学习必备欢迎下载8.1 二元一次方程组教学目标1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣教学难点弄懂二元一次方程组解的含义。知识重点二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。教学过程（师生活动）设计理念创设情境导入课题幻灯：古老的“鸡兔同笼问题”“今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足 问鸡、兔各几何？”学生思考自行解答，教师巡视最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案方案一：算术方法方案二：列一元一次方程解设有 x 只鸡，则有（ 35x）只兔根据题意，得2x 十 4(35x)=94. （解方程略）教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学的感情方案二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫在。分析问题（一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程）方案三：设有x 只鸡， y 只兔，依题意得 xy=35， 2x4y=94. 针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：（1） 、你能给这两个方程起个名字吗？（2）为什么叫二元一次方程呢？（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？结合学生的回答，教师板书定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1 的方程，叫做二元一次方程师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足两个方程把两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接我们也给它起个名字，叫什么好呢？944235yxyx定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念通过探究活动得出结论：1、 二元一次方程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载一个二元一次方程组（二）讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念探究活动： 满足 xy=35 的值有哪些？请填入表中：X y 教师启发：（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？（3）它与一元一次方程的解有什么区别？定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解，记为byax师：那么什么是二元一次方程组的解呢？学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程即：既是方程又是方程的解定义4：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解比如：从方案一，我们知道，x=23，y=12 使方程组中每一个方程成立所以我们把x=23， y=12 叫做944235yxyx的解记为：1223yx注意： 二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且” 议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？数多个这与一元一次方程有显著的区别通过对比，让学生体脸到从算术方法到代数方法是一种进步而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担巩固新知例 1 下列各对数值中是二元一次方程x2y=2 的解是（）A 02yx B 22yx C 10yx D 01yx解法分析：将 A、B,C,D 中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选A,B,C. 变式：其中是二元一次方程组2222yxyx解是 ( ) 解法分析：在例 1 的基础上，进一步检验A、B、C 中各对值是否满足方程2xy=2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程例 2（教材练习）本例先检验二元一次方程的解，再检脸二元一次方程组的解，符合从简单到复杂的认知规律使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念目的在于培养分析等量关系并列方程组的能力；培养观察估算能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载解答过程略力；使学生进一步熟悉二元一次方程组及其解的概小结提高本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？）发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力。布置作业1、必做题：教科书习题8.1 第 1、2 题2、选做题：教科书习题8.1 第 3题3、备选题：（ 1）根据下列语句，列出二元一次方程：甲数的一半与乙数的32的和为 11 甲数和乙数的2 倍的差为17 （2）方程 x2y=7 在自然数范围内的解（） A 有无数个 B 有一个 C 有两个 D 有三个（3）若 mxy=1 是关于 x,y 的二元一次方程，那么m 的值应是（） A.m O B. m=0 C. m是正有理数D. m 是负有理数（4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4 倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5 倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念本课教育反思评（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载8.2 消元（ 1）教学目标1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想教学难点代入消元法的基本思想。