北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 第2课时平面与平面平行的性质问题引航引航1.1.面面平行的性面面平行的性质定理内容是什么？怎定理内容是什么？怎样用符号用符号语言描述？言描述？2.2.面面平行的性面面平行的性质定理的作用是什么？定理的作用是什么？面面平行的性面面平行的性质定理定理(1)(1)文字文字语言：言：条件：两个条件：两个_同同时与第三个平面相交与第三个平面相交. .结论：_._.(2)(2)符号形式：符号形式： ab.ab.(3)(3)作用：面面平行作用：面面平行_._._平行平面平行平面它它们的交的交线平行平行a a=b=b线线平行平行1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误的打的打“”) )(1)(1)若平面若平面平面平面，m m ，n n ，则mn.(mn.() )(2)(2)若平面若平面，平行，平行，=a=a，=b.=b.在在中除了中除了b b之外之外还有无数条直有无数条直线平行于直平行于直线a.(a.() )(3)(3)平面平面，满足足=a=a，=b=b，则ab.(ab.() )【解析解析】(1)(1)错误错误. .因为因为m m ，n n ，所以，所以m m与与n n一定无公共点，因此一定无公共点，因此m m与与n n平行或异面平行或异面. .(2)(2)正确正确. .由面面平行的性质知由面面平行的性质知abab，在，在中与中与b b平行的直线平行的直线有无数条，均与有无数条，均与a a平行平行. .(3)(3)错误错误. .当当时，由面面平行的性质定理知时，由面面平行的性质定理知abab，当，当与与相交时，相交时，a a与与b b相交或平行相交或平行. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)已知平面已知平面平面平面，过平面平面内的一条直内的一条直线a a的平面的平面，与平面与平面相交，交相交，交线为直直线b b，则a a，b b的关系的关系为_._.(2)(2)已知直已知直线a a ，若平面，若平面平面平面，则直直线a a与平面与平面的的关系关系为_._.(3)(3)已知已知长方体方体ACAC，平面，平面平面平面AC=EFAC=EF，平面，平面平面平面AC=EFAC=EF，则EFEF与与EFEF的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】(1)(1)由面面平行的性质定理知，由面面平行的性质定理知，ab.ab.答案：答案：abab(2)(2)若平面若平面平面平面，则平面，则平面与平面与平面无公共点，无公共点，又又a a ，所以，所以aa平面平面.答案：答案：平行平行(3)(3)由于平面由于平面ACAC平面平面ACAC，平面，平面平面平面AC=EFAC=EF，平面平面平面平面AC=EFAC=EF，则，则EFEF.EFEF.答案：答案：平行平行【要点探究要点探究】知知识点点 面面平行的性面面平行的性质定理定理1.1.对平面与平面平行性平面与平面平行性质的四点的四点说明明(1)(1)两平行平面都与第三个平面相交，它两平行平面都与第三个平面相交，它们的交的交线平行，而不平行，而不是两平行平面内的直是两平行平面内的直线都平行，也有异面的情况，但不会相交都平行，也有异面的情况，但不会相交. .(2)(2)此定理提供了空此定理提供了空间作平行作平行线的方法，即作两平行平面的相的方法，即作两平行平面的相交平面，得到它交平面，得到它们的相交直的相交直线是一是一组平行平行线. .(3)(3)定理使用定理使用时三个条件缺一不可三个条件缺一不可两个平面平行，即两个平面平行，即.第一个平面与第三个平面相交，即第一个平面与第三个平面相交，即=a.=a.第二个平面与第三个平面也相交，即第二个平面与第三个平面也相交，即=b.=b.(4)(4)面面平行的其他性面面平行的其他性质夹在两个平行平面在两个平行平面间的平行的平行线段相等段相等. .平行于同一平面的两个平面平行平行于同一平面的两个平面平行( (也可以作也可以作为判定判定).).2.2.面面平行性面面平行性质定理的作用定理的作用(1)(1)证明直明直线与直与直线平行，平行，证明明线面平行、面面平行、四面平行、面面平行、四边形形是平行四是平行四边形、形、线段相等段相等( (或求或求线段段长度度) )等等问题时都可以通都可以通过面面平行的性面面平行的性质定理推出定理推出线线平行，最平行，最终借助借助线线平行平行实现求求解解. .(2)(2)证明直明直线与平面平行：首先考与平面平行：首先考虑应用用线面平行的判定定理，面平行的判定定理，其次考其次考虑应用面面平行的性用面面平行的性质转化化为线面关系或面关系或线线关系使关系使问题得以解决得以解决. .【微思考微思考】(1)(1)在平面与平面平行的条件中，若去掉条件在平面与平面平行的条件中，若去掉条件，结论是是否成立？否成立？提示：提示：当去掉条件当去掉条件时，结论不一定成立，直线时，结论不一定成立，直线a a，b b可能可能重合、平行或相交重合、平行或相交. .