初中数学七年级下册易错题相交线与平行线1. 未正确理解垂线的定义1下列判断错误的是（）. A.一条线段有无数条垂线；B.过线段 AB 中点有且只有一条直线与线段AB 垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90，则这两条直线互相垂直；D. 若两条直线相交，则它们互相垂直. 错解 ：A 或 B 或 C. 解析： 本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直. 正解： D. 2. 未正确理解垂线段、点到直线的距离2下列判断正确的是（）. A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 错解 ：A 或 B 或 C. 解析： 本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义. A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的. B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的；C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度. 正解： D. 3. 未准确辨认同位角、内错角、同旁内角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页3如图所示，图中共有内错角（）. A.2 组；B.3 组；C.4 组；D.5 组. 错解 ：A. 解析： 图中的内错角有AGF 与 GFD， BGF 与 GFC， HGF 与 GFC 三组 .其中HGF 与 GFC 易漏掉。正解： B. 4. 对平行线的概念、平行公理理解有误4下列说法：过两点有且只有一条直线；两条直线不平行必相交；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的有（ ）. A.1 个；B.2 个；C.3 个；D.4 个. 错解 ：C 或 D. 解析： 平行线的定义必须强调“在同一平面内”的前提条件，所以是错误的，平行公理中的“过一点”必须强调“过直线外一点”，所以是错误的，是正确的. 正解： B. 5. 不能准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行5如图所示，下列推理中正确的有（）. 因为 1 4，所以 BCAD ； 因为 2 3，所以 AB CD；因为 BCD ADC 180，所以AD BC；因为 1 2 C180，所以BCAD. A.1 个；B.2 个；C.3 个；D.4 个. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页错解 ：D. 解析： 解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“” “” “” ，只有推理正确. 正解： A. 6. 混淆平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件6如图所示，直线， 170，求 2 的度数 . 错解 ：由于，根据内错角相等，两直线平行，可得1 2，又因为 170，所以 270. 解析： 造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆. 在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2） 性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系. 正解： 因为（已知），所以 1 2（两直线平行，内错角相等），又因为 170（已知），所以 270. 7. 对命题这一概念的理解不透彻7判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它的题设和结论. （ 1）内错角相等； （2）对顶角相等； （3）画一个60的角 . 错解 ： （1） （2）不是命题， （3）是命题 . 解析： 对于命题的概念理解不透彻，往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题，正确认识命题这一概念，关键要注意两点，其一必须是一个语句，是一句话；其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”. 正解：（1）是命题 . 这个命题的题设是：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错角相等. 这个命题是一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页个错误的命题，即假命题. （2）是命题 . 这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等. 这个命题是一个正确的命题，即真命题. （ 3）不是命题，它不是判断一件事情的语句. 8. 忽视平移的距离的概念8 “如图所示，AB C是 ABC 平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段 AA ”这句话对吗？错解 ：正确 . 解析：平移的距离是指两个图形中对应点连线的长度，而不是线段， 所以在这个平移过程中，平移的距离应该是线段AA 的长度 . 正解： 错误 . 第六章平面直角坐标系1. 不能确定点所在的象限1点 A的坐标满足，试确定点A 所在的象限 . 错解 ：因为，所以，所以点A 在第一象限 . 解析： 本题出错的原因在于漏掉了当，时，的情况， 此时点 A 在第三象限. 正解： 因为，所以为同号， 即，或，. 当，时，点 A 在第一象限；当，时，点 A 在第三象限 . 2. 点到 x 轴、 y 轴的距离易混淆2求点 A（-3，-4）到坐标轴的距离. 错解 ：点 A（-3，-4）到轴的距离为3，到轴的距离为4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页解析： 错误的原因是误以为点A（）到轴的距离等于，到轴的距离等于，而事实上，点A（）到轴的距离等于，到轴的距离等于，不熟练时，可结合图形进行分析 . 正解： 点 A（-3，-4）到轴的距离为4，到轴的距离为3. 第八章二元一次方程组1. 不能正确理解二元一次方程组的定义1已知方程组：，正确的说法是（）. A.只有是二元一次方程组；B.只有是二元一次方程组；C.只有是二元一次方程组；D. 只有不是二元一次方程组. 错解 ：A 或 C. 解析： 方程组是二元一次方程组，符合定义，方程组是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组. 正解： D. 2. 将方程相加减时弄错符号2用加减法解方程组. 错解 ：得，所以，把代入，得，解得.所以原方程组的解是. 错解解析：在加减消元时弄错了符号而导致错误. 正解： 得，所以，把代入， 得，解得.所以原方程组的解是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页3. 将方程变形时忽略常数项3利用加减法解方程组. 错解 ： 2得，解得. 把代入得，解得. 所以原方程组的解是. 错解解析：在 2这一过程中只把左边各项都分别与2 相乘了，而忽略了等号右边的常数项4. 正解： 2得，解得. 把代入得，解得. 所以原方程组的解是. 4. 不能正确找出实际问题中的等量关系4两个车间，按计划每月工生产微型电机680 台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120，第二车间完成计划的115，结果两个车间一共生产微型电机798 台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？若设两车间上个月各生产微型电机台和台，则列方程组为（）. A.；B.；C. D. 错解 ：B 或 D. 解析： 错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第一车间实际生产台数第精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页二车间实际生产台数798 台； （2）第一车间计划生产台数第二车间计划生产台数680 台 . 