学而不思则惘，思而不学则殆第一节整数的运算教学目标1.理解整数的四则运算的定义。 2. 掌握整数运算性质和运算定律。 3. 灵活运用运算性质和运算定律进行整数的混合运算。教学过程整数的运算含义的理解及运算性质的掌握是本节的重点。教学过程一、整数的运算（一）整数加法1.基本定义一般来说，在一个集合F 上定义一个二元关系“+”，满足：（1）交换律：对任意的 a , b F ，a + b = b + a F；（2）结合律：对任意的 a , b , c F ，a + (b + c) = (a + b) + c；（3）单位元：存在一个元素 0 F ，满足对任意的 a F ，a + 0 = 0 + a = a；（4）逆元：对任意的 a F ，存在一个元素 (-a) F ，满足 a + (-a) = 0。“ +”称作定义在集合F 上的加法。“ +”是加号，加号前面和后面的数是加数，“ =”是等于号，等于号后面的数是和。100（加数） + （加号） 300（加数） = （等于号） 400（和）定义 1（序数理论）：如果数a 与数 b 都是自然数，在自然能数列中的数a 之后，在数出 b 个数来，恰好对应于自然数列中的数c，那么数 c 就叫做 a 与 b 的和。求两个数和的运算叫做加法。c 是 a 与 b 的和，记作： a+b=c, 读作： a 加 b 等于 c,a 和 b 都叫做加数，符号 “ +”叫做加号。定义 2（基数理论）：设A、B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是a和 b,如果集合 A 与 B 合并所得的并集是C，那么并集C的基数 c 就叫做 a 和 b 的和，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆求两个数和的运算叫做加法。c 是 a 与 b 的和，记作： a+b=c, 读作： a 加 b 等于 c,a 和b 都叫做加数，符号“ +”叫做加号。2.主要性质（1）加法交换律：a+b=b+a 例： 8+1=1+8=9 （2）加法结合律 :a+b+c=a+(b+c) 例： 7+4+1=7+（4+1 ）= （7+4 ）+1=12 （3）推广：若干数加上若干数的加法，可以任意交换，任意结合，和不变。3.和的变化规律如果 a+b=c, 那么 (a+m)+b=c+b 如果 a+b=c, 那么 (a-m)+b=c-b 如果 a+b=c, 那么 (a+m)+(b-m)=c 4.加法表5.加法法则数位对齐，个位加起，满十进一。6.运算符号 “ +”“-” 的由来四则运算种种符号是从十五世纪才开始逐渐使用的。德国数学家魏德曼在1489年他的著作简算与速算一书中首先使用“ +”“-” ，他认为，一条横线与一条竖线合并在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号“ +”中去掉一竖，就表示拿去（减少）的意思。在 1514 年荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后经法国数学家韦达的宣传和提倡，才得以普及，直到1630 年才得到大家公认。（二）整数减法1.基本定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆减法是四则运算之一，从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法;已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。表示减法的符号是- ，读作减号。用来计算减量! 算式名称减号 - 是减号，减号前面的数是被减数，减号后面的数是减数，= 是等于号，等于号后面的数是差。10000( 被减数 ) -( 减号 ) 6000( 减数) =( 等于号 ) 4000( 差) 减法定义的理解设 A 是一个有限集合（基数为a）， B 是 A 的一个子集（基数为b），从集合 A中取出集合B 的所有元素以后，得到集合C（基数为 c）是集合 A 与集合 B 的差集。因此，已知a 与 b，求它们的差c 的运算，就是求集合A 与集合 B（B 是 A 的子集）的差集的基数。注：整数减法在非负整数集中不是总是可以施行的，但是，如果两个数的差存在，那么它一定是唯一的。2.性质（1）减去一个数，等于加这个数的相反数。（2）a-(b+c)=a-b-c （3）a-(b-c)=a-b+c (4) 若干数的和减去若干数的和3.差的变化规律 (1) 如果 a-b=c, 那么（ a+m ）-b=c+m (2) 如果 a-b=c, 那么（ a-m ）-b=c-m (3) 如果 a-b=c, 那么(a+m)-(b+m)=c 如果 a-b=c, 那么 (a-m)-(b-m)=c 4 减法口诀表10-1=9 10-2=8 9-1=8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆10-3=7 9-2=7 8-1=7 10-4=6 9-3=6 8-2=6 7-1=6 10-5=5 9-4=5 8-3=5 7-2=5 6-1=5 10-6=4 9-5=4 8-4=4 7-3=4 6-2=4 5-1=4 10-7=3 9-6=3 8-5=3 7-4=3 6-3=3 5-2=3 4-1=3 5.减法的运算法则数位对齐，个位减起，借一当十。6.加减法的关系加减法的验算（三）整数乘法1.基本定义定义的第一种理解 b （大于 1 的整数）个相同加数a 的和 c 叫做 a与 b 的积。求两个数积的运算叫做乘法。记作a b=c ，或 a.b=c 。也可以记作ba=c, 或 b.a=c 读作 “b 乘 a 等于 c” 或“a 乘 b 等于 c”补充定义当 b=1 时， a1=a 当 b=0 时， a 0=0 定义的第二种理解设有 b 个没有公共元素的等价集合A1A2.Ab, 它们的基数是a，它们并集 C 的基数为 c，那么 c 叫做 a 与 b 的积。求两个数积的运算叫做乘法。意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆35 表示 5 个 3 相加或 3 个 5 相加。