学习必备欢迎下载第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 关于 “ 属于 ” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合A 记作aA ，相反， a 不属于集合A 记作a? A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x?R| x-32 或 x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含 ” 关系 子集注意：有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 B A 2“ 相等 ” 关系 (5 5 ，且 55 ，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=- 1,1 “ 元素相同 ”结论：对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时 ,集合 B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集 :如果 A B,且 A1 B 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作A B(或 B A) 如果A B, B C ,那么A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作 ”A交 B”)，即 AB=x|x A，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作 ”A并 B”)，即 A B=x|x A，或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A = , A B = B A，AA = A, A= A ,AB = B A 4、全集与补集（1）补集：设S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即），由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作：CSA 即 CSA =x | x? S 且 x?A S CsA A （2）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。（3）性质： CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA) A=U 二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ， xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意： 2 如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 P(x ，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x， y)均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线 ),也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A 到 B 的映射，如果aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则f 是确定的；对应法则有“ 方向性 ” ，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本P24-25 ）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x) ，(xA) 称为 f、g 的复合函数。例如 : y=2sinX y=2cos(X2+1) 7函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2) ，那么就说f(x) 在区间 D 上是增函数。 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1) f(x2) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2 时，总有f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2 D，且 x11，且 *当 是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的 次方根用符号表示式子叫做根式（ radical ），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（ radicand ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载当 是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（ 0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作。注意：当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） ；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential ），其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 图象特征函数性质函数图象都在y 轴右侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载函数的定义域为（0， ）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 （三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1， 1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根， 亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数 有零点3、函数零点的求法：求函数的零点：1 （代数法）求方程的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数1） 0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点2） 0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0，方程 无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页