学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,y,z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式. 例如：代数式 x+y ，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, yx11，xyzxzxyzzyxyzyx.都是对称式 . 其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式. 2.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,y,z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式. 例如：代数式a2(bc)+b2(ca)+c2(a b),2x2y+2y2z+2z2x,abccba1111，（xy+yz+zx ）()111zyx，222222222111bacacbcba. 都是轮换式 . 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质1.含两个变量x 和 y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍 . 2.对称式中， 如果含有某种形式的一式，则必含有， 该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x,y,z 的齐二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2,z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz,zx 两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中 m,n 是常数 . 3.轮换式中， 如果含有某种形式的一式，则一定含有， 该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载例如：轮换式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有因式ab 一项 ,必有同型式bc 和ca 两项 . 4.两个对称式 （轮换式） 的和， 差，积， 商（除式不为零） ，仍然是对称式 （轮换式） . 例如： x+y, xy 都是对称式，x+yxy，（x+y）xy，xyyx等也都是对称式. xy+yz+zx 和zyx111都是轮换式，zyx111xy+yz+z ，（zyx111） （xy+yz+z ）. 也都是轮换式. 二、例题例 1.计算：（xy+yz+zx ）()111zyxxyz()111222zyx. 分析：（ xy+yz+zx ） ()111zyx是关于 x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用 xy 分别乘以x1，y1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式（zxyyzxxyz）（ z+xy）+(y+z+x) (zxyyzxxyz) 2x+2y+2z. 例2.已知： a+b+c=0, abc 0. 求代数式222222222111bacacbcba的值分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式 . 解：2221cba222)(1babaab21，222222222111bacacbcbaab21bc21ca21abcbac20. 例3.计算： （a+b+c）3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载分析：展开式是含字母a,b,c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法 . 例4.解：设（ a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc. （m,n,p 是待定系数）令a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1；令a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得2m+2n=8 ；令a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得3m+6n+p=27. 解方程组27638221pnmnmm得631pnm（ a+b+c）3a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc. 例5.因式分解：a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)；（x+y+z）5（ y+zx）5（ z+x y）5（ x+yz）5. 解：当a=b 时， a3(bc)+b3(ca)+c3(ab) 0. 有因式ab 及其同型式bc,ca. 原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（ab）(bc)(ca)，可得一次齐次的轮换式a+b+c. 用待定系数法：得a3(bc)+b3(ca)+c3(ab) m(a+b+c)（ab） (bc)(ca) 比较左右两边a3b 的系数，得m=1. a3(bc)+b3(ca)+c3(ab) (a+b+c)（ab）(bc)(ca). x=0 时， （ x+y+z）5（ y+zx）5（ z+xy）5（ x+yz）50 有因式x，以及它的同型式y 和 z. 原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式. 用待定系数法：可设（ x+y+z ）5（ y+zx）5（ z+x y）5（ x+yz）5 xyzm(x+y+z)+n(xy+yz+zx). 令x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得80=m+n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载令x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得480=6m+n. 解方程组480680nmnm得080nm. （ x+y+z ）5（ y+zx）5（ z+xy）5（ x+y z）580xyz(x+y+z). 三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x3+x2y2xy2,试接着写完全代数式2.已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a3b(ab)，试接着写完全代数式_. 3.利用对称式性质做乘法，直接写出结果：（ x2y+y2z+z2x） （xy2+yz2+zx2）. （ x+y+z ） （x2+y2+z2xy yzzx）. 4. 计算：（x+y）5. 5.求（ x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以 x+y+z 所得的商 . 6.因式分解：ab(ab)+bc(b c)+ca(ca)；(x+y+z)3(x3+y3+z3)；（ab+bc+ca）(a+b+c)abc；a(bc)3+b(ca)3+c(ab)3. 7.已知：abccba1111. 求证： a,b,c 三者中，至少有两个是互为相反数. 8.计算：bcacabaa22cababcbb22abcbcacc22. 9.已知： S21（ a+b+c） . 求证：16)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba3S（ Sa）(Sb)(Sc). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载10.若 x,y 满足等式x=1+y1和 y=1+x1且 xy 0，那么 y 的值是（）（A）x1.（B）1x.（C）x.（D）1+x. 参考答案1.y3+z3+y2z+z2x2y2z2z2x 2. b3c+c3d+d3a(bc) (c d) (da) 3.x3+y3+z33xyz 4.设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3), a=1,b=5,c=10. 5.设原式（ x+y+z） a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx) ,a=0,b=1. 6.当 a=b 时，原式 0，原式 m(a+b)(b+c)(c+a) m=1 7.由已知等式去分母后，使右边为0，因式分解8.19.一个分式化为S（Sa） (Sb)(Sc) 10. 选C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页