(2)(2)如果两个平面平行，那么一个平面内的直如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面与另一个平面内的直内的直线有什么位置关系？有什么位置关系？提示：提示：这两个平面内的直线之间的位置关系是平行或异面这两个平面内的直线之间的位置关系是平行或异面. .【即时练即时练】已知两条直已知两条直线m m，n n，两个平面，两个平面，给出下面出下面结论：=m=m，n n ，则mnmn或者或者m m，n n相交相交. .mnmn，mm，则n.n.=m=m，mnmn，则nn且且n.n.其中正确的序号是其中正确的序号是_._.【解析解析】正确，正确，m m，n n共面，相交或平行；共面，相交或平行；错误，错误，n n可能在面内可能在面内. .答案：答案：【题型示范型示范】类型一型一 面面平行性面面平行性质定理的定理的应用用【典例典例1 1】(1)(1)如如图，已知平面，已知平面，P P ，且，且P P ，过点点P P的直的直线m m与与，分分别交于交于A A，C C，过点点P P的直的直线n n与与，分分别交于交于B B，D D且且PA=6PA=6，AC=9AC=9，PD=8PD=8，则BDBD的的长为_._.(2)(2014(2)(2014西安高一西安高一检测) )如如图所示，所示，ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱是棱长为3 3的正方体，的正方体，M M，N N分分别是下底面的棱是下底面的棱A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点，的中点，P P是上底是上底面的棱面的棱ADAD上的一点，上的一点，AP=1AP=1，过P P，M M，N N的平面交上底面于的平面交上底面于PQPQ，Q Q在在CDCD上，求上，求PQPQ的的长度度. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中ABAB与与CDCD有什么位置关系？求有什么位置关系？求BDBD的方法的方法是什么？是什么？2.2.题题(2)(2)中平面中平面ABCDABCD与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1有什么位置关系？有什么位置关系？PQPQ与与MNMN有有什么位置关系，理论依据是什么？什么位置关系，理论依据是什么？【探究提示探究提示】1.ABCD1.ABCD，利用比例线段求，利用比例线段求BD.BD.2.2.平面平面ABCDABCD平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，PQMNPQMN，理论依据是面面平行的性，理论依据是面面平行的性质定理质定理. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为ACBD=PACBD=P，所以经过直线，所以经过直线ACAC与与BDBD可确定可确定平面平面PCDPCD，因，因，平面平面PCD=ABPCD=AB，平面平面PCD=CDPCD=CD，所，所以以ABCDABCD，所以，所以 即即 所以所以BD= BD= 答案：答案：(2)(2)连接连接ACAC，A A1 1C C1 1，由平面，由平面ABCDABCD平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1且平面且平面MNQPMNQP分别与平面分别与平面ABCDABCD，平面，平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1相交知，相交知，PQMNPQMN，又由又由M M，N N分别为分别为A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点，所以的中点，所以MNAMNA1 1C C1 1，又由又由A A1 1C C1 1ACAC，即，即MNACMNAC，所以，所以PQACPQAC，所以所以DP=DQDP=DQ，又由，又由AP=1AP=1，所以，所以DP=DQ=2DP=DQ=2，所以所以PQ=PQ= 【延伸探究延伸探究】题(1)(1)中，若点中，若点P P在平面在平面，之之间( (如如图) )，其他，其他条件不条件不变，试求求BDBD的的长. .【解析解析】由题由题(1)(1)的解析，可知的解析，可知ABCDABCD，所以，所以 ，即即 ，解得，解得BD=24.BD=24.【方法技巧方法技巧】应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤【变式式训练】如如图所示，已知三棱柱所示，已知三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，D D是是BCBC的中的中点，点，D D1 1是是B B1 1C C1 1的中点，的中点，设平面平面A A1 1D D1 1BB平面平面ABC=ABC=l1 1，平面，平面ADCADC1 1平平面面A A1 1B B1 1C C1 1= =l2 2，求，求证：l1 1l2 2. .【解题指南解题指南】应用面面平行的性质定理证明应用面面平行的性质定理证明. .