优秀教案欢迎下载第六讲 立体几何新题型的解题技巧考点 1 点到平面的距离例 1（20XX 年福建卷理） 如图，正三棱柱111ABCA BC的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD；（）求二面角1AA DB的大小；（）求点C到平面1ABD的距离例 2.( 20XX年湖南卷 )如图 ,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD 的高分别为1 和 2,AB=4. ()证明 PQ平面 ABCD；()求异面直线AQ 与 PB 所成的角；()求点 P 到平面 QAD 的距离 . Q B C P A D O M A B C D 1A1C1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页优秀教案欢迎下载考点 2 异面直线的距离例 3 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD 与 SE间的距离 . 考点 3 直线到平面的距离例 4 如图，在棱长为2 的正方体1AC中， G 是1AA的中点，求BD 到平面11DGB的距离 . 考点 4 异面直线所成的角例 5（20XX 年北京卷文）如图，在 RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到， 且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD平面AOB；（II ）求异面直线AO与CD所成角的大小B A C D O G H 1A1C1D1B1OOCADBE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页优秀教案欢迎下载A B C Q P 例 6 （20XX 年广东卷）如图所示，AF、DE 分别是 O、 O1的直径 .AD 与两圆所在的平面均垂直， AD8,BC 是 O 的直径， ABAC6，OE/AD. ()求二面角BAD F 的大小；()求直线 BD 与 EF 所成的角 . 考点 5 直线和平面所成的角例 7.（20XX年全国卷理）四棱锥SABCD中，底面 ABCD为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD已知45ABC，2AB，22BC，3SASB（）证明SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小考点 6 二面角例 8 （20XX 年湖南卷文）如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30（I）证明BCPQ；（II ）求二面角BACP的大小DBCAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页优秀教案欢迎下载例 9( 20XX 年重庆卷 )如图，在四棱锥PABCD 中， PA底面ABCD,DAB 为直角， ABCD，AD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点 . （）试证： CD平面 BEF；（）设 PAkAB,且二面角E-BD-C 的平面角大于30,求 k 的取值范围 . 考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 10 （ 20XX年江苏卷）如图，已知1111ABCDA B C D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD， ， ，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tanCBAGHMDEF1B1A1DC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页优秀教案欢迎下载例 11 （ 20XX 年全国卷）如图 ,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A、B 在l1上， C 在 l2上， AM=MB=MN（I）证明 ACNB；（II ）若60ACB，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. 考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断. 例 12 . 如图（ 1） ，将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大 . 例 13 .如图左，在正三角形ABC 中， D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点，将 ABC 沿 DE 、EF、DF 折成三棱锥后，GH 与 IJ 所成角的度数为（）A、90B、60C、45D、 0NMCBAB A C D E F G H I J (A、B、C)D E F G H I J 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页优秀教案欢迎下载例 14.长方体 ABCDA1B1C1D1中，设对角线 D1B 与自 D1出发的三条棱分别成、角求证： cos2cos2cos21 设 D1B 与自 D1出发的三个面成、角，求证：cos2cos2cos22 考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， AB2a，BCCAAA1 a，A1在底面 ABC 上的射影O 在 AC 上求 AB 与侧面 AC1所成角；若 O 恰好是 AC 的中点，求此三棱柱的侧面积. 例 16. 等边三角形ABC 的边长为4，M、N 分别为AB、AC的中点，沿MN 将 AMN 折起，使得面AMN 与面 MNCB 所成的二面角为30，则四棱锥AMNCB 的体积为（）A、23B、23C、3D、3 A B CA D A1B1 C1 D1 A1 B1 C1 A B C D O A B C M N K L A B C M N K L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页优秀教案欢迎下载例 17.如图，四棱锥PABCD 中，底面是一个矩形，AB 3，AD1，又 PAAB，PA4，PAD60求四棱锥的体积；求二面角 PBC D 的大小 . 例 18 .（ 20XX 年全国卷）已知圆O1是半径为 R 的球 O 的一个小圆，且圆O1的面积与球O 的表面积的比值为92，则线段OO1与 R 的比值为. 【专题训练与高考预测】一、选择题1如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在 BB1上，且 BD=1，若 AD 与侧面 AA1CC1所成的角为，则的值为（）A. 3B. 4C. 410arctanD. 46arcsin2直线 a与平面成角， a 是平面的斜线， b 是平面内与 a 异面的任意直线，则a 与 b 所成的角（）A. 最小值，最大值B. 最小值，最大值2C. 最小值，无最大值D. 