学而不思则惘，思而不学则殆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆评卷人得分一、填空题（题型注释）1.设点P为函数axxxf221)(2与2( )3ln2g xaxb)0(a图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为答案及解析：1.3243e2.若函数( )(1)xf xmxe在(0,)上单调递增，则实数m的取值范围是答案及解析：2.1,3.若曲线3xy在点（ 1,1 ）处的切线和曲线2109yaxx也相切，则实数a的值为答案及解析：3.474.若函数( )(1)xf xmxe在(0,)上单调递增，则实数m的取值范围是答案及解析：4.1,5. 若幂函数)(xf的图象经过点)21,41(A，则它在A点处的切 线方程为答案及解析：5.0144yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆6.已知函数fx的定义域为15 ,，部分对应值如下表, fx的导函数yfx的图象如图所示 . 下列关于fx的命题：函数fx的极大值点为0，4；函数fx在0 2,上是减函数；如果当1x,t时，fx的最大 值是 2，那么t的最大值为4；当12a时，函数yfxa有4个零点；函数yfxa的零点个数可能为0、1、2、 3、4 个其中正确命题的序号是答案及解析：6. 7.曲线324yxx在点(1,3)处的切线的倾斜角为答案及解析：7.48.直线yexb（e为自然对数的底数）与两个函数( )xf xe，( )lng xx的图象至多有一个公共点，则实数b的取值范围是答案及解析：8. 2,09.已知函数),()(23Rbabxaxxxf的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为121，则 a 的值为x1 0 4 5 fx1 2 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆答案及解析：9.-1 10.已知函数3( )2 ,f xxx xR，若不等式(cos )(sin)0f mf m，当0,2时恒成立，则实数m的取值范围是答案及解析：10.1m11.若直线bxy与函数xy1图象的切线垂直且过切点，则实数b答案及解析：11.略12.过原点向曲线axxy232可作三条切线，则实数a的取值范围是答案及解析：12.略13.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbaxy2(a，b 为常数 )过点)5,2(P，且该曲线在点 P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是 . 答案及解析：13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆14.点 P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是答案及解析：14.15.设二次函数f(x)ax2bxc(a ，b，c 为常数 ) 的导函数为f (x) 对任意x R，不等式 f(x)f (x) 恒成立，则222cab的最大值为答案及解析：15.2 22【答案】16. 已知 M是曲线 yln x 12x2(1 a)x 上任意一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角是均不小于4的锐角，则实数a 的取值范围是_答案及解析：16.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆17.函数12lnyxx的单调减区间为答案及解析：17.(0,) 18.已知函数2( )1bxcf xax（a，b，c R ，a 0 ）是奇函数，若f(x) 的最小值为12，且 f(1) 25，则 b的取值范围是答案及解析：18.(19.已知 f(x)=过 A(1,m) 可作曲线的三条切线，则m的取值范围是 . 答案及解析：19.(-3,-2) 20.设曲线1 exyax在点01()A xy，处的切线为1l，曲线1exxy在点02()B xy，处的切线为2l若存在030,2x，使得12ll，则实数a的取值范围是答案及解析：20.312， 21.从x轴上一点A分别向函数3( )f xx 与函数332( )|g xxx引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y轴相交于点B和点 C ， O 为坐标原点，记OAB 的面积为1S ，OAC 的面积为2S ，则12SS 的最小值为答案及解析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆21.8评卷人得分二、解答题（题型注释）22.（本小题满分16 分）设函数32( )3f xxxax()aR. （1）当9a时，求函数( )f x 的极大值；（2）若函数( )f x 的图象与函数xxxln)(的图象有三个不同的交点，求a的取值范围；（3）设( )|( )|g xf x，当0a时，求函数( )g x 的单调减区间答案及解析：22.（1）当9a时，由2( )3693(3)(1)fxxxxx=0，得3x或1x， 2分列表如下：所以当1x时，函数( )f x取得极大值为 5. 