【证明证明】连接连接D D1 1D D，因为因为D D与与D D1 1分别是分别是BCBC与与B B1 1C C1 1的中点，的中点，所以所以DDDD1 1 BBBB1 1，又又BBBB1 1 AAAA1 1，所以，所以DDDD1 1 AAAA1 1，所以四边形所以四边形A A1 1D D1 1DADA为平行四边形，为平行四边形，所以所以ADAADA1 1D D1 1，又平面又平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面ABCABC，且平面，且平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面A A1 1D D1 1B=AB=A1 1D D1 1，平面，平面A A1 1D D1 1BB平面平面ABC=ABC=l1 1，所以所以A A1 1D D1 1l1 1，同理可证：同理可证：ADADl2 2，因为因为A A1 1D D1 1ADAD，所以，所以l1 1l2 2. .【补偿训练】如如图所示，所示，A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1- -ABCDABCD是四棱台，求是四棱台，求证：B B1 1D D1 1BD.BD.【证明证明】根据棱台的定义可知，根据棱台的定义可知，BBBB1 1与与DDDD1 1共面，共面，又因为平面又因为平面ABCDABCD平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，且平面，且平面BBBB1 1D D1 1DD平面平面ABCD=BDABCD=BD，平面，平面BBBB1 1D D1 1DD平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1=B=B1 1D D1 1. .所以所以B B1 1D D1 1BD.BD.类型二型二 平行关系的平行关系的应用用【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014西安高一西安高一检测) )已知直已知直线aa平面平面，平面，平面平面平面，则a a与与的位置关系的位置关系为_._.(2)(2)设ABAB，CDCD为夹在两平行平面在两平行平面，之之间的的线段，且直段，且直线ABAB，CDCD为异面直异面直线，M M，N N分分别为ABAB，CDCD的中点的中点. .求求证：MNMN平面平面.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中直线中直线aa平面平面，说明什么问题，平面，说明什么问题，平面平面平面呢？呢？2.2.题题(2)(2)中平面中平面平面平面的作用是什么？怎样说明的作用是什么？怎样说明MNMN与平面与平面平行？平行？【探究提示探究提示】1.a1.a平面平面说明直线与平面说明直线与平面无交点，平面无交点，平面平面平面说明平面说明平面与平面与平面无交点无交点. .2.2.由平面由平面平面平面可以得到线线平行，应用线面平行的判定可以得到线线平行，应用线面平行的判定定理或利用面面平行可以说明定理或利用面面平行可以说明MNMN平面平面.【自主解答自主解答】(1)(1)若若a a ，则显然满足题目条件，则显然满足题目条件. .若若a a ，过直线，过直线a a作平面作平面，=b=b，=c=c，于是由直线于是由直线aa平面平面，得，得abab，由，由得得bcbc，所以所以acac，又，又a a ，c c ，所以，所以a.a.答案：答案：a a 或或aa(2)(2)过过A A作作AECDAECD交交于于E E，取，取AEAE的中点的中点P P，连接，连接MPMP，PNPN，BEBE，EDED，因为因为AECDAECD，所以，所以AEAE与与CDCD确定平面确定平面AEDCAEDC，则平面则平面AEDC=DEAEDC=DE，平面，平面AEDC=ACAEDC=AC，因为因为，所以，所以ACDEACDE，又又P P，N N分别为分别为AEAE，CDCD的中点的中点. .所以所以PNDEPNDE，因为，因为PNPN ，DEDE ，所以，所以PNPN，又又M M，P P分别为分别为ABAB，AEAE的中点，所以的中点，所以MPBE.MPBE.又又MPMP ，BEBE ，所以，所以MPMP，又因为又因为MPPN=PMPPN=P，所以平面，所以平面MNPMNP，又又MNMN 平面平面MPNMPN，所以，所以MN.MN.【方法技巧方法技巧】1.1.空间中各种平行关系的相互转化空间中各种平行关系的相互转化2.2.证明直线与平面平行的方法证明直线与平面平行的方法(1)(1)线面平行的判定定理线面平行的判定定理. .(2)(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面一个平面. .【变式式训练】如如图，在四棱柱，在四棱柱ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，底面中，底面ABCDABCD为等等腰梯形，腰梯形，ABCDABCD，AB=2CDAB=2CD，E E，E E1 1分分别是棱是棱ADAD，AAAA1 1上的点上的点. .