学习必备欢迎下载第 16 章 分式16.1.1 分式的概念教学目标：1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。教学重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。教学难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。教学过程：一、做一做（1）面积为 2 平方米的长方形一边长3 米，则它的另一边长为 _米；（2）面积为 S平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为 _米；（3）一箱苹果售价 p元，总重m千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是 _元；二、概括：形如BA(A、B是整式，且 B中含有字母， B0) 的式子，叫做 分式. 其中A叫做分式的 分子, B叫做分式的 分母 . 整式和分式统称 有理式 , 即有理式整式，分 式 .三、例题：例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x1；（2）2x；（3）yxxy2；（4）33yx. 解：属于整式的有：（2） 、 （4） ；属于分式的有：（1） 、 （3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零. 如果分母的值是零，则分式没有意义. 例如，在分式aS中， a0；在分式nm9中，m n. 例2 当x取什么值时，下列分式有意义？（1）11x；（2）322xx. 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解（1）分母1x0，即x1. 所以，当x1 时，分式11x有意义 . （2）分母 23x0，即x-23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载所以，当x-23时，分式322xx有意义. 四、练习：填空： （1）当 x 时，分式有意义。（2）当 x 时，分式有意义。（3）当 b_时，分式有意义。（4）当 x、y 满足关系时，分式有意义。解： （1）当分母 3x 0 时，x 0 时，分式有意义。（2）当分母 x-1 0 时，x 1 时，分式有意义。（3)当分母 5-3b 0 时，b 时，分式有意义。(4) 当分母 x-y 0 时，x y 时，分式有意义。五、小结：什么是分式？什么是有理式？16.1.2 分式的基本性质教学目标：1、掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。教学重点：让学生知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法。教学难点：1、分子、分母是多项式的分式约分；2、几个分式最简公分母的确定。教学过程：1、分式的基本性质引言：我们小学学习了分数的基本性质，今天我们学习分式的基本性质。新课：根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质； = （C 0） 。请同学们根据上面的式子和以前学过的分数的基本性质，总结出分式的基本性质是什么？学生回答出来，教师及学生补充完整。分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。； = （C0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载注意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于0 的整式。指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以（除以）一个不等于0 的整式。分数是乘以（除以）一个不等于0 的数。例 1 填空：（1） = ； = 。(2) = ； =。分析：引导学生根据分式的基本性质，来对分式进行化简。（1）是乘以一个整式 ab,注意是分子和分母都乘以这个整式。 （2）是分子和分母都乘以b, 分式的值不变。（3）是分子 x2+xy=x(x+y), 对照分子，可以看出分子和分母都除以x, 分式的值不变， 所以X。 （4）把分母分解因式 x2-2x=x(x-2),对照分母，可以看出分子、分母都除以x，分式的值不变，所以填1。2、与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 例 3 约分（1）4322016xyyx；（2）44422xxx分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去. 为此，首先要找出分子与分母的公因式 . 解（1）4322016xyyxyxyxxy544433yx54. （2）44422xxx2)2()2)(2(xxx22xx. 约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.练习：（1） ; (2) 分析： （1）-25a2bc3与 15ab2c 的公因式为 5abc，与因式分解的公因式的确定一样。（2）分子 x2-9=(x+3)(x-3);分母 x2+6x+9=(x+3)2, 这样分子与分母的公因式就确定了，可以进行约分了。由例题知约分最关键的是把公因式约去，所以公因式的确定是主要的，多项式则先分解因式，然后约分。解：略。4、例 4通分（1）ba21，21ab；（2）yx1，yx1；（3）221yx，xyx21解（1）ba21与21ab的最简公分母为 a2b2，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载ba21bbab2122bab，21abaaba2122baa. （2）yx1与yx1的最简公分母为（ x- y）(x+y) ，即 x2y2，所以yx1)(1yxyxyx）（22yxyx，yx1)()(1yxyxyx22yxyx. 请同学们根据这两小题的解法，完成第（3）小题。5、练习（1）与； （2）与。分析：引导学生归纳出分式通分的过程和依据。（1）先确定分母 2a2b 与 ab2c 的最简公分母是 2a2b2c。然后乘以一个适当的整式。（2）最简分母是（ x+5)(x-5).(3)解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式。约分的关键是最简公分母的确定，对单项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指数最高次幂；对多项式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次幂。6、小结 ： （1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质；（2）分式的约分运算，用到了哪些知识？让学生发表，互相补充，归结为：因式分解；分式基本性质；分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“”。（3）把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质， 通分前后分式的值没有改变。 通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法， 通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。16.2 分式的运算16.2.1 分式的乘除法教学目标：1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力教学重点：分式的乘除法、乘方运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载教学难点：分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。教学过程：一、复习与情境导入1、(1) ：什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？(2) ：下列各式是否正确？为什么？2、尝试探究：计算：（1）abba32232；（2）baba232. 概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 . 如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简 . 