4分（2）由( )lnf xxx ，得323lnxxaxxx，即23lnaxxx ， 6 分令2( )3lnh xxxx ，则12(1)(21)( )23xxh xxxx，列表，得x1(0,)2121(,1)21 (1,)( )fx0 0 ( )f x递减极小值5ln 24递增极大值2 递减 8x(, 1)1 ( 1,3)3 (3,)( )fx0 0 ( )f x递增极大递减极小递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆分由题意知，方程( )ah x 有三个不同的根，故a的取值范围是5(ln 2,2)4. 10分（3）因为22( )36313fxxxaxa，所以当3a时，( )f x 在 R上单调递增；当 03a时，( )0fx的两根为 113a，且 01111133aa，所以此时( )f x 在 (,11)3a上递增，在(11,11)33aa上递减，在(11,)3a上递增；12 分令( )0f x，得0x，或230xxa（* ），当94a时，方程（ *）无实根或有相等实根；当904a时，方程（ *）有两根3924a ， 13分从而当3a时，函数( )g x的单调减区间为(,0)； 14分当934a时，函数( )g x的单调减区间为(,0), (11,11)33aa； 15分当904a时，函数( )g x的单调减区间为(,0),39(11,)3 24aa , 39(11,)3 24aa 16分23.（本小题满分16 分）如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆,PH HA HB HC构成，其底端三点,A B C均匀地固定在半径为3m的圆O上（圆O在地面上），,P H O三点相异且共线，PO与地面垂直 . 现要求点P到地面的距离恰为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆3 3m，记用料总长为LPHHAHBHC，设HAO（1）试将L表示为的函数，并注明定义域；（2）当的正弦值是多少时，用料最省？答案及解析：23.（1）因PO与地面垂直，且AOBOCO，则,AOHBOHCOH是全等的直角三角形，又圆O的半径为 3，所以3tanOH，3cosAHBHCH， 3分又3 33tanPH，所以93 33tancosL， 6分若点,P H重合，则tan3，即3，所以(0,)3，从而93 33tancosL，(0,)3. 7分（2）由（ 1）知93sin3 33tan3 33coscosL，所以23sin13cosL，当0L时，1sin3，11分O P H A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆令01sin3，0(0,)3，当0(,)3时，0L；当0(0,)时，0L；所以函数L 在0(0,)上单调递减，在0(,)3上单调递增， 15分所以当0，即1sin3时， L 有最小值，此时用料最省. 16 分24.（文科学生做）设函数2( )(2)1xaf xax. （1）用反证法证明：函数( )f x不可能为偶函数；（2）求证：函数( )fx在(, 1)上单调递减的充要条件是2a. 答案及解析：24. (1) 假设函数( )f x是偶函数， 2分则( 2)(2)ff，即4413aa，解得2a，4分这与2a矛盾，所以函数( )f x不可能是偶函数. 6分(2) 因为2( )1xaf xx，所以22( )(1)afxx. 8分充分性：当2a时，22( )0(1)afxx，所以函数( )f x在(, 1)单调递减； 10分必要性：当函数( )f x在(, 1)单调递减时，有22( )0(1)afxx，即2a，又2a，所以2a. 13分综合知，原命题成立. 14分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆（说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分）25.（本小题满分16 分）设函数axxxxf233)()aR. （1）当9a时，求函数)(xf的极大值；（2）当3a时，试求函数)(xf的单调增区间；（3）若函数)(xf的图象与函数xxxln)(的图象有三个不同的交点，求a的取值范围. 答案及解析：25.（1）当9a时，由2( )3693(3)(1)fxxxxx=0，得3,1xx， 2分列表如下：所以当1x时，函数( )f x取得极大值为 5. 4分（2）因为2( )36fxxxa，当3a时，方程( )0fx有相异两实根为113a，令( )0fx，得113ax或113ax，7 分所以函数( )f x的递增区间为(,11)3a， (11,)3a. 10 分（3）由( )lnf xxx ，得323lnxxaxxx，即23lnaxxx ， 12分令2( )3lnh xxxx ，则12(1)(21)( )23xxh xxxx，列表，得x1(0,)2121(,1)21 (1,)( )fx0 0 ( )f x递减极小值递增极大值递减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆5ln 242 14分由题意知，方程( )ah x 有三个不同的根，故a的取值范围是5(ln 2,2)4. 