精品资料欢迎下载函数恒成立问题恒成立问题的基本类型：类型 1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a. 类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立2( )0baf或20ba或2( )0baf,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立2( )0baf或20ba或2()0baf类型 3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切. 类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切典例精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 1（）已知关于x的不等式03)1(4)54(22xmxmm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解： 首先讨论0542mm时，此时5m或1m. （1）当5m时，原不等式变为0324x，解得不等式为81x，与对一切实数x恒成立矛盾 . 所以不合题意. 当1m时，原不等式变为03，对一切实数x恒成立 , 所以符合题意. （2）0542mm，不等式是二次不等式，要使得不等式对一切实数x恒成立，需要，满足0)54(12)1(16054222mmmmm，解得191m. 综上所述，实数m的取值范围为191m. 【本题中重点要注意二次项系数是否为0， 当二次项系数是为0 时， 代入不等式得到当1m时，对一切实数x恒成立；当二次项系数不为0 时，借助于二次函数图象得到函数】【本题中重点要注意二次项系数是否为0， 当二次项系数是为0 时， 代入不等式得到当1m时，对一切实数x恒成立；当二次项系数不为0 时，借助于二次函数图象得到函数】巩固练习1. （）若不等式02) 1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围 . 解： （1）当01m时，原不等式化为02恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1( 8) 1(012mmm，所以，)9 , 1m. 【解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m ，所以要讨论m-1 是否是 0. 题目中没有说是一元二次不等式，所以二次项系数可以为 0. 】2. （） 已知函数2( )3f xxaxa，若2 ,2x时，( )0f x恒成立， 求a的取值范围 . 解：22( )324aaf xxa，令( )f x在2,2上的最小值为( )g a. （1）当22a，即4a时，( )( 2)730g afa73a又4aa不存在 . （2）当222a，即44a时，2( )( )3024aag afa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载62a又44a42a（3）当22a，即4a时，( )(2)70g afa7a又4a74a综上所述，72a. 【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】例 2 （）设124( )lg,3xxafx中aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a的取值范围 . 解：如果(.1)x时，( )f x恒有意义1240xxa，对(,1)x恒成立 .212(22)4xxxxa(.1)x恒成立 . 令xt2，)()(2tttg又)1 ,(x则),21(2xt)(tga对),21(2xt恒成立，又)(tg在),21(2xt上为减函数，max13( )()24tgg34a【如果(.1)x时，( )f x恒有意义，则可转化为1240xxa恒成立，即参数分离后212(22)4xxxxa，(.1)x恒成立， 接下来可转化为二次函数区间最值求解】巩固练习1.(）已知当Rx时，不等式xxasin452cos恒成立，求实数a的取值范围.解：原不等式xxa2cossin45当Rx时，不等式xxa2cossin45恒成立即min)2cossin45(xxa设1)1(sin2)2sin2(sin2sin21sin452cossin45)(222xxxxxxxxf 1 , 1sin x2a. 【不等式中含有两个变量a 及 x，本题必须由x 的范围（ xR）来求另一变量a 的范围，故可考虑将a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 3 （） 已知函数)(xf是定义在 1 , 1上的奇函数， 且1)1(f，若 1 , 1,ba，0ba，有0)()(babfaf，（1）证明)(xf在 1 , 1上的单调性；（2）若12)(2ammxf对所有 1 ,1a恒成立，求m的取值范围 . 【分析： 第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3 个字母， 最终求的是m的范围，所以根据上式将m当作变量，a作为常量，而x则根据函数的单调性求出( )f x的最大值即可】解： （1）任取12,1,1x x且12xx，则21,1x1212()()0fxfxxx1212()()0xxf xfx又( )f x是奇函数1212()()0xxf xf x( )f x在1,1上单调递增。（2）解：2( )21f xmam对所有1,1x，1,1a恒成立，即2max21mamf，max(1)1ff2221120mammam即2( )20g aamm在1,1上恒成立( 1)1 20(1)1 20gaga1212aa1122a. 【对恒成立问题，当字母比较多时，可以考虑换位思考，转化成另一个字母的函数，特别精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载是已知参数范围求自变量范围，会有助于解这类问题. 】巩固练习(） 对于满足2|a的所有实数a, 求使不等式xaaxx212恒成立的x的取值范围 .【分析： 在不等式中出现了两个字母：x及a, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2 内关于a的一次函数大于0恒成立的问题】解：原不等式转化为012)1(2xxax, 设12) 1()(2xxaxaf, 则)(af在-2,2上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或1x或3x. 回顾总结（1）函数恒成立问题的理解：_ _ （2）函数恒成立问题常见的几种解法：_ _ (3) 转换主元法的使用类型：_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页