知识重点用代入法解二元一次方程组。教学过程（师生活动）设计理念创设情境引入课题播放学生篮球赛录像剪辑体育节要到了 篮球是初一 (1 ）班的拳头项目 为了取得好名次，他们想在全部22 场比赛中得到40 分已知每场比赛都要分出胜负，胜队得 2 分，负队得1 分那么初一(1) 班应该胜、负各几场？你会用二元一次方程组解决这个问题吗？根据问题中的等量关系设胜x 场，负 y 场，可以更容易地列出方程40220yxyx那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？问 题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强 求 知欲，对所学知识产生 亲 切感。探究新知1、 引导：什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解）满足方程的解有：121yx，220xx，319xx，418xx,517yx满足方程的解有：219yx，418yx，617yx，616yx这两个方程的公共解是418yx2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？学生思考并列出式子设胜 x 场，负 (22 x) 场，解方程 2x(22 x) =40 解法略观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导（1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？（2）方程组中方程所表示的等量关系是什么？（3）方程与的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？（ 4）怎样使方程中含有的两个未知数变为只含有一个未知数可以采用观察与估算 的 方法但很麻烦，故引发学生产生寻找新方法的需求重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程 及 依据体会未知向已知，陌生向熟悉转精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载呢？结合学生的回答，教师做出讲解由方程进行移项得y=22x, 由于方程中的y 与方程中的y 都表示负的场数，故可以把方程中的y 用(22- 劝来代换，即得 2x+（22x) =40.由此一来，二元化为一元了解得 x=18. 问题解完了吗？怎样求y 将 x=18 代入方程 y=22x，得 y=4. 能代入原方程组中的方程来求y 吗？代入哪个方程更简便？这样，二元一次方程组的解是418yx归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法（板书课题）化这一重要思想化 归 思想巩固新知例 1 用代入法解方程组14833yxyx本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价解：把代入，得 3（y3）-8y 14 所以 y=1 把 y=1 代人，得x=2. 所以12yx解后反思教师引导学生思考下列问题： (1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？ (2)为什么能代？ (3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？ (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？ (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？（与解一元一次方程一样，需检验其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）例 2（为例 1 的变式）解方程组1483321yxyx分析： (1)从方程的结构来看：例2 与例 1 有什么不同？例 1 是用 x=y3 直接代人的而例2 的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程 (2)如何变形？把一个方程变形为用含x 的式子表示y（或含 y 的式子表示x） (3)那么选用哪个方程变形较简便呢？例 2 进一步巩固代入法的步骤重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页学习必备欢迎下载通过观察，发现方程中y 的系数为 1，因此，可先将方程变形，用含x 的代数式表示y，再代入方程求解解：由得，y=321x，把代人，得（问：能否代入中？） 3x 8（321x）=14，所以 x=10, x=10. （问：本题解完了吗？把y=37 代入哪个方程求x 较简单？）把 x=10 代入，得 y=31021x所以 y=2 所以210yx（本题可由一名学生口述，教师板书完成）式子去表示另一未知数小结与作业小结提高代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤为：从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程将这个方程中的一个未知数，例如y，用含 x 的式子表示出来，也就是化成y=axb 的形式；将 y=axb 代人方程组中的另一个方程中，消去y, 得到关于二的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出x 的值；把求得的x 值代人方程y=axb 中，求出y 的值，再写出方程组解的形式；检验得到的解是不是原方程组的解这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略。及时梳理知识，形成模用代入法解二元一次方程一般步骤。反馈练习1、 教材练习1. （补充：再改写成用含y 的式表示x）2、 教材练习2 用代入法解方程组3、 教材练习3 应用题布置作业1、必做题：习题8.2 第 1 题， 112 页习题2 第 2(1)(2)题2、选做题：页习题8.2 第 6 题本课教育反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页学习必备欢迎下载8.2 消元（ 2）教学目标1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型教学难点进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。