信号与系统第1章6 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.6.1 线性时不变系统的基本性质系统激励（输入）与响应（输出）的关系描述系统激励（输入）与响应（输出）的关系描述线性时不变系统是即满足线性又满足时不变特性线性时不变系统是即满足线性又满足时不变特性的系统。简单记为的系统。简单记为LTI(linear Time Invariant)系系统。统。LTI系统f()y()响应响应激励激励y() = T f() f() y() 2可加性：若干激励同时作用于系统时，产生的响可加性：若干激励同时作用于系统时，产生的响应等于各个激励单独作用于时产生的响应之和。应等于各个激励单独作用于时产生的响应之和。LTI系统f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)离散时间系统也可以如此判定离散时间系统也可以如此判定 1 1 系统的线性：能同时满足齐次性（均匀性）和系统的线性：能同时满足齐次性（均匀性）和可加性（叠加性）的系统。可加性（叠加性）的系统。 以连续时间系统为例，当以连续时间系统为例，当 则则 3齐次性齐次性: :如果系统的激励变化为原来的如果系统的激励变化为原来的a倍时，倍时，系统的响应也随之变化为原来的系统的响应也随之变化为原来的a倍倍。LTI系统f(t)y(t)af(t)ay(t)显然，系统的线性显然，系统的线性: :以连续时间系统为例，当以连续时间系统为例，当 离散时间系统也可以如此判定离散时间系统也可以如此判定 同时满足可加同时满足可加性和齐次性性和齐次性4动态系统的输出响应不仅取决于系统的输入激动态系统的输出响应不仅取决于系统的输入激励，而且还与系统的初始储能有关励，而且还与系统的初始储能有关。假如由假如由系统系统储能引起的初始时刻储能引起的初始时刻状态状态值为值为x(0)，则此时则此时系统的系统的完全完全响应响应为为即即由由x(0)产生的响应产生的响应，称，称为零输入响应为零输入响应yzi(t)；而而由由f()产生的响应，称为零状态响应产生的响应，称为零状态响应yzs(t)。y() = T x(0)，f() yzi() = T x(0)，0 无外激励无外激励yzs() = T 0，f() 零状态零状态5显然，系统的显然，系统的全响应为全响应为：本课所讨论的本课所讨论的系统系统均为线性均为线性系统系统。描述线性连。描述线性连续（离散）系统的数学模型为线性微分（差分）续（离散）系统的数学模型为线性微分（差分）方程。方程。上式上式满足满足可加性或分解性；这时可加性或分解性；这时只有只有系统的零系统的零输入响应和零状态响应分别满足线性特性时，输入响应和零状态响应分别满足线性特性时，系统才是线性系统。系统才是线性系统。y()= = yzi()+ + yzs()请记住这一结论请记住这一结论6例例1.6-1 判断下列系统是否为线性系统判断下列系统是否为线性系统。1 y(t)=f(t)-f(2-t)那么那么f1(t) +f2(t)作用系统作用系统则则有有f1(t) +f2(t) y3(t)解解：（a）叠加性叠加性的判断的判断若若f1(t)作用系统有作用系统有f1(t) y1(t)，则有则有 y1(t)= f1(t)-f1(2-t)同样，同样，若若f2(t)作用系统有作用系统有f2(t) y2(t)，则有则有 y2(t)= f2(t)-f2(2-t) 所以所以f1(t) +f2(t) y1(t)+ y2(t)，满足叠加性满足叠加性。即即 y3(t)= f1(t) +f2(t) - f1(2-t) +f2(2-t) = f1(t) - f1(2-t)+ f2(t) -f2(2-t) = y1(t)+ y2(t)7对于系统对于系统y(t)=f(t)-f(2-t)来说，来说，若若af(t)作用系作用系统统时，时，有有af(t) y1(t)则则 y1(t)= af(t)-af(2-t)=af(t)-f(2-t)=ay(t)满足满足奇次奇次性性。（b）奇次奇次性性的判断的判断显然，该系统即显然，该系统即满足满足叠加性，又满足齐次性，叠加性，又满足齐次性，所以判断其满足线性。所以判断其满足线性。