无最小值，最大值4C B A 1A1B1CD P A H E D B C R r A O1O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页优秀教案欢迎下载3在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A. 30B. 45C. 60D. 904如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，60BAD，则对角线A1C 与侧面 DCC1D1所成的角的正弦值为（）A. 21B. 23C. 22D. 435已知在ABC中，AB=9，AC=15，120BAC，它所在平面外一点P 到ABC三顶点的距离都是14，那么点P 到平面ABC的距离为（）A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 6如图，在棱长为3 的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N 分别是棱 A1B1、A1D1的中点，则点B 到平面 AMN 的距离是（）A. 29B. 3C. 556D. 2 7将60QMN，边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线NQ折成60的二面角，则MP 与 NQ 间的距离等于( ) A. a23B. a43C. a46D.a438二面角l的平面角为120，在内，lAB于 B，AB=2,在内，lCD于 D，CD=3,BD=1, M 是棱l上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ( ) A. 52B. 22C. 26D. 629空间四点A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为( ) A. a21B. a22C. a23D.a10在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A. a)62(B. a262C. a)31(D. a231B A C D D1 C1 B1 A1 A D B A D1 C1 B1 A1 M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页优秀教案欢迎下载11已知长方体ABCD-A1B1C1D1中， A1A=AB=2，若棱 AB 上存在点P，使PCPD1，则棱 AD 的长的取值范围是( ) A. 1 ,0B. 2, 0C. 2,0D. 2, 112将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 在平面 ABC 外，则 DB 与平面 ABC 所成的角一定不等于（）A. 30B. 45C. 60D. 90二、填空题1如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E 是 A1B1的中点，则下列四个命题：E 到平面 ABC1D1的距离是21；直线 BC 与平面 ABC1D1所成角等于45；空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成面积最小值为21；BE 与 CD1所成的角为1010arcsin2如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中， P 是 A1C1 上的动点， E 为 CD 上的动点，四边形ABCD 满足_时，体积AEBPV恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3边长为1 的等边三角形ABC 中,沿 BC 边高线 AD 折起 ,使得折后二面角B-AD-C 为 60,则点 A 到BC 的距离为 _,点 D 到平面 ABC 的距离为_. 4在水平横梁上A、B 两点处各挂长为50cm 的细绳，AM、BN、AB 的长度为60cm，在 MN 处挂长为60cm 的木条， MN 平行于横梁，木条的中点为O，若木条绕过 O 的铅垂线旋转60，则木条比原来升高了_. 5多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A 在平面内 .其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别是1、2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7. 以上结论正确的为. （写出所有正确结论的编号）D C B A E D1 A1 C1 B1 A B D C P E A1 D1 C1 B1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页优秀教案欢迎下载6. 如图，棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_m3. 三、解答题1在正三棱柱ABC A1B1C1中， 底面边长为a,D 为 BC 为中点，M 在 BB1上， 且 BM=13B1M，又 CM AC1; （1）求证： CM C1D; （2）求 AA1的长 . 2如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面是矩形且AD=2 ，AB=PA=2， PA底面 ABCD ，E 是 AD 的中点， F 在 PC 上. (1) 求 F在何处时， EF平面 PBC；(2) 在(1)的条件下， EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段 .若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3) 在(1)的条件下，求直线BD 与平面 BEF 所成的角 . O1 O2 O3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页优秀教案欢迎下载3如图，四棱锥SABCD 的底面是边长为1 的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3（ 1）求证 BCSC；（ 2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；（ 3）设棱 SA 的中点为M，求异面直线DM 与 SB 所成角的大小4在直角梯形ABCD 中，D=BAD=90,AD=DC=21AB=a,( 如图一 )将 ADC 沿 AC 折起，使 D 到D记面 ACD为,面 ABC 为面 BCD为（ 1）若二面角AC为直二面角（如图二） ，求二面角BC的大小 ; （ 2）若二面角AC为 60 （如图三），求三棱锥DABC 的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页优秀教案欢迎下载5如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段 EF 的中点（ 1）求证 AM/平面 BDE；（ 2）求二面角A DFB 的大小；（ 3）试在线段AC 上确定一点P，使得 PF 与BC 所成的角是60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页