22223243,22(2)xy，由实际问题，产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养22223（万尾），乙种鱼放养)2(23422（万尾）（内容要求14）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品资料欢迎下载54、曲面221zxy在点(2,1,4)的切平面方程为( ). (A) 4260xyz(B) 42140xyz(C) 214421xyz(D) 214421xyz解：2 ,2zzxyxy，所以，221zxy在点(2,1,4)的法向量为4,2,1 ，所以在点(2,1,4)的切平面方程为4(2)2(1)(4)0xyz，整理得4260xyz。所以选 A。 （内容要求15）55、曲面2210xyz在点(2,1,4)的法线方程为( ). (A) 4260xyz(B) 42140xyz(C) 214421xyz(D) 214421xyz解： 由前题已求得在(2,1,4)的法向量为4,2,1，所以选C。 （内容要求15）56、 曲面3zezxy在点(2,1,0)处的切平面方程为( ). (A) 21123xyz(B) 4xyz(C) 240xy(D) 240xy解： 令( , , )3zF x y zezxy，则,1zFFFyxexyz，由此得(2,1,0)处法向量为1,2,0，所以得切平面方程为240xy，所以选C。 （内容要求15）57、曲面2850xxyxz在点(2,3,1)处的法线方程为( ). (A) 231121xyz(B) 231121xyz(C) 250xyz(D) 231xtytzt解 ： 令2( , )85F x y zxxyxz，则28,1FFFxyxxyz，由 此得(2,3,1)处法向量为 1, 2,1 ，所以法线方程为231121xyz，所以选A。 （内容精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页精品资料欢迎下载要求 15）58、曲面9222zyx在点)2, 2, 1(处的切平面方程为，法线方程为解： 令222( , , )9F x y zxyz，2 ,2 ,2FFFxyzxyz，由此得)2,2,1 (处法向量为2,4,4，切平面方程为2(1)4(2)4(2)02290xyzxyz法线方程为122122244122xyzxyz。 （内容要求15）59、曲线xt，2yt，3zt在对应于1t点处的切线方程是( ). (A) 123146xyz(B) 123126xyz(C) 111123xyz(D) 111126xyz解：21,2 ,3xyt zt， 在1t点处的切向量为1,2,3， 所以切线方程为C。 所以选 C。（内容要求16）60、曲线23, 1tztyx在点) 1, 1, 1 (处的切线方程为，法平面方程为; 解：20,3 ,2xytzt，所以切向量为0, 3, 2，切线方程为111032xyz，法平面方程为0(1)3(1)2(1)03250xyzyz（内容要求16）61、在曲线32,tztytx上求出其切线平行于平面42zyx的切点坐标 . 解： 设切点处参数为t，由21,2 ,3xyt zt，得切点处切向量为21,2 ,3tt。又平面42zyx的法向量为1,2,1，于是21211 430,13tttt，故切点坐标为)1,1,1(或)271,91,31(。 （内容要求16）62、函数xyez2在点 P(1,0)处从点 P(1,0)到 Q(2,-1)的方向的方向导数为( ) A. 221eB. 221eC.221eD.221e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品资料欢迎下载解： 点 P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1) 的方向向量为1, 1，单位化得11,22，又222,xxzzyeexy，故222coscosxxzyeel，2101|2xyzel，所以选 A。 （内容要求 17）63、函数222),(zyxzyxf在点 (1,-1,2)处梯度为 ( ) A.（2， -2，4）B. (-2，-2， 4) C.(-2，2，-4) D.(2， 2，4) 解：( , , )2 ,( , , )2 ,( , , )2 ,xyzfx y zx fx y zy fx y zz所以rad2,2,4gf，所以选 A。（内容要求18）64、函数222ln()uxyz在点(1,2, 2)M的梯度radgu( ). (A) 1 22,9 99(B) 23(C) 13(D)2 44,9 99解：222222222222,uxuyuzxxyzyxyzzxyz，2 44rad,9 99gu，所以选 D（内容要求18）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页