Ta1f1(t)+a2f2(t)=a1f1(t)+a2f2(t)-a1f1(2-t)+a2f2(2-t)= a1f1(t) - f1(2-t)+a2 f2(t) -f2(2-t)=a1y1(t)+a2y2(t)直接将激励直接将激励f(t)置换置换为为a1f1(t)+a2f2(t)两个激励两个激励分别置换分别置换整理整理满足线性满足线性8例例1.6-12 y(t)= 2f(t)-t式中含有自变量项，式中含有自变量项，不满足线性不满足线性3式中含有响应的乘积式中含有响应的乘积项，不满足线性项，不满足线性 4 y(t)=af(t)+b, （ a,b都为常数）都为常数）本小题中系统为非零状态系统，其全响应本小题中系统为非零状态系统，其全响应y(t)可以分解为零输入响应可以分解为零输入响应 和零状态响和零状态响应应 显然，零输入响应和零状态响应均能满足线显然，零输入响应和零状态响应均能满足线性，所以该系统为线性系统。性，所以该系统为线性系统。9对于电系统来说，如果系统某些器件的参数对于电系统来说，如果系统某些器件的参数（例如电路中的电阻值、电感值、电容值等）（例如电路中的电阻值、电感值、电容值等）不随时间变化的系统称为时不变系统。不随时间变化的系统称为时不变系统。2.2.系统的系统的时不变性时不变性对于一个时不变系统，在初始状态相同的条对于一个时不变系统，在初始状态相同的条件下，响应的波形不随激励作用于系统的时间件下，响应的波形不随激励作用于系统的时间起点而改变。或者说，当激励延迟一段时间起点而改变。或者说，当激励延迟一段时间td（或（或kd) )作用于系统时，其响应也延迟同样的作用于系统时，其响应也延迟同样的一段时间一段时间td（或或kd) )，且保持波形不变。，且保持波形不变。注意：这里的响应仅与激励有关，是零状态响应注意：这里的响应仅与激励有关，是零状态响应10也允许响应的幅值有也允许响应的幅值有比例地放大或减小比例地放大或减小以以连续连续系统系统激励与零状态响应激励与零状态响应为为例说明例说明时时不不变变系统系统。比如在通信比如在通信系统系统中，远离发射站点的信号与近距中，远离发射站点的信号与近距离的信号就会有衰减，此时都能保证接收到同样离的信号就会有衰减，此时都能保证接收到同样的完整信号。而这一系统就是的完整信号。而这一系统就是时时不不变系统变系统。11通常的通常的系统系统都可以认为是都可以认为是时时不不变系统变系统。而判断系判断系统是否为时不变系统的方法为统是否为时不变系统的方法为：（1）当描述系统输入与输出关系为当描述系统输入与输出关系为常系数常系数微分微分（或差分）（或差分）方程时，系统为时不变系统。方程时，系统为时不变系统。否则否则为时变系统。如为时变系统。如P28式式1.6-9。（2）一般情况下，已知一般情况下，已知 ，若系统存若系统存在如下关系在如下关系 则系统为时不变系统。则系统为时不变系统。12例例1.6-2 判断例判断例1.6-1中中的各系统是否为时不变系统。的各系统是否为时不变系统。1 y(t)=f(t)-f(2-t)解：由已知可得而显然，存在所以该系统为时变系统。131t0f(t)显然显然，在上例中在上例中f(-t-t t+2)f(-t+t t+2)。1t0f(-t)1t0f(-t+2)=f-(t-2)21t0f(-t-t+2)=f-(t+t-2)2(t2)2-t14例例1.6-2 2 y(t)= 2f(t)-t式中含有自变量项，式中含有自变量项，不满足时不变特性不满足时不变特性3式中响应与激励的系数均为常式中响应与激励的系数均为常数，满足时不变特性数，满足时不变特性 4 y(t)=af(t)+b, （ a,b都为常数）显然，由显然，由激励激励产生的产生的零状态响应零状态响应 满足满足时不变特性。时不变特性。15另外，另外，时不变时不变系统还具有微积分特性。系统还具有微积分特性。微积分特性是指若微积分特性是指若 ，则有，则有 及及 。 即输入信号微分或积分，经系统作用后的输出即输入信号微分或积分，经系统作用后的输出信号也微分或积分。信号也微分或积分。请记住这一结论，见请记住这一结论，见P29163线性时不变系统的特性线性时不变系统的特性可见，激励中既有齐次叠加，又有时移，响应也有，可见，激励中既有齐次叠加，又有时移，响应也有，同时满足线性和时不变特性。同时满足线性和时不变特性。当当描述描述系统的系统的激励与响应激励与响应是常系数是常系数、线性微线性微分分（或差分）（或差分）方程时，系统为方程时，系统为一定是一定是线性时线性时不变系统。不变系统。否则为否则为时变系统。时变系统。本课研究的本课研究的系统是线性时不变系统系统是线性时不变系统。因此，。