动量与能量应用的几个模动量与能量应用的几个模型型一、关于一、关于“子弹打木块子弹打木块”问题特征与规律问题特征与规律 动力学规律：动力学规律：运动学规律：运动学规律：动量规律：动量规律：由两个物体组成的系统，所受合外力为由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力零而相互作用力为一对恒力典型情景典型情景规律种种规律种种模型特征：模型特征：两物体的加速度大小与质量成反比两物体的加速度大小与质量成反比系统的总动量定恒系统的总动量定恒两个作匀变速运动物体的追及问题、相两个作匀变速运动物体的追及问题、相对运动问题对运动问题 练习练习2. 如图所示，如图所示，A、B是静止在水平地面上完全相是静止在水平地面上完全相同的两块长木板。同的两块长木板。A的左端和的左端和B的右端相接触。两板的的右端相接触。两板的质量皆为质量皆为M=2.0kg，长度皆为，长度皆为l =1.0m,C 是一质量为是一质量为m=1.0kg的木块现给它一初速度的木块现给它一初速度v0 =2.0m/s，使它从，使它从B板的左端开始向右动已知地面是光滑的，而板的左端开始向右动已知地面是光滑的，而C与与A、B之间的动摩擦因数皆为之间的动摩擦因数皆为=0.10求最后求最后A、B、C各以多各以多大的速度做匀速运动取重力加速度大的速度做匀速运动取重力加速度g=10m/s2.ABCM=2.0kgM=2.0kgv0 =2.0m/sm=1.0kg解解：先先假假设设小小物物块块C 在在木木板板B上上移移动动距距离离 x 后后，停停在在B上上这这时时A、B、C 三者的速度相等，设为三者的速度相等，设为VABCVABCv0Sx由动量守恒得由动量守恒得 在此过程中，木板在此过程中，木板B 的位移为的位移为S，小木块，小木块C 的位移为的位移为S+x由功能关系得由功能关系得相加得相加得解解、两式得两式得代入数值得代入数值得 题目题目 上页上页 下页下页 x 比比B 板板的的长长度度l 大大这这说说明明小小物物块块C不不会会停停在在B板板上上，而而要要滑滑到到A 板板上上设设C 刚刚滑滑到到A 板板上上的的速速度度为为v1，此此时时A、B板的速度为板的速度为V1，如图示：，如图示：ABCv1V1则由动量守恒得则由动量守恒得由功能关系得由功能关系得以题给数据代入解得以题给数据代入解得由于由于v1 必是正数，故合理的解是必是正数，故合理的解是题目题目 上页上页 下页下页 当当滑滑到到A之之后后，B 即即以以V1= 0.155m/s 做做匀匀速速运运动动而而C 是是以以 v1=1.38m/s 的的初初速速在在A上上向向右右运运动动设设在在A上上移移动动了了y 距距离离后后停止在停止在A上，此时上，此时C 和和A 的速度为的速度为V2，如图示：，如图示：ABCV2V1y由动量守恒得由动量守恒得 解得解得 V2 = 0.563 m/s 由功能关系得由功能关系得解得解得 y = 0.50 my 比比A 板的长度小，故小物块板的长度小，故小物块C 确实是停在确实是停在A 板上板上最后最后A、B、C 的速度分别为的速度分别为: 题目题目 上页上页1 1、如图所示，金属杆、如图所示，金属杆a a从离地从离地h h高处由静止开始沿光滑平高处由静止开始沿光滑平行的弧形轨道下滑，轨道的水平部分有竖直向上的匀强磁行的弧形轨道下滑，轨道的水平部分有竖直向上的匀强磁场场B B，水平轨道上原来放有一金属杆，水平轨道上原来放有一金属杆b b，已知，已知a a杆的质量为杆的质量为m ma a, ,且与杆且与杆b b的质量之比为的质量之比为m ma ammb b=34=34，水平轨道足够长，水平轨道足够长，不计摩擦，求：不计摩擦，求：(1)a(1)a和和b b的最终速度分别是多大的最终速度分别是多大? ?(2)(2)整个过程中回路释放的电能是多少整个过程中回路释放的电能是多少? ?(3)(3)若已知若已知a a、b b杆的电阻之比杆的电阻之比RaRb=34RaRb=34，其余部分的电，其余部分的电阻不计，整个过程中杆阻不计，整个过程中杆a a、b b上产生的热量分别是多少上产生的热量分别是多少? ?例与练例与练(1)a(1)a下滑过程中机械能守恒下滑过程中机械能守恒 析与解析与解m ma agh=mgh=ma av v0 02 2/2 /2 a a进入磁场后，回路中产生感应电流，进入磁场后，回路中产生感应电流，a a、b b都都受安培力作用，受安培力作用，a a做减速运动，做减速运动，b b做加速运动，做加速运动，经过一段时间，经过一段时间，a a、b b速度达到相同，之后回路速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为的磁通量不发生变化，感应电流为0 0，安培力，安培力为为0 0，二者匀速运动，二者匀速运动. .