16分26.为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD （ AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM 与 HN均为米，6GEMHFN，AE ，EG ，HF，FC的造价均为每米1 万元， GH的造价为每米2 万元，设 MN 与 AB所成的角为（0,4），天桥的总造价（由AE ，EG ，GH ， HF ，FC五段构成， GM 与 HN忽略不计）为W万元（ 1）试用 表示 GH的长；（ 2）求 W关于 的函数关系式；（3）求 W 的最小值及相应的角答案及解析：26.（1）由题意可知MNP= ，故有 MP=60tan ，所以在RtNMT 中，（2）=（3）设（其中，则令 f （）=0 得 12sin =0，即，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆列表f （ ）+ 0 f （）单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有答：排管的最小费用为万元，相应的角27.( 本小题满分16 分) 设函数xxfxaka（0a，且1a1）是定义域为R的奇函数（1）求实数k的值；（ 2）若23)1(f用定义证明：( )fx是单调增函数；设( )( )222xxg xaafx-=+-，求( )g x在)1,+ ?上的最小值答案及解析：27.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆28.(本小题满分16 分)已知函数af(x) = lnxx.(1) 当 a0 时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2) 若 f(x)在1 ，e 上的最小值为32，求实数 a 的值；(3) 若 f(x)0 时，f (x) 0，则 f(x) 在定义域 (0 ，+) 上是增函数，(2)2xaf (x)0x，解得 x=a，则 当 a 1，f (x) 0 f(x)在 1 ，e 上是增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆此时， f(x)min= f(1)=a=1.5 ，而 a=1.5 不符合题意；当 1 a e 时，即 ea 1 时，当 x1 ， a 时，f (x) 0，此时， f(x)是增函数，所以f(x)在 x=a 时，取得极小值且极小值为f( a)=ln(a)+1，由题意得，f( a)=1.5得ae符合题意； 6 分当 a e 时，即 ae 时，f (x) 0 f(x)在1 ，e 上是减函数，此时，mina3f(x)= f(e)1e2，则ea2不符合题意，所以，所求a 的值为ae. (3) 若 f(x)x2在(1 ，+) 上恒成立 2aln xxx在(1 ，+) 上恒成立 axlnx x3在(1， +) 上恒成立， 10 分设 g(x)= xlnx x3，h(x)= g (x)=1+lnx3x2，则2116xh (x)6x0xx(x1) ，h(x) 在(1，+) 上是减函数，h(x) h(1)=2，即 g(x)0 ，g(x) 在(1 ，+ )上是减函数，g(x)110,又1()0f x,()0()fxf x-=12, 由( )fx在,)（0上为减函数可知21xx. 即120xx -16分42.已知函数1( ),( )lnxf xkeg xxk，其中0k若函数( ),( )f xg x在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行（1）求k的值；（2）是否存在直线l，使得l同时是函数( ),( )f xg x的切线？说明理由（3）若直线(0)xa a与)(xf、( )g x的图象分别交于A、B两点，直线(0)yb b与( )h x的图象有两个不同的交点C、D记以A、B、C、D为顶点的凸四边形面积为S，求证：2S答案及解析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆42.（1）( ),( )f xg x与坐标轴的交点分别为(0,),(1,0)k，由1( ),( )lnxfxkeg xxk得1( ),( )xfxkeg xkx，由题意知(0)(1)fg，即1kk，又0k，所以1k 2 分（2）假设存在直线l同时是函数( ),( )f xg x的切线，设l与( ),( )f xg x分别相切于点( ,),( ,ln)mM m eN nn（0n），则:()mmlyeexm或表示为1ln()ynxnn，则1(1)ln1mmenemn，要说明l是否存在，只需说明上述方程组是否有解4 分由1men得mne，代入(1)ln1memn得(1)1memm，即(1)10memm，令()(1)1mh memm，因为2(1)20, (2)30hhe，所以方程(1)10memm有解，则方程组有解，故存在直线l，使得l同时是函数( ),( )fxg x的切线 8 分（3）设00(,)xA x e，00(,ln)B xx，则00lnxABex，设00( )lnxF xex，001( )( )xG xFxex，0201( )0xG xex，即( )G