知识重点学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1 的二元一次方程组。教学过程（师生活动）设计理念创设活动1、请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握了2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤对代入消元法的巩固和深化，探究新知1、探索分析问题：教材例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装 (250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2： 5. 某厂每天生产这种消毒液22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？学生独立分析，列出方程组，全班交流解：设这些消毒液应分装x 大瓶和 y 小瓶，则2250000025050025yxyx2、引导学生思考：问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？（两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）问题 2：能用代入法来解吗？问题 3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？在师生对话交流中，完成本题的板书示范3、解后反思：（1） 如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1 的二元一次方程组？（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。 (3) 列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答这里的反思突出了本课的重点，既帮助学生进一步完善代入法解题的步骤，又渗透解决实际问题的程序化思想。巩固新知练习 1：用代入法解下列方程组（1）52332tsts（2）11871365yxyx两名学生演示，老师巡视，着重讲评第(2) 小题练习 2 用代入法解方程组：整体代入无代入法的一种重要技巧，它实质就是换元的思想若学生仍感困惑也可用新未知数去替换原来视为整体的那一部分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载（1）yxyx32153（2）236244nmnm练习 3、解方程组：5251230223yxyx5、已知方程组31aybxbyax的解为211xx，求 a、b 练习 3：实践活动根据方程组605316yxyx编一道符合实际的应用题。这里安排分层次练习，让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就感教师 根 据 实 际 情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的 学 生 都 有 发展这符合新课标的新理念：不同的人在数学上都能获得不同的发展 . 小结与作业小结提高1、这节课你学到了哪些知识和方法？2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？让学生更加明确本 节 课 的 知 识点，达到查漏补缺的目的。布置作业1、 做题：习题8.2 第 2（3） （4）题，第4 题。2、 备选题：（1）解方程组0535035stts（2）利用你学会的整体代入法解下面的方程组：)5(2) 1(51)3(3xyyx（3） 小明外婆送来一篮鸡蛋这篮鸡蛋最多只能装55 只左右小明 3 只一数，结果剩下1 只，但忘了数多少次，只好重数他5只一数，结果剩下2 只，可又忘了数多少次他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了， 共有 52 只 ”小明惊讶地问妈妈怎么知道的妈妈笑而不答同学们，你们知道这是为什么吗？不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，达到因材施教的目的。本课教育反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载8.2 消元（ 3） （加减法）教学目标1、掌握用加减法解二元一次方程组；2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心教学难点用“加减法“解二元一次方程组。知识重点学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。教学过程（师生活动）设计理念创设情境王老师昨天在水果批发市场买了2 千克苹果和4 千克梨共花了14 元，李老师以同样的价格买了2 千克苹果和 3 千克梨共花了12 元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了 1 千克的梨，多花了2 元，故梨每千克的售价为2 元问 题 解 决 过程中蕴含了朴素的加减消元的思想反映出，科学 的 每 一 次 进步，都可以在实际的实戏活动中找到依据探究新知1、 解方程组752132yxyx（由学生自主探究，并给出不同的解法）解法一由得：x=231yy 代人方程，消去x. 解法二： 把 2x 看作一个整体， 由得 2z=13y,代入方程，消去2x. 肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣解法二整体代入更简便，准确率更高有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发：问题1. 观察上述方程组，未知数z 的系数有什么点？（相等）问题 2. 除了代入消元， 你还有别的办法消去x吗？（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程 ）解法三：得：8y= 8, 所以 y=1 Y=1 代人或，得到x=1 所以原方程组的解为11yx2、变式一752132yxyx启发：使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组， 并在体会“代入法存在不足的同时，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性，并掌握“加减法”变式的意义在于从“减“的情形自然地过渡到”加“的情形，浑精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页学习必备欢迎下载问题 1. 