正解： C. 第九章不等式与不等式组1. 在运用不等式性质3 时，未改变符号方向1利用不等式的性质解不等式：. 错解 ：根据不等式性质1 得，即. 根据不等式的性质3，在两边同除以-5，得. 解析： 在此解答过程中，由于对性质3 的内容没记牢，没有将“”变为“”，从而得出错误结果 . 正解： 根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得，根据不等式的性质 3，在不等式的两边同时除以-5，得. 2. 利用不等式解决实际问题时，忽视问题的实际意义，取值时出现错误2某小店每天需水1m3，而自来水厂每天只供一次水，故需要做一个水箱来存水. 要求水箱是长方体，底面积为0.81 ，那么高至少为多少米时才够用？（精确到0.1m）错解 ：设高为m 时才够用，根据题意得. 由. 要精确到 0.1，所以. 答：高至少为1.2m 时才够用 . 解析： 最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，水箱存水量不得小于1m3，如果水箱的高为时正好够，少一点就不够了. 故最后取近似值一定要大于，即取近似值时只能入而不能舍 . 正解： 设高为m 时才够用，根据题意得. 由于，而要精确到0.1，所以. 答：水箱的高至少为1.3m 时才够用 . 3. 解不等式组时，弄不清“ 公共部分 ” 的含义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页3解不等式组. 错解 ：由得，由得，所以不等式组的解集为. 错解解析： 此题错在对 “公共部分” 的理解上， 误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集） . 实质上，和没有“公共部分” ，也就是说此不等式组无解. 注意： “公共部分”就是在数轴上两线重叠的部分. 正解： 由得，由得，所以不等式组无解. 第十章数据的收集、整理与描述1. 全面调查与抽样调查选择不当1调查一批药物的药效持续时间，用哪种调查方式？错解 ：全面调查 . 解析： 此调查若用全面调查具有破坏性，不宜采用全面调查. 正解： 抽样调查 . 2. 未正确理解定义22006 年 4 月 11 日文汇报报道：据不完全统计，至今上海自愿报名去西部地区工作的专业技术人员和管理人员已达3600 多人，其中硕士、博士占4，本科生占79，大专生占 13. 根据上述数据绘制扇形统计图表示这些人员的学历分布情况. 错解 ：如下图所示：解析： 漏掉其他人员4，扇形表示的百分比之和不等于1，正确的扇形统计图表示的百分比之和为1. 正解： 如下图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页3. 对频数与频率的意义的理解错误3某班组织25 名团员为灾区捐款，其中捐款数额前三名的是10 元 5 人， 5 元 10 人，2 元 5 人，其余每人捐1 元，那么捐10 元的学生出现的频率是_. 错解 ：捐 10 元的 5 人，. 解析： 该题的错误是因为将510 5 作为总次数， 实际上应是25 为总次数， 这其实是对频率概念错误理解的结果. 正解： 0.2 二元一次方程组应用探索二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例 1 一个两位数， 比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：解方程组109101027xyxyyxxy，得14xy，因此，所求的两位数是14点评： 由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程一般地，与十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数x y 10x+y 10x+y=x+y+9 新两位数y 10y+x 10y+x=10x+y+27 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“ 元” ，然后列多元方程组解之二、利润问题例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x 元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x 元，获利 (0.9x-y) 元，因此得方程0.9x-y=20%y ；打八折时的卖出价为 0.8x 元，获利 (0.8x-y) 元，可得方程0.8x-y=10. 解方程组0.920%0.810xyyxy，解得200150xy，因此，此商品定价为200 元点评： 商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价 -进价；二是：利润=进价 利润率（盈利百分数）特别注意 “ 利润 ” 和“ 利润率 ” 是不同的两个概念三、配套问题例 3某厂共有120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数 2=每天生产的螺母数 1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得120502201xyxy，解之，得20100xy故应安排 20 人生产螺栓，100 人生产螺母点评： 产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“ 二合一 ” 问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即ab甲产品数乙产品数；（2）“ 三合一 ” 问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页数应满足的相等关系式是：abc甲产品数乙产品数丙产品数四、行程问题例 4在某条高速公路上依次排列着A、B、C 三个加油站，A 到 B 的距离为120 千米， B到 C 的距离也是120 千米分别在A、 C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y 千米 /时，则3120120xyxy，整理，得40120xyxy，解得8040xy，因此，巡逻车的速度是80 千米 /时，犯罪团伙的车的速度是40 千米 /时点评： “ 相向而遇 ” 和“ 同向追及 ” 是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“ 相向而遇 ” 时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“ 同向追及 ” 时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离五、货运问题典例 5 某船的载重量为300 吨，容积为1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨的体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析： “ 充分利用这艘船的载重和容积” 的意思是 “ 货物的总重量等于船的载重量” 且 “ 货物的体积等于船的容积” 设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则300621200xyxy，整理，得3003600xyxy，解得150150xy，因此，甲、乙两重货物应各装150 吨点评： 由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此， 解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等六、工程问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得41505200125yxyx，解得337518xy. 点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“ 工作量 =工作时间 工作效率 ” 以及它们的变式“ 工作时间 =工作量 工作效率，工作效率=工作量 工作时间 ” 其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页