匀速运动的速度即为匀速运动的速度即为a.ba.b的最终速度，设为的最终速度，设为v.v.由于所组成的系统所受合由于所组成的系统所受合外力为外力为0 0，故系统的动量守恒，故系统的动量守恒 m ma av v0 0=(m=(ma a+m+mb b)v)vv va a=v=vb b=v= =v= (3)(3)由能的守恒与转化定律，回路中产生的热量由能的守恒与转化定律，回路中产生的热量应等于回路中释放的电能等于系统损失的机械能，应等于回路中释放的电能等于系统损失的机械能，即即Qa+Qb=E.Qa+Qb=E.在回路中产生电能的过程中，电流不在回路中产生电能的过程中，电流不恒定，但由于恒定，但由于RaRa与与RbRb串联，通过的电流总是相等串联，通过的电流总是相等的，所以应有的，所以应有析与解析与解(2)(2)由能量守恒得知，回路中产生的电能由能量守恒得知，回路中产生的电能应等于应等于a a、b b系统机械能的损失，所以系统机械能的损失，所以 E=m E=ma agh-(mgh-(ma a+m+mb b)v)v2 2/2=4m/2=4ma agh/7gh/7 2 2、将带电量、将带电量Q=0.3 CQ=0.3 C，质量，质量m=0.15 kgm=0.15 kg的滑块，放在小车的滑块，放在小车的绝缘板的右端，小车的质量的绝缘板的右端，小车的质量M=0.5 kgM=0.5 kg，滑块与绝缘板间的，滑块与绝缘板间的动摩擦因数动摩擦因数=0.4=0.4，小车的绝缘板足够长，它们所在的空间，小车的绝缘板足够长，它们所在的空间存在着磁感应强度存在着磁感应强度B=20 TB=20 T的水平方向的匀强磁场，开始时小的水平方向的匀强磁场，开始时小车静止在光滑水平面上，当一个摆长为车静止在光滑水平面上，当一个摆长为L=1.25 mL=1.25 m，摆球质量，摆球质量m=0.4 kgm=0.4 kg的单摆从水平位置由静止释放，摆到最低点时与小的单摆从水平位置由静止释放，摆到最低点时与小车相撞，如图所示，碰撞后摆球恰好静止，车相撞，如图所示，碰撞后摆球恰好静止，g g取取10 m/s10 m/s2 2. .求：求：（1 1）摆球与小车碰撞过程中系统损失的机械能）摆球与小车碰撞过程中系统损失的机械能E E是多少？是多少？（2 2）碰撞后小车的最终速度是多少？）碰撞后小车的最终速度是多少？ 例与练例与练碰碰撞撞的的分分类类 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 动量守恒，动能不损失动量守恒，动能不损失 （质量相同，交换速度）（质量相同，交换速度）完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 动量守恒，动能损失动量守恒，动能损失 最大。最大。 （以共同速度运动）（以共同速度运动）非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 动量守恒，动能有损失。动量守恒，动能有损失。 碰碰 撞后的速度介于上面两种撞后的速度介于上面两种 碰撞的速度之间碰撞的速度之间.二、碰撞模型碰撞模型 1.弹性碰撞模型弹性碰撞模型 弹性碰撞是碰撞过程无机械能损失的碰撞，遵循的规律是弹性碰撞是碰撞过程无机械能损失的碰撞，遵循的规律是动量守恒和系统机械能守恒。确切的说是碰撞前后动量守恒，动量守恒和系统机械能守恒。确切的说是碰撞前后动量守恒，动能不变。在题目中常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子动能不变。在题目中常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子等微观粒子的碰撞都是弹性碰撞。等微观粒子的碰撞都是弹性碰撞。