观察上述方程组， 未知数 x 的系数有什么特点？（互为相反数）问题 2. 除了代人消元， 你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程 ）解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等. 3、变式二：752134yxyx观察：本例可以用加减消元法来做吗？必要时作启发引导：问题1. 这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？问题2. 那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x 的系数成整数倍数关系因此： 2，得 4x 10y=14由即可消去x，从而使问题得解（追问：可以吗？怎样更好？）4、变式三：753132yxyx想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？分析得出解题方法：解法 1：通过由 3， 2，使关于x 的系数绝对值相等，从而可用加减法解得解法 2：通过由 5， 3，使关于y 的系数绝对值相等，从而可用加减法解得怎样更好呢？通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未然一体。例题及变式一解决用了加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组的问题。变式二解决用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组。变式三的设置目的是引导学生学会用加减法解同一个未知数的系数 绝 对 值 不 相等，且不成整数倍的二元一次方程组这是本课的难点通过三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解个变式，搭建了降 低 难 度 的 阶梯巩固新知练习 1：教科书练习第1 题练习 2：自行设计一些错题让学生判断。收集学生的易错点，让学业生在改错中，自我诊断。小结与作业小结提高回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？引导学生思考、交流、梳理所学知识，培养学生的理性思维能力和良好的口头表达能力布置作业3、 做题：教科书习题8.2 第 3 题。4、 选做题：教科书习题8.2 第 6 题。本课教育反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）在学习加减法解题之前，学生们已经知道了代人法解二元一次方程组的核心是代人“消元” ，以使二元方程转化为一元方程求解因此本节课例1 的提出既是对代人法的复习，又是加减法的探索同时，也通过一题多解培养学生开放性思维解题方法应由学生自己去探索、发现，只有自己探索出来的，才是属于自己的，印象也就最深刻本课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧这样使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高思维发散，是培养创新思维的基础透彻理解一个题，胜过盲目的多个演练题本课设计采用变式教学，充分利用一道例题，由浅人深，不断地注人新元素，不时地给学生以新鲜感， 避免了频繁地更换例题带给学生的枯燥与疲惫感，并且使整堂课节奏紧凑，一气呵成的消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法因此本课在练习结束后，都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处8.2 消元（ 4） （消元的应用）教学目标1、熟练掌握加减消元法；2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性教学难点教材中例 4 的数量关系较复杂，是本课的难点。知识重点能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。教学过程（师生活动）设计理念创设情境1、 复习提问解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？2、播放动画西游记场景，配数学诗悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟归时四分行六百，风速多少才称雄？请一名学生解释诗歌大意：孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃千里逆风返回时4 分钟走了600 里，问风速是多少？学生思考，根据题中等量关系，列出方程设悟空行走速度为x 里分，风速为y 里分，则60044100044yxyx你会解这个方程组吗？引例生动活波， 激发学 生 的 探究欲望， 让学生在看、听、想的过程 中 愉 悦地 获 得 数学知识探究新知学生独立完成后在班级里交流解法解法一：，消去y，得 8x=1600 x=200 ，代人，得y=50 原方程组的解为50200yx解法二：，消去x。以下略解法三：整体代入由得：4x=10004y，代入，消去x. 同理，也可消去y. 解法四：化简原方程组为150250yxyx,再利用加减消元，或代入消元均可反思：试着从各个角度比较“代入法”与“加减法”的共同点与不同点（同学间相互交流）它们各适用于什么情况？在学生回答的基础上，教师指出：当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1 或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便练习 1： 根据方程组的特点选择更适合它的解法你会怎样解呢？（第 1，2 小题完成后再出示第3 小题 ）（1）2 .54.22 . 35 .12yxyx（2）5231284yxyx尝试不 同 的 解法，培养学生 的 发 散性 思 维 和择优意识。