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . （用式子表示如右图所示）二、例题：例 1 计算：（1）xbaybyxa2222；（2）222222xbyzazbxya. 解（1）xbaybyxa2222=xbbyayxa2222=33ba. （2）222222xbyzazbxya=yzaxbzbxya222222=33zx. 例 2 计算：493222xxxx. 解原式)2)(2()3)(3(32xxxxxx23xx. 三、练习：1 计算：（1） (2) 分析：这两题就是分式乘除法的运用。由学生根据法则来进行计算，教师与学生把解题过程补充完整。解：略2 计算：回忆：如何计算10965、4365？从中可以得到什么启示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载（1） (2) 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则。解： （1）原式= = （2）原式 = = =-3 计算：（1）2x5x-3325x2-9x5x+3解：原式2x5x-3(5x+3)(5x-3)3x5x+3 =2x23分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去。注意运算顺序。四、思考怎样进行分式的乘方呢？试计算：（1） （mn）3（2） （mn）k （k 是正整数）（1） （mn）3 =mnmnmnmmmnnn_；（2） （mn）k =个kmnmnmnmmmnnn_. 仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则. 计算：（1） (-2a2b3c )2 ; (2) (a2b-cd3 )32ad3(c2a )2分析： (1) 题是分式乘方的运用，可直接运用公式。 （2）运算顺序是先乘方，然后是乘除。要注意运算时的符号。解：（1）原式 = 4a4b29c2（2）原式 = - a6b3c3d9d32ac24a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载回忆：如何计算5251、6141，从中可以得到什么启示？ =-a3b38cd6注意在解题时正确地利用幂的乘方及符号。五、小结：1、怎样进行分式的乘除法？2、怎样进行分式的乘方？16.2.2 分式的加减法教学目标：1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。教学重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。教学难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。教学过程：一、实践与探索1、回忆：同分母的分数的加减法法则：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。2、试一试：计算： （1）aab2； （2）aba3223、总结一下怎样进行分式的加减法？概括同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 二、例题1、例 3 计算：xyyxxyyx22)()(2、例 4 计算：1624432xx. 分析这里两个加项的分母不同，要先通分. 为此，先找出它们的最简公分母. 注意到162x=)4)(4(xx,所以最简公分母是)4)(4(xx解1624432xx)4)(4(2443xxx)4)(4(24)4)(4()4(3xxxxx)4)(4(24)4(3xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载)4)(4(123xxx)4)(4()4(3xxx43x三、练习：1 计算：（1）5x+3yx2-y22xx2-y2 (2) 12p+3q +12p-3q分析：这两题就是分式加减法的运用。 （1）是同分母分式的加减法，直接用法则就可以了。（2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师生共同来解两个题。教师写出解题过程。解： （1）原式5x+3y-2xx2-y2 = 3x+3yx2-y2 = 3(x+y)(x+y)(x-y) =3x+y(2) 原式1(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q) +1(2p+3q)(2p+3q)(2p-3q) =2p-3q+2p+3q(2p+3q)(2p-3q) =4p(2p+3q)(2p-3q) =4p4p2-9q2。教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式。可以向学生简单介绍最简分式的有关知识，可与最简分数相类比。四、小结：1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法；2、异分母分式的加减法步骤：. 正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取； （3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。. 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。. 公分母保持积的形式，将各分子展开。. 将得到的结果化成最简分式（整式） 。16.3 整数指数幂（ 1）一、教学目标1、经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力。2、了解负整数指数的概念，了解幂运算的法则可以推广到整指数幂。3、会进行简单的整数范围内的幂运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载二、教学重点负整数指数幂的概念三、教学难点认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程。四、教学过程温故知新你还记得下面这些算式的算式的算法吗？比一比，看一看谁做得又快又好：（1）3533（2）40aa（3）33()x（4）4()mn（5）53aa（6）77xx（7）78332、你还记得01(0)aa是怎么得到的吗？探究新知根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？（1）781333（2）571101010（3）351aaa如果我们要使运算性质mnm naaa在这里（mn即时）也可以适用，你认为该作怎样的规定呢？教师可以鼓励学生先运用自己的语言进行描述，然后自学课本第P23 页。要指出有了这一新规定后，mnm naaa的适用范围就扩大到所有整数指数。应用新知再探新知现在我们考虑：在引入负整数指数和零指数后，mnm naaa（m 、n 是正整数）这条性质能否扩大到m 、n 是整数的情形？请完成下列填空：35311aaaaa即35aaa35111aaaaaaa即35aaa051aaaaa即05aaa从中你想到了什么？举例：再换其他整数指数验证这个规律。归纳：mnm naaa这条性质对 m 、n 是任意整数的情形都适用。继续举例探究：(),(),()nmnmnnnnnnaaaaaba bbb在整数指数幂范围内是否适用。例题计算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载（1）022008( 2)（2）33.6 10（3）33( 4)( 4)（4）2122( )()33（5）336aaa（6）23(2)b六、小结 ：你这节学会了什么？16.3 整数指数幂（ 2）教学目标：1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。2、使学生掌握nnaa1（a0，n 是正整数）并会运用它进行计算。3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。教学重点、难点：不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。教学过程：一、复习并问题导入问题 1 在13.1 中介绍同底数幂的除法公式nmnmaaa时，有一个附加条件： mn，即被除数的指数大于除数的指数. 当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或mn时，情况怎样呢？二、探索 1：不等于零的零次幂的意义先考察被除数的指数等于除数的指数的情况. 例如考察下列算式：5252，103103，a5a5(a0). 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得525252-250，103103103-3100，a5a5a5-5a0( a0). 