名称 是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，= 是等于号，等于号后面的数叫做积。10(因数) (乘号) 200( 因数 ) =( 等于号 ) 2000( 积) 因数也叫乘数。2.运算性质整数的乘法运算满足:交换律，结合律，分配律，消去律。1 乘法交换律： ab=ba ，注 :字母与字母相乘，乘号不用写，或者可以写成 。2 乘法结合律： (ab)c=a(bc) ，3 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc。4乘法消去律：若 AX=AY，且 AO，则 X=Y 5若干数的和与一个数的积6若干数的和与若干数的和的积7若干数的差与一个数的积3.积的变化规律（1）如果 a b=c ，那么（ an）b=c n （2）如果 a b=c ，那么（an）（b n）=c 4.乘法的运算法则（1）表内乘法小九九 的由来九九乘法歌诀，又常称为小九九 。现在学生学的小九九 口诀，是从 一一得一 开始，到 九九八十一 止，而在古代，却是倒过来，从九九八十一 起，到 二二得四 止。因为口诀开头两个字是九九 ，所以，人们就把它简称为九九。大约到13、14 世纪的时候才倒过来像现在这样一一得一九九八十一 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆中国使用 九九口诀 的时间较早。在荀子、管子、淮南子、战国策等书中就能找到三九二十七 、六八四十八 、四八三十二 、六六三十六 等句子。由此可见，早在春秋、战国 的时候，九九乘法歌诀就已经开始流行了。大九九有81 句，小九九45 句。（2）多位数乘法及积的位数两个因数的积的位数，等于这两个因数的位数的和，或者比这个和少1. 5.符号 “ =”“”“” 的由来16 世纪英国皇家法庭医生罗伯特。雷克达在进行数学研究时,经常碰到两个数相等而无法标记 ,就决心创造一个符号.他觉得 世界上再也没有两条平行而又相等的直线更相同了 ,于是就用两条平行线来表示两个相等的数,这就产生了 = 号. 18 世纪,英国数学家欧德莱认为乘法也是增加数目,但与加法不同 .于是他把 +号斜写成 号,表示数学中增加数目的另一种运算法.而学者哈纳在算帐时遇到要把一个整数分成数份 .因为没有可用的符号,于是就用一条横线分开两个圆点来表示这种算法,这就是 号. 符号 “ 。”“：”“ ”“【】”“”“”，十七世纪哈利阿。：，莱布尼兹【】瓦里士 韦达（四）整数除法1.基本定义除法是四则运算之一。已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。若ab=c （b0 ）,用积数 c 和因数 b 来求另一个因数a 的运算就是除法，写作 c/b，读作 c 除以 b（或 b 除 c）。其中， c 叫做被除数， b 叫做除数，运算的结果a叫做商。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆为什么不再区分“ 等分除 ”“包含除 ”（1）把 12 根香蕉，平均分成2 份，得出每份6 根，这一分物活动用算式表示为：12 2=6 ，这就是所谓的 “ 等分除 ” 。（2）把 12 根香蕉，每4 根发一盘，求需要几个盘子，这一分物活动用算式表示为：12 4=3 这就是所谓的 “ 包含除 ” 。0 不能作除数的原因1.如果除数是0，被除数是非0 的自然数，则没有任何一个数（商）与（0）相乘能得到一个非0 的自然数，它们相乘只能得到0，在这种情况下，商是不存在的。2.如果被除数和除数都等于0，则有许多数（商）与0（除数）相乘，结果都得到 0（被除数），在这种情况下，商是不唯一的。所以 0 不能作除数。注：整数除法在非负整数集中不是总是可以施行的，但是，如果两个数的商存在，那么它一定是唯一的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆 1. （a b）.b=a 2.(a.b)b=a 2.有余数的除法已知两个数 a、b（b 是自然数），要求两个整数q、r 满足以下条件： a=bq+r,并且 rb, 这种运算叫做有余数的除法。记作 ab=q( 余 r) a 叫做被除数， b 叫做除数， q 叫做商， r 叫做余数。a-b-b-b-.-b=r 3.除法的运算性质（1）a (b.c)=abc （2）a (b c)=a b.c （3）(a.b) c=(a c).b （4）(a b) c=(a c) b (5) 两个数的差除以一个自然数（6）若干个数的和除以一个自然数4.除法的运算法则及商的位数两个数的商的位数，等于被除数与除数的位数差，或者比这个差多一。5.商的变化规律（1）如果 a b=q, 那么（ a n）b=q n 如果 ab=q, 那么（ a n）b=q n （2）如果 a b=q, 那么 a (b n)=q n 如果 ab=q, 那么 a(b n)=q n （3）如果 a b=q, 那么（ a n）(b n)=q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆如果 a b=q, 那么（ a n）(b n)=q （4）如果 a b=q （余 r ）那么（a n）(b n)=q （余 r n）（a n）(b n)=q( 余 r n) 二、估算对事物的数量或计算结果作出粗略的判断或预测的过程叫做估算。作用：对运算结果经行预测对计算后结果的考查1.根据已知数据的最高位数字和最低位数字估算1 547+4 084-2 369 3 094 507 2.根据已知数据的部分高位估算3 543+446+55 3 458 23 3.利用四舍五入法进行估算8732 639 48327 623 三、简便计算1.改变运算顺序78+45+35+22 723- （420-277 ）5600 （25 7）2.把已知数凑成整十整百。的数560 125 573-99 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆3.应用数的分解的方法45 14 125 42 25 28 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页