x在(0,)上单调递增，又1()20,(1)102GeGe，故( )G x在(0,)上有唯一零点，设为1(,1)2t，则10tet，因此1,lntettt，当(0, )xt时，( )( )( )0FxG xG t，( )F x在(0, ) t上单调递减；当( ,)xt时，( )( )( )0FxG xG t，( )F x在( ,)t上单调递增，因此1( )( )lntF xF tettt，由于1(,1)2t，1( )2F xtt，则00ln2xABex14 分设1122(,),(,ln)xC x eD xx，则12lnxex，令12lnxexu，则12ln ,uxu xe，21ln( )2uCDxxeuF u，故112 2222SAB CD-16分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆43.设函数( )(1)1xf xx e（ 1）证明：当0x时，( )0f x；（2）设111,1aannnaa ee，证明对任意的正整数n，总有1nnaa答案及解析：43.证明 : （1）( )(1)xxxfxex exe，当0x时，( )0fx，所以函数( )f x在(0,)上单调递减，因此( )(0)0f xf 2 分（2）首先用数学归纳法证明0na当1n时，110a，0na成立假设nk时，0ka那么当1nk时，11ananneea4 分当0x时，由熟悉的不等式1xex得11xex（可以用导数证明）所以111,0annea由可知对任意的正整数n，总有0na由（ 1）知(1)10nana e，所以1nnaanea e由11aannna ee知1annanna ea e，所以1nnaa 10 分44.设0,a函数21( )f xxa. （1）证明：存在唯一实数01(0,)xa，使00()f xx；（2）定义数列11:0,(),nnnxxxf x*nN对（ 1）中的0x，求证 : 对任意正整数n都有2102nnxxx; 答案及解析：44.(1) 解：有321( )10f xxxaxxa令3( )1g xxax由2311( )30,(0)10,()0g xxaggaa所以有且只有一个实数01(0,)xa，使00()f xx；5 分（2）( 数学归纳法 ) 证：2102nnxxx.证明 : 1201210,(,)xxxxxa; 假设2102(1)kkxxxk由21( )f xxa递减性得：2102()()(), (1)kkf xf xf xk即2021(1)kkxxxk又202121022()()()kkkkf xf xf xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆所以1nk时命题成立所以2102nnxxx对*nN成立 . 10 分45. 已知函数xxxfee)(,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明 :)(xf是 R 上的偶函数；(2)若关于x的不等式)( xmf1emx在),0(上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在), 1 0x，使得)3()(0300xxaxf成立 .试比较1ea与1ea的大小，并证明你的结论. 答案及解析：45. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆46.（本小题满分16 分）已知函数( )()()f xx xaxb ，其中 0ab（1）设函数( )yf x 在点( )A s f s，( )B t f t，处取得极值，且st求证： 0satb ；线段AB的中点 C 在曲线( )yf x 上；（2）若22ab，问：过原点且与曲线( )yf x 相切的两条直线是否垂直，并说明理由答案及解析：46.1）依题意，s，t()st 为方程2( )32()0fxxab xab的两个实根，而(0)0fab，( )()0faa ab，( )()0fbb ba，故( )0fx在区间 (0)a，和 ()a b，内各有一个实根，所以 0satb ；由得，2()3abst，3abst，因为3322342( )( )()()()()273f sf tstabstab stabab ab ，321()()23273stabffabab ab ，所以( )( )f sf t22stf，即证线段AB的中点 C 在曲线( )yf x 上；（ 2）过原点且与曲线( )yf x 相切的两条直线不垂直，理由如下：设过曲线( )yf x 上一点00P xy，的切线方程为：2000032()()yyxab xabxx，因为切线过原点，所以2000032()yxxab xab，又0000()()yxxaxb ，所以200032()xxab xab000()()xxa xb ，解得00x，或02abx，当00x时，切线的斜率为ab ；当02abx时，切线的斜率为2()4abab；因为 0ab，且2 2ab，所以两条切线斜率之积为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆ab22222()1()()()2(1)1144abababab abababab，所以过原点且与曲线( )yf x 相切的两条直线不垂直47.