设F F是棱是棱ABAB的中点，的中点，证明：直明：直线EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1. .【解题指南解题指南】根据平面与平面平行的性质，要证明直线根据平面与平面平行的性质，要证明直线EEEE1 1平平面面FCCFCC1 1，可以转化为证明直线，可以转化为证明直线EEEE1 1所在的平面与平面所在的平面与平面FCCFCC1 1平行平行. .【证明证明】因为因为F F为为ABAB的中点，所以的中点，所以AB=2AFAB=2AF，又因为又因为AB=2CDAB=2CD，所以，所以CD=AF.CD=AF.因为因为ABCDABCD，所以，所以CDAFCDAF，所以，所以AFCDAFCD为平行四边形，为平行四边形，所以所以FCAD.FCAD.又又FCFC 平面平面ADDADD1 1A A1 1，ADAD 平面平面ADDADD1 1A A1 1，所以，所以FCFC平面平面ADDADD1 1A A1 1. .因为因为CCCC1 1DDDD1 1，CCCC1 1 平面平面ADDADD1 1A A1 1，DDDD1 1 平面平面ADDADD1 1A A1 1，所以所以CCCC1 1平面平面ADDADD1 1A A1 1. .又又FCCCFCCC1 1=C=C，所以平面所以平面ADDADD1 1A A1 1平面平面FCCFCC1 1. .又又EEEE1 1 平面平面ADDADD1 1A A1 1，所以，所以EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1. .【补偿训练】如如图，矩形，矩形ABCDABCD和梯形和梯形BEFCBEFC有公共有公共边BCBC，BECFBECF，求，求证：AEAE平面平面DCF.DCF.【证明证明】因为因为ABCDABCD是矩形，是矩形，所以所以ABCD.ABCD.又又ABAB 平面平面DCFDCF，CDCD 平面平面DCF.DCF.所以所以ABAB平面平面DCF.DCF.同理，同理，BEBE平面平面DCF.DCF.因为因为ABBE=BABBE=B，所以平面所以平面ABEABE平面平面DCF.DCF.又因为又因为AEAE 平面平面ABEABE，所以所以AEAE平面平面DCF.DCF.【拓展拓展类型型】探究性探究性问题【备选例例题】(1)(1)如如图，在矩形，在矩形DCEFDCEF中，中，DF=2DCDF=2DC，A A，B B分分别是是DFDF，CECE的中点，的中点，M M在在ACAC上，上，N N在在BFBF上，上，AM=FNAM=FN，将，将ABCDABCD沿沿ABAB折折起，如起，如图，问在折起的在折起的过程中程中MNMN与与BCEBCE所在的平面有怎所在的平面有怎样的位置关系？的位置关系？请写出并写出并证明你的明你的结论. .(2)(2)如如图所示，在所示，在ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中，平面中，平面ABCABC平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，若，若D D是是棱棱CCCC1 1的中点，在棱的中点，在棱ABAB上是否存在一点上是否存在一点E E，使，使DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1？证明你的明你的结论. .【解析解析】(1)(1)在折起的过程中在折起的过程中MNMN平面平面BCE.BCE.证明：如图，证明：如图，过过M M作作MPCBMPCB，交，交ABAB于于P P，连接，连接PN.PN.由由 ，AFBEAFBE，可得可得PNBE.PNBE.又因为又因为MPCBMPCB，且，且MPPN=PMPPN=P，BECB=BBECB=B，于是平面，于是平面MNPMNP平面平面BCEBCE，因为因为MNMN 平面平面MNPMNP，所以所以MNMN平面平面BCE.BCE.(2)(2)当点当点E E为棱为棱ABAB的中点时，的中点时，DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1. .证明如下：证明如下：如图，取如图，取BBBB1 1的中点的中点F F，连接，连接EFEF，FDFD，DEDE，因为因为D D，E E，F F分别为分别为CCCC1 1，ABAB，BBBB1 1的中点，的中点，所以所以EFABEFAB1 1. .因为因为ABAB1 1 平面平面ABAB1 1C C1 1，EFEF 平面平面ABAB1 1C C1 1，所以所以EFEF平面平面ABAB1 1C C1 1. .同理可证同理可证FDFD平面平面ABAB1 1C C1 1. .因为因为EFFD=FEFFD=F，所以平面，所以平面EFDEFD平面平面ABAB1 1C C1 1. .因为因为DEDE 平面平面EFDEFD，所以，所以DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1. .