已知已知A、B两个钢性小球质量分别是两个钢性小球质量分别是m1、m2，小球，小球B静止在静止在光滑水平面上，光滑水平面上，A以初速度以初速度v0与小球与小球B发生弹性碰撞，求碰撞后发生弹性碰撞，求碰撞后小球小球A的速度的速度v1，物体，物体B的速度的速度v2大小和方向大小和方向m2v2m1v1Bm1v0BAA解析：取小球解析：取小球A初速度初速度v0的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变有：碰撞前后动量守恒、动能不变有： m1v0= m1v1+ m2v2 由由两式得：两式得：，结论：（结论：（1）当）当m1=m2时，时，v1=0，v2=v0，显然碰撞后，显然碰撞后A静止，静止，B以以A的初速度运动，两球速度交换，并且的初速度运动，两球速度交换，并且A的动能完全传递给的动能完全传递给B，因此，因此m1=m2也是动能传递最大的条件；以上弹性碰撞以动撞静也是动能传递最大的条件；以上弹性碰撞以动撞静的情景可以简单概括为：（质量）等大小，（速度和动能）交的情景可以简单概括为：（质量）等大小，（速度和动能）交换了；小撞大，被弹回；大撞小，同向跑。换了；小撞大，被弹回；大撞小，同向跑。（1 1）小球）小球m m1 1滑到的最大高度滑到的最大高度（2 2）小球）小球m m1 1从斜面滑下后，二者速度从斜面滑下后，二者速度（3 3）若）若m m1 1= m= m2 2小球小球m m1 1从斜面滑下后，二者速度从斜面滑下后，二者速度例例1 1：如图所示，光滑水平面上质量为：如图所示，光滑水平面上质量为m m1 1=2kg=2kg的小球以的小球以v v0 0=2m/s=2m/s的初速冲向质量为的初速冲向质量为m m2 2=6kg=6kg静止的足够高的光滑的斜静止的足够高的光滑的斜劈体，斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧。求：劈体，斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧。求：例与练例与练v0m1m2（1 1）以向右为正，对上升过程水平方向由动量守恒）以向右为正，对上升过程水平方向由动量守恒h=0.15m V= m1V0 / （m1+m2） =0.5m/s对系统上升过程由机械能守恒对系统上升过程由机械能守恒析与解析与解（2 2）以向右为正，对系统全过程由动量守恒）以向右为正，对系统全过程由动量守恒 m1V0 = （m1+m2）V对系统全过程由机械能守恒对系统全过程由机械能守恒析与解析与解联立以上两式，可得联立以上两式，可得（3 3） 若若m1=m2注意注意m m1 1= m= m2 2交换速度。交换速度。m m1 1 m m2 2 , v , v1 10 mm2,当两人交换位置后，船当两人交换位置后，船身位移的大小是多少？（不计水的阻力）身位移的大小是多少？（不计水的阻力）类似实例类似实例过程分析：过程分析： 此题初看上去较上题繁杂得多，物理模型也迥然相异，但实质上此题初看上去较上题繁杂得多，物理模型也迥然相异，但实质上是大同小异，如出一辙。试想，若把质量大的人换成两个人，其是大同小异，如出一辙。试想，若把质量大的人换成两个人，其中一个人的质量为中一个人的质量为m2，另一个人的质量为，另一个人的质量为m=m1-m2。由上一题。由上一题可知，当两个质量都为可知，当两个质量都为m2的人互换位置之后，船将原地不动。这的人互换位置之后，船将原地不动。这样一来，原来的问题就转化为上题所示的物理模型了，当质量为样一来，原来的问题就转化为上题所示的物理模型了，当质量为m=m1-m2的人从船的一端走到另一端，求船的位移。的人从船的一端走到另一端，求船的位移。解：设船对地移动的位移为解：设船对地移动的位移为S，则质量为，则质量为m=m1-m2的人对地移的人对地移动的位移就是动的位移就是L-S，由动量守恒定律可得，由动量守恒定律可得（M+2m2）S/t(m1-m2)(L-S)/t=0解得解得S=(m1-m2)L/(M+m1+m2)2、如图、如图2所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三形木块所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三形木块A和和B，底边长分别为，底边长分别为a、b，质量分别为，质量分别为M、m，若，若M=4m，且，且不计任何摩擦力，当不计任何摩擦力，当B滑到底部时，滑到底部时，A向后移了多少距离？向后移了多少距离？过程分析过程分析选定木块选定木块A和和B整体作为研究对整体作为研究对象，在象，在B沿斜面下滑的过程中，与人船模沿斜面下滑的过程中，与人船模型类同，该系统在水平方向上所受的合外型类同，该系统在水平方向上所受的合外力为零，所以，在水平方向上动量守恒。