名师总结优秀知识点第七章图形的认识（二）一、直线被第三条直线所截形成8 个角。 (3 线 8 角) 1同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线 EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：1 和5。2内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线 EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如： 3 和5。3同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线 EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：3 和6。二、 平行线及其判定 ( 一) 平行线1. 平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。ab（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 ）2平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3. 平行公理推论： 平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b/a,c/a,那么b/c ( 二) 平行线的判定：1. 两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）2. 两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）3. 两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果ab，ac，则b c 。推论：在同一平面内， 如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。三、 平行线的性质( 一) 平行线的性质1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）3. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行， 同旁内角相等）( 二) 命题、定理、证明1命题的概念 ：判断一件事情的语句，叫做命题。2. 命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果, ，那么, ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师总结优秀知识点开始的部分是结论。3真命题：正确的命题，题设成立，结论一定成立。4假命题：错误的命题，题设成立，不能保证结论一定成立。5. 定理：经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据) 6证明：推理的过程叫做证明。四、平移1平移: 平移是指在平面内， 将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 ( 简称平移 ) ，平移不改变物体的形状和大小。2. 平移的性质把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形， 新图形与原图形的形状和大小完全相同。新图形中的每一点， 都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。对应点的连线平行且相等； 对应线段相等；对应角相等。第八章幂的运算一、幂的运算：乘方的概念 :求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 n a 中，a 叫做底数， n 叫做指数。乘方的性质 :（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0 1、同底数幂的乘法法则：nmnmaaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：532)()()(bababa2、幂的乘方法则：mnnmaa )(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(43、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。如： （523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx4、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)nm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师总结优秀知识点同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab5、零指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。6负指数幂的概念：appa1（a0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数也可表示为：ppnmmn（m0，n0，p 为正整数）7、科学记数法 :把一个绝对值大于10(或者小于 1) 的整数记为 a310n 的形式( 其中 1|a| 10), 这种记数法叫做科学记数法. 第九章整式的乘法与因式分解1、单项式与单项式相乘 ，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。8、单项式乘以多项式 ，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式 )。注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 9、多项式与多项式相乘 ，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。10、乘法公式：平方差公式：22)(bababa注意平方差公式展开只有两项公式特征： 左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：)(zyxzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师总结优秀知识点= 11、完全平方公式 ：2222)(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2 倍中间放，符号和前一个样。公式的变形使用：（1）abbaabbaba2)(2)(2222；abbaba4)()(22222)()()(bababa；222)()()(bababa（2）三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(222212、单项式的除法法则 ：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。13、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：cbamcmmbmmammcmbmam)(三、因式分解1、因式分解 的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式因式分解的常用方法：1、提公因式法（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数； 字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师总结优秀知识点（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式 需注意的是， 提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（3）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是： 把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式： a2b2 （ab） （ab）完全平方公式： a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）3、分组分解法 ：观察多项式：2aabacbc发现：多项式中既无公因式可提，也无公式法可用，但第一，第二项有公因式： a-b ，第三，第四项有公因式：a-b 。所以，2()()aabacbcac后，又发现有公因式：，最后2()()()()aabacbcac。这种利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解法4、十字相乘法：x25x6（ x+2 ） （ x+3 ） ；分析上式，我们发现，二次项的系数1 分解成 1 和 1 两个因数的积；常数项6分解成 2 和 3 两个因数的积；当我们把1, 1 ；2, 3 竖写后再交叉相乘的和正好等于一次项系数（如图）最后横写两个一次式就是分解的结果。像这种分解二次项的系数和常数项后交叉相乘的和等于一次项系数的方法，通常叫做十字相乘法 。因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解. 因式分解的方法多种多样 , 现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例 1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系, 如果把乘法公式反过来, 那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例 2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题 ) a +4ab+4b = （a+2b）1213235精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师总结优秀知识点3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn 分解因式 , 可以先把它前两项分成一组, 并提出公因式a, 把它后两项分成一组 , 并提出公因式b, 从而得到a(m+n)+b(m+n), 又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法对于 mx +px+q 形式的多项式 , 如果 ab=m,c d=q 且 ac+bd=p, 则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式, 有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式 ,就能将其因式分解. 