解 二 元 一次 方 程 组不 管 采 用哪种方法，都 可 以 获得它的解，但 根 据 题目 形 式 的特点， 选择不 同 的 方法 可 以 减少弯路， 加快 速 度 使解 题 过 程简 洁 提 高正确率二 元 一 次 方一 元 一 次 方消元代入、加减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载（3）2451032yxyx第 1 小题用代入法，第2 小题用加减法，都很明确，第3 小题有争议全班分成两部分1、2 大组用代入法做，3、4 大组用加减法做比较两解法的简便程度反思：当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数关系时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单实际应用教材例 4. 2台大收割机和5 台小收割机工作2 小时收割小麦3 6 公顷，3 台大收割机和2 台小收割机工作5 小时收割小麦8 公顷，问： 1 台大收割机和1 台小收割机1 小时各收割小麦多少公顷？分析：问题 1列二元一次方程组解应用题的关键是什么？（找出两个等量关系）问题 2. 你能找出本题的等量关系吗？ 2台大收割机2 小时的工作量5 台小收割机2 小时的工作量 =3.6 3台大收割机5 小时的工作量2 台小收割机5 小时的工作量 =8 问题 3. 怎么表示2 台大收割机2 小时的工作量呢？设 1 台大收割机1 小时收割小麦x 公顷，则 2台大收割机1 小时收割小麦公顷， 2台大收割机2 小时收割小麦公顷现在你能列出方程了吗？解后反思：应用题中，如何化解较复杂数量关系？练习 2：教科书第111 页练习第3 题应用题体 会 方程 是 刻 画现 实 世 界的 有 效 数学模型。小结与作业小结提高在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行。本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？布置作业5、 做题：教科书习题8.2 第 5、7 题。6、 选做题：教科书习题8.2 第 8 题。本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）8.3 再探实际问题与二元一次方程（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载教学目标1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型；2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；3、学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答；4、培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。教学难点确定解题策略，比较估算与精确计算。知识重点以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。教学过程（师生活动）设计理念创设情境前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题（出示问题） 养牛场原有30 只母牛和15 只小牛， 一天约需用饲料675 kg; 一周后又购进12 只母牛和5 只小牛，这时一天约需用饲料940 kg. 饲养员李大叔估计平均每只母牛1 天约需用饲料1820 kg, 每只小牛1 天约需用饲料78 kg. 你能否通过计算检验他的估计？开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题以学生身边的实际 问 题 展 开 讨论，突出数学与现实的联系探索分析解决问题学生思考、讨论判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：一、先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验二、 根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛 1 天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确学生在比较探究后发现用方法二较简便设问 1：如果选择方法二，如何计算平均每只母牛和每只小牛 1 天各约需用饲料量？（有前面几节的知识准备，学生可以回答）列方程组求解主要思路：引导学生探寻解题思路，并对各种 方 法 进 行 比较，方法一主要是 要 估 算 的 运用，而方法二是方 程 思 想 的 应用。实际应用学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程解：设平均每只母牛和每只小牛1 天各约需用饲料xkg和 ykg. 找出相等关系列方程组94020426751530yxyx解这个方程组，得520yx这就是说，平均每只母牛和每只小牛1 天各约需用饲料20kg 和 5kg. 饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的分步到位，渗透 模 型 化 的 思想。规 范 解 题 步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯。让学生认识到检验的重要性，并 学 会 正 确 作实际问题数学问题（ 二元 一 次 方程设 未 知数列方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载食量估计不正确答。拓广探索比较分析设问 2：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？个别学生可能会列出如下方程组2655126751530yxyx但结果一致比较分析，加深对 方 程 组 的 认识。课堂练习一千零一夜 中有这样一段文字：有一群鸽子， 其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说： “若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3 ；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了 ”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？出示古典名题一方面及时巩固用方程组解决实际问题的过程，另一方面让学生感受数学文化。小结与作业小结提高提问：通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？