1.3.2(1)函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性；【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？提出问题 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 结论： 这两个函数之间的图象都关于y 轴对称 . 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1 和表 2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x2表 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x| 表 2 结论： 这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有 f(-x)=f(x). 定义：1偶函数一般地， 对于函数( )f x的定义域内的任意一个x，都有()( )fxfx，那么( )f x就叫做偶函数观察函数f(x)=x 和 f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2奇函数一般地，对于函数( )f x的定义域的任意一个x，都有()( )fxf x，那么( )f x就叫做奇函数注意：1、如果函数( )yf x是奇函数或偶函数，我们就说函数( )yf x具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）如果一个函数的定义域不关于“0”（原点 ）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、偶函数的图象关于y 轴 对称 , 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数且( )(|)f xfx奇函数的图象关于原点 对称； 反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且 f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法 ，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是(1) 、先求定义域，看是否关于原点对称；(2) 、再判断()( )fxf x或()( )fxf x是否恒成立；（3） 、作出相应结论. 若()( )()( )0,( )fxf xfxfxf x或则是偶函数；若()( )()( )0,( )fxf xfxf xf x或则是奇函数例判断下列函数的奇偶性（1）2( ) 1,2fxxx为非奇非偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页（2）32( )1xxf xx为非奇非偶函数（3）xxxf3)(奇函数（4）11)1()(xxxxf（5）f(x) =x+x1；奇函数（6）21( )2 |2|xf xx奇函数（7）22( )11f xxx既是奇函数又是偶函数（8）0,)(aaxf为非奇非偶函数常用结论：(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1.3.2(2)函数的奇偶性一分段函数奇偶性的判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页例 1.判断函数的奇偶性：2211(0)2( )11(0)2xxg xxx解：当x0 时，x 0，于是2211()()1(1)( )22gxxxg x当x 0 时，x0，于是222111()()11(1)( )222gxxxxg x综上可知，( )g x是奇函数练习： 1. 证明)0(320)0(32)(22xxxxxxxf，是奇函数 . 例2.)(xf为 R 上的偶函数，且当)0,(x时，)1()(xxxf，则当),0(x时，)(xfx(x+1) 若 f(x) 是奇函数呢？二已知函数的奇偶性求参数值：例 3、已知函数2( )(2)(1)3fxmxmx是偶函数，求实数m的值解：2( )(2)(1)3fxmxmx是偶函数，()( )fxf x恒成立，即2(2)()(1)()3mxmx2(2)(1)3mxmx恒成立，2(1)0mx恒成立，10m，即1m练习：1.如果二次函数2(0)yaxbx c a是偶函数，则b02已知函数f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a 1，2a ，则 a=13b= 0 三构造奇偶函数求值例 4、已知函数53( )8f xxaxbx，若( 2)10f，求(2)f的值。【解】方法一：由题意得53( 2)( 2)( 2)( 2)8fab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页53(2)2228fab得( 2)(2)16ff( 2)10f，(2)26f方法二：构造函数( )( )8g xf x，则53( )g xxaxbx一定是奇函数，又( 2)10f ( 2)18g因此(2)18g所以(2)818f，即(2)26f练习1. 已知f(x) x7ax5bx5，且f( 3) 5，则f(3) ( -15 ) 2. 若)(x，g（x）都是奇函数，( )( )( )2f xaxbg x在（ 0，）上有最大值5，则f（x）在（，0）上有最小值1 单调性与奇偶性例 1设定义在2， 2上的偶函数f（x）在区间 0， 2上单调递减，若f（ 1m）f（m） ，求实数m的取值范围21m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页例 2.设函数 f（x）对任意x，都有 f（x+y ）=f（x）+f（y），且 x0 时 f（x） 0，f（1）=-1 （1）求证： f（x）是奇函数（2）判断 f（x）的单调性并证明（3）试问当 - 3x3 时 f （x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由5 、 已 知 函 数)(xf是 定 义 在R上 的 不 恒 为0 的 函 数 ， 且 对 于 任 意 的Rba,， 都 有)()()(abfbafabf（1） 、求)1 (),0(ff的值；0 ， 0 （2） 、判断函数)(xf的奇偶性，并加以证明奇4、函数)(xf是 R上的偶函数，且在),0上单调递增，则下列各式成立的是（ B ）A)1()0()2(fff B. )0() 1()2(fffC.)2()0()1(fff D.)0()2()1(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页