数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导汤 燕 斌华中科技大学数学与统计学院tangybmail.hust.edu.cn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数7/19/20241数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数 数学和物理的关系 课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数7/19/20242数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla 拉普拉斯算子 微积分知识回顾与梯度算子有关的场论运算 平面上的拉普拉斯算子 常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、二阶线性方程 傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、余弦级数 7/19/20243数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导拉普拉斯方程： 热传导方程： 波动方程： 三类偏微分方程 两种特殊函数 贝塞尔方程 勒让德方程 琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布 的解：贝塞尔函数 的解：勒让德函数 7/19/20244数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解条件的推导定解条件的推导二、二、 定解条件的推导定解条件的推导三、三、 定解问题的概念定解问题的概念7/19/20245数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导常见数学物理方程的导出确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 根据物理规律建立微分方程 通过合理的数学近似对方程进行化简数学物理方程定解问题的提法泛定方程泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）定解问题：定解条件定解条件（初始条件，边界条件）（初始条件，边界条件）7/19/20246数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 基本方程的建立基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。例例1、弦的振动、弦的振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。7/19/20247数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟7/19/20248数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟7/19/20249数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟7/19/202410数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟7/19/202411数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导波的传播的相关模拟波的传播的相关模拟7/19/202412数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟7/19/202413数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：7/19/202414数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导其中：一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：7/19/202415数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：在自由空间：例例2、时变电磁场、时变电磁场7/19/202416数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：由此得：得：即： 同理可得：电场的三维波动方程磁场的三维波动方程7/19/202417数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例3 3、热传导、热传导所要研究的物理量：温度 根据热学中的傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场7/19/202418数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量：温度发生变化需要的热量为：热传导方程热场如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程7/19/202419数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例4 4、静电场、静电场电势u u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程 泊松方程 7/19/202420数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。7/19/202421数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、 波动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度7/19/202422数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。或第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件7/19/202423数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导B、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值(S为给定区域v 的边界)(2) 绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。交换系数； 周围介质的温度,第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件C、拉普拉斯方程的边界条件7/19/202424数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。2 2、定解问题的适定性、定解问题的适定性 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。7/19/202425数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程和变系数微分方程；(5) 按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程3 3、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程非线性微分方程；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程；7/19/202426数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导线性方程的解具有叠加特性 4 4、叠加原理、叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)判断下列方程的类型思考7/19/202427数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。 6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法7/19/202428数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导四、四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(1.4.1) 其中，其中，都是区域都是区域上的上的实实函数，函数，并假定它并假定它们们是是连续连续可微的。可微的。 若在区域若在区域上某点上某点处满处满足足则则称方程称方程(1.4.1)(1.4.1)在点在点处处是是双曲型双曲型的；若在点的；若在点处满处满足足，则则称方程称方程(1.4.1)(1.4.1)是是抛物型抛物型的；的；处满处满足足, ,则则称方程称方程(1.4.1)(1.4.1)是是椭圆椭圆型型的。的。 若在点若在点在点在点7/19/202429数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导如果方程如果方程(1.4.1)(1.4.1)在所在所讨论讨论的区域的区域内每点都是内每点都是双曲型双曲型（抛物型或（抛物型或椭圆椭圆型），型），则则称方程在区域内也是双称方程在区域内也是双曲型（抛物型或曲型（抛物型或椭圆椭圆型）。型）。 7/19/202430