学生思考后回答、整理：设未知数找相等关系列方程组检验并作答以问题的形式出现，引导学生思考、交流，梳理所学知识，建立起符合自身认识特 点 的 知 识 结构训练口头表达能力，养成及时归纳总结的良好学习习惯布置作业7、 必做题：教科书习题8.3 第 1（1）3、 5 题。8、 选做题：教科书习题8.3 第 8 题。本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组这种数学模型，通过对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程，而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求，初步体验用方程组解决实际问题的全过程在重视方程的应用价值的同时关注其文化内涵给出一千零一夜（希腊文集）中的数学名题，使学生在数学知识和能力得到提高的同时能够感受到数学文化的熏陶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页学习必备欢迎下载8.3 再探实际问题与二元一次方程（2）教学目标1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析教学难点用方程组刻画和解决实际问题的过程。知识重点经历和体验用方程组解决实际问题的过程。教学过程（师生活动）设计理念创设情境前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决（出示问题）据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1： 1 ：5，现要在一块长200 m ，宽 100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4( 结果取整数 ) ？以 学 生 身 边 的 实际问题展开学习，突 出 数 学 与 现 实的联系， 培养学生用数学的意识。探索分析研究策略以上问题有哪些解法？学生自主探索，合作交流，整理思路：(1) 先确定有两种方法分割长方形；再分别求出两个小长方形的面积；最后计算分割线的位置(2) 先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置(3) 设未知数，列方程组求解学生经讨论后发现列方程组求解较为方便多角度分析问题，多策略解决问题，提 高 思 维 的 发 散性。合作交流解决问题引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路（1）设未知数（2）找相等关系（3）列方程组（4）检验并作答如图， 一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD和 BCFE.设 AE=xm ，BE=ym ，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组431005 .1:100200：yxyx解这个方程组得172941715105yx过长方形土地的长边上离一端约106 m 处，把这块地分为两个长方形较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物比较分析， 加深对方程组的认识。画图，数形结合，辅助学生分析。进 一 步 渗 透 模 型化的思想。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学习必备欢迎下载你还能设计别的种植方案吗？用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形教师巡视、指导，师生共同讲评引发学生思考，寻求解决途径。拓展探究综合应用学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20 张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2 个，或者做盒底盖3 个，如果 1 个盒身和2 个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法按以下步骤展开问题的讨论：（l ）学生独立思考，构建数学模型 (2) 小组讨论达成共识（3）学生板书讲解（4）对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果(5) 针对以上结论，你能再提出几个探索性问题吗？以 学 生 学 习生活中遇到的问题展开讨论，巩固用二元一次方 程 组 解 决 实 际问题的一般过程，并 不 断 提 高 分 析问题的能力 安排开放题， 以利于培养 学 生 探 索 精 神和创新意识小结与作业小结提高提问： 通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？学生思考后回答、整理布置作业9、 必做题：教科书习题8.3 第 1（ 2） 、4 题。10、选做题：教科书习题8.3 第 7 题。11、备选题：（1）解方程组1523635yxyx（2）小颖在拼图时，发现8 个一样大小的矩形（如图1 所示） ，恰好可以拼成一个大的矩形小彬看见了，说： “我来试一试 ”结果小彬七拼八凑，拼成如图 2 那样的正方形咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！你能帮他们解开其中的奥秘吗？提示学生先动手实践，再分析讨论分 层 次 布1作业其中“必做题” 面向全体学生，巩固知识、方法， 加深理解厂选做题”面向部 分 学 有 余 力 的学生，给他们一定的时间和空间，相互合作， 自主探究 ， 增 强 实 践 能力备选通供教师参考本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点： 1 、活动性学生在图形分割、手工操作、拼图游戏中展开数学问题的讨论，更具趣味性，学生在玩中学、做中学，在增强能力的同时，收获快乐2、探索性问题解决的策略不易获得，问题中的数量关系不易发现，问题中的未知数不易设定，这为学生开展探究活动提供了机会精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学习必备欢迎下载8.3 再探实际问题与二元一次方程（3）教学目标1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；3、 培养分析问题、 解决问题的能力， 进一步体会二元一次方程组的应用价值教学难点借助列表分问题中所蕴含的数量关系。