（本小题满分16 分）设a是实数，函数f(x) ax2(a1)x2lnx（1）当a1 时，求函数f(x) 的单调区间；（2）当a2 时，过原点O作曲线yf(x) 的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数yg(x) 在点P(x0，y0) 处的切线方程为l：yh(x) ，当xx0 时，若在D内恒成立，则称点P为函数yg(x) 的“巧点”当a14时，试问函数yf(x) 是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由答案及解析：47.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆48.已知函数 f(x)lnx mx（m R）（1）若曲线y f(x) 过点 P(1， 1) ，求曲线yf(x)在点 P处的切线方程；（2）求函数f(x)在区间 1 ，e 上的最大值；（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证： x1x2e2答案及解析：48.【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆函数的最小值大于零，即可得证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆（3）不妨设120xx 因为120fxfx，所以1122ln0ln0xmxxmx ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆49. 已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR. (1) 若 a0 时，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2) 若 a0，且曲线yf(x)在点 A、B(A、B不重合 ) 处切线的交点位于直线x2 上，证明： A、B两点的横坐标之和小于4；(3) 如果对于一切x1、x2、x30,1，总存在以f(x1) 、f(x2) 、 f(x3) 为三边长的三角形试求正实数a 的取值范围答案及解析：49.(1) 函数 f(x) 的导函数f (x) 3x22axa23(x a) 3ax. 因为 a 0，由 f (x) 0，解得3ax a. 所以函数yf(x)的单调递减区间为3aa.(3分) (2) 当 a0 时， f(x)x32. 设在点 A(x1，x312) ， B(x2，x322) 处的切线交于直线x2 上一点 P(2， t) 因为 y 3x2，所以曲线yf(x) 在点 A处的切线斜率为k3x21，所以，在点A处的切线方程为y(x312)3x21(x x1) 因为切线过点P，所以 t (x312) 3x21(2 x1) ，即 2x316x21(t 2) 0. 同理可得x326x22(t 2)0.(5分) 两式相减得2(x31 x32) 6(x21x22) 0. 即(x1x2)(x21x1x2x22) 3(x1x2)(x1x2) 0. 因为 x1x20，所以 x21x1x2x223(x1x2) 0. 即(x1x2)2x1x23(x1x2) 0.(7 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆单调递增50.(本小题满分16 分) 已知函数( )lnf xxax，a为常数 . （1）若函数( )f x在1x处的切线与x轴平行，求a的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆（2）当=1a时，试比较fm与1fm的大小；（3）若函数( )f x有两个零点1x、2x，试证明212x xe. 答案及解析：50.（1）1( )fxax，由题(1)1=0fa，1a4 分（2）当=1a时，( )lnfxxx，11( )1xf xxx，当01x时，( )0fx，( )f x单调递增，当1x时，( )0fx，( )f x单调递减由题，令1111ln(ln)2lnh mfmfmmmmmmmm，则2222212111=0mmmh mmmmm7分又10h，当01m时，0h m，即1fmfm；当=1m时，=0h m1=fmfm；当1m时，0h m即1fmfm10分（3）11ln0xax，22ln0xax，1212lnlnxxa xx，1212lnlnxxa xx，1212lnln=xxaxx，12分欲证明212x xe，即证12lnln2xx，因为1212lnlnxxa xx，所以即证122axx，所以原命题等价于证明121212lnln2xxxxxx，即证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆1212122lnxxxxxx12xx，令12=xtx，则1t，设21ln1tg ttt1t，222114011tgtttt t，所以g t在1 +，单调递增，又因为1 =0g，所以10g tg，所以21ln1ttt，所以212x xe16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 41 页学而不思则惘，思而不学则殆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 41 页