【方法技巧方法技巧】探索性问题的解题策略探索性问题的解题策略(1)(1)解探索性问题应注意的三个基本问题解探索性问题应注意的三个基本问题认真审题，确定目标；认真审题，确定目标；深刻理解题意；深刻理解题意；开阔思路，发散思维开阔思路，发散思维. .(2)(2)解立体几何探索性问题的常用方法解立体几何探索性问题的常用方法特殊值探路，一般化证明特殊值探路，一般化证明. .从最简单、最特殊的情况出发，从最简单、最特殊的情况出发，有时也借助直觉观察或判断，推测出结论有时也借助直觉观察或判断，推测出结论. .充分利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系进行联充分利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系进行联想和推测想和推测. .【易错误区易错误区】对面面平行的性面面平行的性质理解理解错误而致而致误【典例典例】(2014(2014西安高一西安高一检测) )若若，a a ，b b ，下列几种下列几种说法中正确的有法中正确的有_._.(1)ab.(2)b(1)ab.(2)b与与内的无数条直内的无数条直线平行平行.(3)b.(3)b与与内的唯一内的唯一一条直一条直线平行平行.(4)a.(5)a.(4)a.(5)a与与b b有可能异面有可能异面. .【解析解析】如图，如图，正方体正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，把平面中，把平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1看看作平面作平面，平面，平面ABCDABCD看作平面看作平面，A A1 1B B1 1看作看作直线直线a a，则若，则若BCBC看作看作b b，则，则a a与与b b不平行，不平行，(1)(1)错，错，若若ABAB看作看作b b，则，则abab，且，且b b与与内与内与A A1 1B B1 1平平行的直线都平行行的直线都平行，故故(2)(2)对，对，(3)(3)错，错，a a在平面在平面内，内，与与无公共点，所以无公共点，所以a a与与无公共点，所以无公共点，所以aa，故，故(4)(4)对，如图中对，如图中a a与与b b异面，故异面，故(5)(5)对对. .答案：答案：(2)(4)(5)(2)(4)(5)【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析(1)(2)(1)(2)(4)(5)(4)(5)阴影处误认为在两个平行平面内的直线一定阴影处误认为在两个平行平面内的直线一定平行，多选平行，多选(1)(1)导致错误导致错误. .(3)(4)(3)(4)(5)(5)忽略阴影处的分析，由面面平行的性质定理忽略阴影处的分析，由面面平行的性质定理而误认为而误认为(3)(3)正确而错选正确而错选(3)(3)导致错误导致错误【防范措施防范措施】1.1.定理的理解和记忆定理的理解和记忆在立体几何中，定理作为证明和判断线面位置关系的依据，常在立体几何中，定理作为证明和判断线面位置关系的依据，常常用到，故要求对定理常用到，故要求对定理( (推论推论) )在理解的基础上加以记忆，如本在理解的基础上加以记忆，如本例中平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第例中平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，和如果两个平面平行，三个平面相交，那么它们的交线平行，和如果两个平面平行，那么在一个平面内的直线与另一个平面平行都可以作为依据使那么在一个平面内的直线与另一个平面平行都可以作为依据使用用. .2.2.长方体模型的应用长方体模型的应用在判断点、线、面之间的位置关系时，可以使用正方体在判断点、线、面之间的位置关系时，可以使用正方体( (或长或长方体方体) )来判断线面的位置关系，如本例中只给出平面来判断线面的位置关系，如本例中只给出平面，及及直线直线a a，b b的部分位置关系，可画出正方体的部分位置关系，可画出正方体( (或长方体或长方体) )，根据题，根据题目给出的位置关系标出目给出的位置关系标出，及直线及直线a a，b b的位置，再予以判定，的位置，再予以判定，判断时注意直线判断时注意直线b b是灵活的，可以变动的，否则本例就判断错是灵活的，可以变动的，否则本例就判断错了了. .【类题试解解】(2013(2013聊城高一聊城高一检测) )设有直有直线m m，n n和平面和平面，下列四个，下列四个结论中，正确的是中，正确的是( () )A.A.若若mm，nn，则mnmnB.B.若若m m ，n n ，mm，nn，则C.C.若若mnmn，n n ，则mmD.D.若若，m m ，n n ，m m ，n n ，则mnmn【解析解析】选选D.AD.A中，中，mm，nn，则，则m m与与n n可能相交、平行或可能相交、平行或异面，故异面，故A A错；错；B B中中m m与与n n相交时，才有相交时，才有，故，故B B错；错；C C中中m m可可能平行于能平行于也可能包含于也可能包含于，故，故C C错；错；D D中中与与都与都与相交，相交，交线为交线为m m，n n，因，因，则，则mnmn，所以，所以D D对对. .