知识重点用列表的方式分析题目中的各个量的关系。教学过程（师生活动）设计理念创设情境最近几年， 全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾， 促进居民节约用电、合理用电， 各地出台了峰谷电价试点方案电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00 22:00 ，深夜的用电是低谷用电即22:00 次日 8:00. 若某地的高峰电价为每千瓦时0.56 元；低谷电价为每千瓦时。28 元八月份小彬家的总用电量为125 千瓦时，总电费为49 元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？学生独立思考，容易解答以一道生活热点问题引入，具有现实意义激发学生学习兴趣，同时培养学生节约、合理用电的意识理解题意是关健通过该题，旨在培养学生的读题能力和收集信息能力探索分析解决问题（出示例题）如图，长青化工厂与A，B 两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1 000 元的原料运回工厂，制成每吨8 000 元的产品运到B地公路运价为1. 5 元（吨 千米） ，铁路运价为1.2 元（吨千米），这两次运输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200 元这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（图见教材）学生自主探索、合作交流设问 1. 如何设未知数？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此设产品重x吨，原料重y 吨设问 2. 如何确定题中数量关系？列表分析产品 x 吨原料 y 吨合计公路运费（元）铁路运费（元）价值（元）由上表可列方程组972001201102.11500010205.1yxyx本例所涉及的数据较多，数量关系较为复杂，具有一定挑战性，能激发学生探索的热情通过讨论让学生认识到合理设定未知数的愈义借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系，不失为一种好方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页学习必备欢迎下载解这个方程组，得400300yx因为毛利润销售款原料费运输费所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800 元. 引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的学生讨论、分析：合理设定未知数，找出相等关系。课堂练习反馈调控某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润增为4500 元；经精加工后销售，每吨利润可达7500 元。一食品公司购到这种水果140 吨，准备加工后上市销售该公司的加工能力是：每天可以精加工6 吨或者粗加工16 吨，但两种加工方式不能同时进行 受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方案：方案一：将这批水果全部进行粗加工；方案二： 尽可能多对水果进行精加工，没来得及加工的水果在市场上销售；方案三： 将部分水果进行精加工，其余进行粗加工，并恰好15 天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？学生合作讨论完成选择经济领城问题让学生展开讨论，增强市场经济意识和决策能力，同时巩固二元一次方程组的应用小结与作业小结提高1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程学生思考、讨论、整理这是第一次比较完整地用框图反映实际问题与二元一次方程组的关系布置作业12、必做题：教科书习题8.3 第 2、6 题。13、选做题：教科书习题8.3 第 9 题。14、备选题：（1）一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第 1 次4 5 28.5 第 2 次3 6 27 这批蔬菜需租用5 辆甲种货车、 2 辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20 元运费，问：菜农应付运费多少元？ (2)某学校现有学生数1290 人，与去年相比， 男生增加20，女生减少10，学生总数增加7. 5 ，问现在学校中男、女生各是多少？本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）第八章二元一次方程组小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页学习必备欢迎下载教学目标1. 通过复习巩固解二元一次方程组的方法，进一步体会解二元一次方程组的基本思想消元，体会化归思想。 2.通过列方程组解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，传授数学思想、数学方法。教学重点通过列方程组解决实际问题，提高分析和综合的能力。知识难点体会化归思想教学过程（师生活动）设计理念创设情境( 一 ) 提出问题 , 引发讨论 1.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组,? “代入”与“加减”的目标是什么？ 2.用二元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实际问题的基本思路吗？ (二)导入知识，解释疑难 1.举列说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组: 例 1: 解方程组2316412xyxy分析 : 对于方程组中的中, 有一个未知数的系数为1, 因此可以把变形为x=?13-4y, 用代入法消去方程中的未知数x, 从而求出 y的值 . 解: 由 , 得 x=13-4y 把代入 ,得 2(13-4y)+3y=16 -5y=-10 y=2 把 y=2 代入 , 得 x=5 所以原方程组的解是52xy例 2: 解方程组23123417xyxy分析 : 未知数的系数没有绝对值为1的, 也没有哪一个未知数的系数相同或相反, 我们观察可以发现,x 的系数绝对值较小, 因此 , 我们找到 2 和 3 的最小公倍数6,? 