因此，求解求解常系数线性微分常系数线性微分（或差分）（或差分）方程方程是分析是分析线性线性时时不不变系统变系统主要的任务主要的任务。174 4线性时不变系统的因果特性线性时不变系统的因果特性系统的零状态响应是由激励引起的，就称此系系统的零状态响应是由激励引起的，就称此系统为因果系统。若线性时不变系统满足因果特统为因果系统。若线性时不变系统满足因果特性，则此系统为线性时不变因果系统。性，则此系统为线性时不变因果系统。现实中的物理系统均为因果系统，例如：收音机、现实中的物理系统均为因果系统，例如：收音机、电视机、计算机等。而虚拟系统则是非因果系统，电视机、计算机等。而虚拟系统则是非因果系统，例如：计算机游戏及仿真。虚拟系统的研究同样例如：计算机游戏及仿真。虚拟系统的研究同样具有很重要的意义。具有很重要的意义。需要说明的是，当自变量不是时间而是空间等变需要说明的是，当自变量不是时间而是空间等变量时，因果将失去意义，例如：光学成像、图像量时，因果将失去意义，例如：光学成像、图像处理等。处理等。18例例1.6-3 判断输入输出关系为判断输入输出关系为 系统是否为线性时不变因果系统。系统是否为线性时不变因果系统。解：由系统的输入输出关系，可以容易地判断解：由系统的输入输出关系，可以容易地判断出该系统为线性时不变系统。出该系统为线性时不变系统。而当而当 时，系统的输出为时，系统的输出为当前时刻当前时刻的响应的响应过去时刻过去时刻的激励的激励未来时刻未来时刻的激励的激励显然，该系统的响应与系统未来的激励有关，显然，该系统的响应与系统未来的激励有关，所以该系统为非因果系统。所以该系统为非因果系统。19所以，该所以，该系统系统为非为非因果因果系统系统。显然显然 时，系统的输出为时，系统的输出为 满足因果特性满足因果特性。然而当然而当 时，系统的输出为时，系统的输出为 不不满足因果特性满足因果特性。例例1.6-3 判断输入输出关系为判断输入输出关系为 系统系统是否为线性时不变因果系统。是否为线性时不变因果系统。关于离散线性时不变因果系统关于离散线性时不变因果系统特性特性的判定可的判定可参照上述各例方法和步骤进行。参照上述各例方法和步骤进行。20系统的稳定性就是指系统在有界的激励作用下，系统的稳定性就是指系统在有界的激励作用下，其零状态响应也是有界的。其零状态响应也是有界的。5 5线性时不变系统的稳定特性线性时不变系统的稳定特性这里只做定性的判断，有关系统的稳定性的定这里只做定性的判断，有关系统的稳定性的定量分析将在第七章介绍。量分析将在第七章介绍。例如某系统在有界激励作用下，其零状态响应例如某系统在有界激励作用下，其零状态响应出现持续放大，且不能随着激励的终止而终止，出现持续放大，且不能随着激励的终止而终止，这种系统就是不稳定的系统。通信系统中的振这种系统就是不稳定的系统。通信系统中的振荡器就是这样系统。荡器就是这样系统。211.6.2 线性时不变系统的分析方法线性时不变系统的分析方法LTI系统的分析方法主要是输入系统的分析方法主要是输入-输出法和状输出法和状态变量法。本课主要介绍输入态变量法。本课主要介绍输入-输出法。输出法。LTI系统的输入系统的输入-输出法主要建立给定系统输输出法主要建立给定系统输入与输出之间关系，即数学模型。对于连续系入与输出之间关系，即数学模型。对于连续系统就是常系数线性微分方程；对于离散系统就统就是常系数线性微分方程；对于离散系统就是常系数线性差分方程。对于系统数学模型的是常系数线性差分方程。对于系统数学模型的建立不是本课的主要任务，通常要学会简单系建立不是本课的主要任务，通常要学会简单系统数学模型的建立即可。统数学模型的建立即可。22本课的主要任务就是求解常系数线性微分（或本课的主要任务就是求解常系数线性微分（或差分）方程，分为时域法和变换域两种方法。差分）方程，分为时域法和变换域两种方法。时域法将在第二章和第三章分别介绍连续系统时域法将在第二章和第三章分别介绍连续系统时域和离散系统时域分析法。时域和离散系统时域分析法。变换域将在第四、五、六、七章中介绍。其中变换域将在第四、五、六、七章中介绍。其中第四章为连续系统的频域分析，第五章为连续第四章为连续系统的频域分析，第五章为连续系统复频域分析，第六章为系统系统复频域分析，第六章为系统Z域分析。域分析。23小 结1理解线性时不变系统特性的含义。作业 1.25(2,3,5,7) 1.27 1.322学会定性判断线性时不变系统的特性。3明确系统分析的方法和手段，及所需要的数学知识与电信号、电系统的关系和物理意义。24