例 5、分解因式x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分, 再用进行因式分解. 例 6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数, 然后进行因式分解,最后再转换回来. 例 7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x + )-(x+ )-6 令 y=x+ ,x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x , x , 则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) (x-x ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师总结优秀知识点例 8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法令 y=f(x),做出函数y=f(x)的图象 , 找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x , x , 则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) (x-x ) 例 9、因式分解x +2x -5x-6 令 y= x +2x -5x-6 作出其图象 , 见右图 , 与 x 轴交点为 -3,-1,2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法先选定一个字母为主元, 然后把各项按这个字母次数从高到低排列, 再进行因式分解. 例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a 为主元 , 将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法将 2或 10 代入 x, 求出数 P,将数 P分解质因数 , 将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式, 将 2 或 10 还原成 x, 即得因式分解式. 例 11、分解因式x +9x +23x+15 令 x=2, 则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积, 即 105=357 注意到多项式中最高项的系数为1, 而 3、5、7 分别为 x+1,x+3,x+5,在 x=2 时的值则 x +9x +23x+15= （x+1）（ x+3）（ x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式, 然后设出相应整式的字母系数, 求出字母系数, 从而把多项式因式分解 . 例 12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式, 因而只能分解为两个二次因式. 设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以解得则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)zhangying002F1 2014-10-17 第十章 二元一次方程二元一次方程组 1. 二元一次方程 ：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。2方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数， 且含未知数的项的次数都是一次， 那么这样的方程组叫做 二元一次方程组 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师总结优秀知识点二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。8.2 消元解二元一次方程组二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法 , 一种是加减消元法 . 1代入消元法： 用代入法 解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形， 用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数， 求出另一个未知数的值， 将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。2加减消元法： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。方程组的两个方程中， 如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数 ；（3） 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4） 将求出的未知数的值代入 原方程组 中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。3、三元一次方程组的解法三元一次方程组 ：方程组含有三个未知数， 每个方程中含有未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程组，像这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的一般步骤：观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数； 利用代入法或加减法， 把方程组中的一个方程， 与另外两个方程分别组成两组， 消去同一个未知数， 得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； 解这个二元一次方程组， 求得两个未知数的值； 将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值， 从而得到原三元一次方程组的解。8.3 实际问题与二元一次方程组实际应用：审题设未知数列方程组解方程组检验作答。关键：找等量关系常见的类型有：分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题顺流逆流公式：vvv顺静水vvv逆静水精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师总结优秀知识点第十一章一元一次不等式一、不等式及其解集1 不等式 ： 用不等号 表示不等关系 的式子叫不等式，不等号主要包括： 、 、 、 、 。2不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。3不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。二、不等式的性质 : 性质 1: 如果 ab,bc, 那么 ac(不等式的传递性 ). 性质 2: 不等式的两边同加 ( 减) 同一个数 ( 或式子) ， 不等号的方向不变。如果 ab,那么 a+cb+c(不等式的可加性 ). 性质 3: 不等式的两边同乘 ( 除以) 同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘 ( 除以) 同一个负数，不等号的方向改变。如果 ab,c0, 那么 acbc; 如果 ab,c0,acb,cd, 那么 a+cb+d. ( 不等式的加法法则 ) 性质 5: 如果 ab0,cd0, 那么 acbd. (可乘性 ) 性质 6: 如果 ab0,nN,n1, 那么 anbn, 且. 当 0n1时也成立 . (乘方法则 ) 二、一元一次不等式1. 一元一次不等式 ：含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式。2不等式的解法：步骤： ：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1 。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。1一元一次不等式组： 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2不等式组的解： 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。3解不等式组 ：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。解一元一次不等式组的一般步骤：求出这个不等式组中各个不等式的解集；利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。 如果这些不等式的解集的 没有公共部分，则这个不等式组无解( 此时也称这个不等式组的解集为空集)。求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。以两条不等式组成的不等式组为例，若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃 “同小取小”若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师总结优秀知识点式组的解集，此乃 “同大取大”若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集，此时一般表示为axb，或 axb。此乃 “相交取中若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集， 不等式组无解。此乃 “向背取空”不等式组的解集的确定方法（ab） ：不等式组在数轴上表示的解集解集口诀xa 同大取大；xb 同小取小；bxa 相交取中；空集向背取空。第十二章证明命题、定理、证明1命题的概念 ：判断一件事情的语句，叫做命题。2. 命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果, ，那么, ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。3真命题：正确的命题，题设成立，结论一定成立。4假命题：错误的命题，题设成立，不能保证结论一定成立。（用反证法，举反例说明一个命题是反命题）5. 定理：经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据) 6证明：推理的过程叫做证明。a b a b a b xa xb xa xa xa xb xb xb b a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页