然后把 3, 2, 便可将的x 的系数化为相同 , 这样通过相减就可以把未知数x?消去 . 解: 3, 得 6x+9y=36 2, 得 6x+8y=34 - , 得 y=2 将 y=2 代入 , 得 x=3 所以原方程组的解是32xy用代入法和加减法解二元一次方程组时,? “代入”与“加减”的引例生动活波， 激发学 生 的 探究欲望， 让学生在看、听、想的过程 中 愉 悦地 获 得 数学知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页学习必备欢迎下载目的就是“消元” ，化“二元”为“一元”。探究新知用二元一次方程组解决实际问题例 3: 某商店购进一批衬衫, 甲顾客以 7 折的优惠价格买了20 件,而乙顾客以8 折的优惠价格买了5 件, 结果商店都获得利润200 元, 求这批衬衫的进价是多少元?标价是多少元 ? 分析 : 利润 =售价 - 进价 . 问题中的两个等量关系为: 当商店把20?件衬衫卖给甲顾客时的相等关系是( 标价 70%-进价 ) 20=200;当商店把5 件衬衫卖给乙顾客时的相等关系是( 标价 80%-进价 ) 5=200. 由此可以发现两个等量关系中只涉及到标价和进价不知, 故可直接设出标价和进价. 解: 设这批衬衫的进价为x 元, 标价为 y 元, 根据题意 , 得(70%)20200(80%)5200yxyx化简方程组 ,得0.7100.840yxyx- , 得 0.1y=30 y=300 把 y=300 代入 , 得 0.7 300-x=10 x=200 所以方程组的解为200300xy答: 这批衬衫进价是200 元, 标价是 300 元. 例 4: 某超市出售的某种茶壶每只定价20元, 茶杯每只定价3元,?该超市在营销淡季特规定一项优惠方法, 即买一只茶壶赠送一只茶杯, 小明花了 170 元 , 买回茶壶和茶杯一共38 只, 问小明买回茶壶和茶杯各多少只 ? 分析 : 先要联系实际, 结合生活经历去审题, 弄清数量关系. 必须明白在买回的茶杯中, 有一些是商场赠送的, 不需要花钱 , 而这个数目恰好是买回茶壶的数目. 问题中的两个等量关系: 茶壶只数 +茶杯只数=38 只; 买茶壶的钱 +买茶杯的钱 (? 送的除外 )?=170 元. 解: 设小明买回茶壶x 只, 买回茶杯y 只, 则茶杯数目中花了钱的为(y-x)只,? 根据题意得 , 38203()170xyxyx解得434xy答: 小明买回茶壶4 只, 茶杯 34 只. 在上面设未知数时采用了直接设法, 也可采用间接的方法设未知数, 如: 设小明买了茶壶x 只, 茶杯y 只( 不包括赠送的), 根据题意 , 得尝试不 同 的 解法，培养学生 的 发 散性 思 维 和择优意识。解 二 元 一次 方 程 组不 管 采 用哪种方法，都 可 以 获得它的解，但 根 据 题目 形 式 的特点， 选择不 同 的 方法 可 以 减少弯路， 加快 速 度 使解 题 过 程简 洁 提 高正确率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载38203170xyxxy解得430xy x+y=4+30=34 答: 小明买回茶壶4 只, 茶杯 34 只. 师生共析 : 用方程组解决实际问题时, 应先分析题目中的已知量、未知量是什么， 各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程组，然后求出这个方程组的解。用方程组解决实际问题的主要步骤为： (1)弄清题意和题目中的等量关系，用字母表示题目中的两个未知数。 (2)找出能够表示问题中全部含义的两个相等关系。 (3)根据这两个相等关系列出相关的代数式，从而列出方程并组成方程组。 (4)解这个方程组并求出未知数的值。 (5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。 (6)写出符合题意的解。实际应用3. 做一做 (1)判断下列方程( 或方程组 ) 是否为二元一次方程( 组 ), 并说明理由 . 3x-4y=5 2x-12y=1 122xyyz3346yxy (2)若方程组62axbyaxby与方程组234456xyxy有相同的解 ,求 a、b 的值 . (3)若11xy及23xy都是方程ax+by+2=0 的解 , 试判断35xy是否为方程ax+by+z=0 的又一个解 ? 答 案 :(1) 是 二 元 一 次 方 程 是 二 元 一 次 方 程 组(2)a=4,b=-1 (3)是 体 会 方程 是 刻 画现 实 世 界的 有 效 数学模型。小结与作业小结提本章知识体系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载高设未知数 , 列方程组实际问题答案检验数学问题的解(二元一次方程组的解 )代入法加减法(消元)解方程组数学问题(二元一次方程组 )实际问题布置作业( 一 ) 双基练习1. 已知 x=1-m,y=2-3m, 用 y 的代数式表示x 的式子是 _. 2. 已 知12xy是 方 程 组23101axybaxby的 一 个 解 , 则(b-a)3=_. 3. 一个三位数的个位数字是7, 十位数字与百位数字之和为3, 若把个位数字移到首位, 则新数比原数的5 倍还多 77, 求这个三位数. ( 二) 创新提升4. 某中学新建了一栋4 层的教学大楼, 每层楼有 8 间教室 , 进出这栋大楼共有 4?道门 , 其中两道正门大小相同, 两道侧门大小也相同, 安全检查中 , 对 4 道门进行了测试: 当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生 ;? 当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟可以通过800 名学生 . (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现 , 紧急情况时因学生拥挤,出门效率将降低20%,安全检查规定 , 在紧急情况下全大楼的学生应在5 分钟内通过这4 道门安全撤离 .? 假设这栋大楼每间教室最多有45 名学生 , 问: 建造的这 4 道门是否符合安全规定?请说明理由 . ( 三) 探究拓展5. 甲乙两人现在年龄之和为98岁, 当甲的年龄是乙现在的年龄的一半时, 乙恰是甲现在的年龄, 求甲、乙现年各是多少岁? 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页