力为零，所以，在水平方向上动量守恒。解：设当解：设当B沿斜面从顶端滑到底部时，沿斜面从顶端滑到底部时，A向后移动了向后移动了S，则，则B对地对地移动了移动了a-bS,由动量守恒定律得由动量守恒定律得MS/tm(ab-S)/t=0解得解得S=m(a-b)/(M+m)=(ab)/53、质量为、质量为M的气球下系一质量可忽略的足够的气球下系一质量可忽略的足够长的绳子，绳子上距地面长的绳子，绳子上距地面H高处有一质量为高处有一质量为m的猴子。开始时气球和猴子均静止在空中，的猴子。开始时气球和猴子均静止在空中，猴子从某时刻开始沿绳子缓慢下滑，要它恰猴子从某时刻开始沿绳子缓慢下滑，要它恰能滑到地面，开始下滑时，它下面的绳子至能滑到地面，开始下滑时，它下面的绳子至少应为多长？少应为多长？过程分析：选定气球和猴子为一个系统，在猴子沿绳子下滑着地前过程分析：选定气球和猴子为一个系统，在猴子沿绳子下滑着地前的整个过程中，系统在竖直方向上所受合外力为零，因此，在竖直的整个过程中，系统在竖直方向上所受合外力为零，因此，在竖直方向上每时每刻动量守恒，与人船模型类同。方向上每时每刻动量守恒，与人船模型类同。解：设猴子从开始下滑到着地历时解：设猴子从开始下滑到着地历时t，其间气球又上升了，其间气球又上升了h，由动，由动量守恒定律得量守恒定律得Mh/tmH/t=0解得解得h=Hm/M因此，所求绳长至少应为因此，所求绳长至少应为L=H+h=H（M+m）/M4、某人在一只静止的小船上练习射击，船和人连同枪（不包、某人在一只静止的小船上练习射击，船和人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为括子弹）及靶的总质量为M，枪内装有，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质颗子弹，每颗子弹的质量为量为m，枪口到靶的距离为，枪口到靶的距离为L，子弹射出枪口时相对地面的速度，子弹射出枪口时相对地面的速度为为vO，在发射一颗子弹时，前一颗粒子弹已陷入靶中，则在发，在发射一颗子弹时，前一颗粒子弹已陷入靶中，则在发射完射完n颗子弹后，小船后退的距离为多少（不计水的阻力）。颗子弹后，小船后退的距离为多少（不计水的阻力）。过程分析过程分析子弹发射时在枪内的运动，和击靶的过程，类似于人子弹发射时在枪内的运动，和击靶的过程，类似于人船模型中相互作用。连发船模型中相互作用。连发n颗子弹，相当于颗子弹，相当于n个人从船头走到船尾。个人从船头走到船尾。把船、人、枪、靶和子弹作为一个系统进行研究，因该系统在水把船、人、枪、靶和子弹作为一个系统进行研究，因该系统在水平方向上不受外力，所以在这个方向上总动量守恒。平方向上不受外力，所以在这个方向上总动量守恒。解：设一颗子弹完成射击过程的历时为解：设一颗子弹完成射击过程的历时为t，小船移动，小船移动So，由动量，由动量守恒定律可得守恒定律可得M+(n-1)mSo/tm(L-So)/t=0解方程可得解方程可得So=mL/(M+nm)因此，发射因此，发射n颗子弹后，小船后退的距离颗子弹后，小船后退的距离S=nSo=nmL/(M+nm)四、反冲爆炸模型四、反冲爆炸模型模型要点模型要点内力远大于外力，故系统动量守恒，有其他形式的能单向转化内力远大于外力，故系统动量守恒，有其他形式的能单向转化为动能。所以为动能。所以“爆炸爆炸”时，机械能增加，增加的机械能由化学能时，机械能增加，增加的机械能由化学能（其他形式的能）转化而来。例如：炮发炮弹中的化学能转化（其他形式的能）转化而来。例如：炮发炮弹中的化学能转化为机械能；弹簧两端将物块弹射将弹性势能转化为机械能；核为机械能；弹簧两端将物块弹射将弹性势能转化为机械能；核衰变时将核能转化为动能等。衰变时将核能转化为动能等。例题：有一辆炮车总质量为例题：有一辆炮车总质量为M，静止在水平光滑地面上，当把，静止在水平光滑地面上，当把质量为质量为m的炮弹沿着与水平面成的炮弹沿着与水平面成角发射出去，炮弹对地速度为，角发射出去，炮弹对地速度为，求炮车后退的速度。求炮车后退的速度。解：系统在水平面上不受外力，故水平方向动量守恒，炮弹对解：系统在水平面上不受外力，故水平方向动量守恒，炮弹对地的水平速度大小为，设炮车后退方向为正方向，则地的水平速度大小为，设炮车后退方向为正方向，则结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！41