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于 1. 概括: 由此启发，我们规定： 50=1，100=1，a0=1（a0）. 这就是说： 任何不等于零的数的零次幂都等于1. 三、探索 2：负指数幂我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：零的零次幂没有意义！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载5255，103107，一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得525552-55-3， 103107103-710-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为52555255322555351 1031077310104331010104101 概括 ：由此启发，我们规定： 5-3351，10-44101. 一般地，我们规定：nnaa1 ( a0，n 是正整数 ) 这就是说， 任何不等于零的数的 n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数 .四、例题：1、例 1 计算： （1）3-2；（2）1010312、例 2 用小数表示下列各数：（1）10-4；（2）2.1 10-5. 解（1）10-441010.0001. （2）2.1 10-52.1 51012.1 0.000010.000021. 五、练习：计算：（1）022008( 2)（2）33.6 10（3）33( 4)( 4)（4）2122( )( )33（5）336aaa（6）23(2)b六、探索现在，我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数. 那么，在 13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载（1）)3(232aaa；（2）(ab)-3=a-3b-3；（3）(a-3)2=a(-3) 2 (4) )3(232aaa七、小结：1、引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。同底数幂的除法公式aman=am-n ( a0, m n) 当 m = n 时， aman = 当 m n 时，aman = 2、任何数的零次幂都等于1 吗？( 注意：零的零次幂无意义。) 3、规定nnaa1其中 a、n 有没有限制，如何限制。16.4 可化为一元一次方程的分式方程(1) 教学目标：1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 . 3、使学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解 . 4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。教学重点：使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程 . 教学难点：使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 . 教学过程：一、问题情境导入轮船在顺水中航行80 千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同 . 已知水流的速度是 3 千米/ 时，求轮船在静水中的速度. 分析设轮船在静水中的速度为x 千米/ 时，根据题意，得360380xx. （1）概括方程(1) 中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程 . 思考怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程（1）. 方程（ 1）可以解答如下：方程两边同乘以（ x+3）( x-3) ，约去分母，得80（x-3）=60(x+3). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载解这个整式方程，得x=21. 所以轮船在静水中的速度为21 千米/ 时. 概括上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解. 所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 二、例题：1、例 1 解方程：12112xx. 解方程两边同乘以（ x2-1 ）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1. 解到这儿，我们能不能说x=1 就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可能会发现，当x=1 时，原分式方程左边和右边的分母（x1）与（ x21）都是 0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1 不是原分式方程的解，应当舍去. 所以原分式方程无解 . 我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母， 有时可能产生不适合原分式方程的解（或根） ，这种根通常称为 增根 .因此，在解分式方程时必须进行检验. 2、例 2 解方程：730100xx. 解方程两边同乘以 x( x-7) ，约去分母，得100（x-7 ）=30x. 解这个整式方程，得x=10. 检验：把 x=10 代入 x( x-7) ，得10（10-7）0 所以， x=10是原方程的解 . 三、练习：1 解方程323xx解：方程两边同乘x（x3） ，得 2x3x9 解得 x9 检验：x9 时 x （x3）0，9 是原分式方程的解。 2 解方程31(1)(2)1xxxx解：方程两边同乘（ x1） （x2） ，得 x（x2）（ x1） （x2）3 化简，得 x23 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载解得 x1 检验：x1 时（x1） （x2）0，1 不是原分式方程的解，原分式方程无解。四、小结：、什么是分式方程？举例说明；、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程解这个整式方程. 验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？16.4 可化为一元一次方程的分式方程(2) 教学目标：1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。2、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。教学重点：让学生学习审明题意设未知数，列分式方程教学难点：在不同的实际问题中，设元列分式方程教学过程：一、复习并问题导入1、复习练习解下列方程：（1）21413xxxx（2）6272332xx2、列方程解应用题的一般步骤？ 概括 ：这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。二、实践与探索： 列分式方程解应用题例 3 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致. 已知甲的输入速度是乙的2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完 . 问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？解设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩，根据题意得x226406022640x. 解得x11. 经检验， x11 是原方程的解 . 并且 x11，2x21122，符合题意 . 答：甲每分钟能输入22 名学生的成绩，乙每分钟能输入11 名学生的成绩 . 强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；三、练习： P14 第 2、3 题四、小结：列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载（2）设未知数（要有单位） ；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页