学习必备欢迎下载高二数学专题七二项式定理1(12x)3(13x)5的展开式中x 的系数是 () A 4 B 2 C2 D4 答案 C 解析 (12 x)3(13x)5(16x12x8x x)(13x)5，故(12 x)3(13x)5的展开式中含x 的项为 1C35(3x)312xC05 10x12x2x，所以 x 的系数为2. 2在 2x31x2n(nN*)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 () A3 B5 C8 D10 答案 B 解析 Tr1Crn(2x3)nr1x2r2nr Crnx3n5r. 令 3n5r0，0rn，r、nZ. n 的最小值为5. 3在 (1x3)(1x)10的展开式中x5的系数是 () A 297 B 252 C297 D207 答案 D 解析 x5应是 (1x)10中含 x5项与含 x2项其系数为C510C210(1)207. 4在 x21xn的展开式中，常数项为15，则 n 的一个值可以是() A3 B4 C5 D6 答案 D 解析 通项 Tr 1 Cr10(x2)nr(1x)r(1)rCrnx2n3r，常数项是15，则 2n3r，且 Crn15，验证 n6 时， r4 合题意，故选D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载5若 (12x)6的展开式中的第2 项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 () A.112x15B.16 x15C.112x23D.16 x25答案 A 解析 由T2T1T2T3得C162x1C162xC26(2x)2112x15. 6在32x1220的展开式中，系数是有理数的项共有() A4 项B5 项C6 项D7 项答案 A 解析 Tr1Cr20(32x)20r12r 22r (32)20rCr20 x20r，系数为有理数，(2)r与 220r3均为有理数，r 能被 2 整除，且20r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20r 是 3 的倍数， 0r 20. r2,8,14,20. 7(xy)7的展开式中，系数绝对值最大的是() A第 4 项B第 4、5 两项C第 5 项D第 3、4 两项答案 B 解析 (xy)n的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n1 项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n 1项，中间两项的二项式系数最大，而(xy)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5 两项8若 x31x2n展开式中的第6 项的系数最大，则不含x 的项等于 () A210 B120 C461 D416 答案 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载解析 由已知得，第6 项应为中间项，则n10. Tr1Cr10 (x3)10r1x2rCr10 x305r. 令 305r0，得 r6.T7 C610210. 9已知等差数列an的通项公式为an3n 5，则(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中含 x4项的系数是该数列的() A第 9 项B第 10 项C第 19 项D第 20 项答案 D 解析 (1x)5(1 x)6(1x)7展开式中含x4项的系数是C45 11C46 12C47 135153555， 由 3n555 得 n20，故选 D. 10若 n 为正奇数，则7nC1n 7n1C2n 7n2 Cn1n 7 被 9 除所得的余数是() A0 B2 C7 D8 答案 C 解析 原式 (7 1)n Cnn 8n 1 (9 1)n 1 9n C1n 9n1 C2n 9n2 Cn1n 9(1)n1(1)n1，n 为正奇数， ( 1)n1 2 9 7，则余数为7. 11(2x)8展开式中不含x4项的系数的和为() A 1 B0 C1 D2 答案 B 解析 (2x)8的通项式为Tr1Cr828r(x)r(1)r 28rCr8xr2， 则 x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(21)8 1，故不含x4项的系数之和为0，故选 B. 12 (1x)2(1x)5的展开式中x3的系数为 _答案 5 解析 解法一：先变形(1x)2(1x)5(1x)3 (1x2)2 (1x)3(1x42x2)，展开式中 x3的系数为 1(2) C13(1)5；解法二： C35(1)3C12 C25( 1)2C22C15(1)5. 13.(1xx2)(x1x)6的展开式中的常数项为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载答案 5 解析 (1xx2) x1x6 x1x6x x1x6x2x1x6，要找出x1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数， Tr1Cr6x6r(1)rxrCr6(1)rx62r，令 62r0， r3，令 62r 1，无解令 62r 2，r4. 常数项为 C36C46 5. 14若(12x)2011a0a1xa2x2 a2010x2010a2011x2011(x R)，则(a0a1)(a0a2)(a0a3) (a0a2010)(a0a2011)_.(用数字作答 ) 答案 2009 解析 令 x0，则 a01. 令 x1，则 a0a1a2a2010a2011(12)2011 1. (a0a1)(a0a2)(a0a3)(a0a2010)(a0a2011) 2010a0(a0a1a2a3a2011) 201012009. 15将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01 三角数表从上往下数，第1 次全行的数都为1 的是第1 行，第 2 次全行的数都为1 的是第 3 行，第n次全行的数都为1 的是第 _行；第 61 行中 1 的个数是 _答案 2n132 解析 用不完全归纳法，猜想得出16m、nN*，f(x)(1x)m(1x)n展开式中x 的系数为19，求 x2的系数的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载及此时展开式中x7的系数解析 由题设 mn19，m，nN*. m1n18，m2n17，m18n1. x2的系数 C2mC2n12(m2m)12(n2n)m219m 171. 当 m9 或 10 时， x2的系数取最小值81，此时 x7的系数为 C79C710156. 17已知在 (3x123x)n的展开式中，第6 项为常数项(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解析 (1)Tr1Crn (3x)nr (123x)rCrn (x13)nr (12 x13)r(12)r Crn xn2r3. 第 6 项为常数项，r5 时有n2r30，n10. (2)令n2r32，得 r12(n6) 2，所求的系数为C210(12)2454. (3)根据通项公式，由题意得：102r3Z0r10rZ令102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r103k2532k. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载rZ，k 应为偶数， k 可取 2,0， 2，r2,5,8，第 3 项、第 6 项与第 9项为有理项它们分别为C210 (12)2 x2，C510(12)5，C810 (12)8 x2. 18若x124xn展开式中前三项系数成等差数列求：展开式中系数最大的项解析 通项为： Tr1Crn (x)nr124xr. 由已知条件知：C0nC2n122 2C1n12，解得： n 8. 记第 r 项的系数为tr，设第 k 项系数最大，则有：tktk1且 tk tk1. 又 trCr18 2r1，于是有：Ck18 2k1Ck8 2kCk18 2k1Ck28 2k2即8！(k1)！ (9k)！28！k！(8k)！，8！(k1)！ (9k)！8！(k2)！ (10k)！2.29k1k，1k1210k.解得 3k4. 系数最大项为第3 项 T3 7 x35和第 4 项 T4 7 x74. 19设 (3x1)8a8x8a7x7 a1xa0.求：(1)a8a7 a1；(2)a8a6a4a2a0. 解析 令 x0，得 a01. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载(1)令 x1 得(31)8a8a7 a1a0，a8a7a2a128 a0256 1255. (2)令 x 1 得(31)8a8a7 a6a1a0.得 28 482(a8a6a4a2a0)，a8a6a4a2a012(2848)32 896. 20设(12x)2010a0a1xa2x2 a2010x2010(xR)(1)求 a0a1 a2 a2010的值(2)求 a1a3 a5 a2009的值(3)求|a0| |a1|a2| |a2010|的值分析 分析题意 令x1求(1)式的值令x 1求(2)式的值 令x 1求(3)式的值解析 (1)令 x1，得：a0a1a2a2010(1)2010 1(2)令 x 1，得： a0a1a2 a201032010与式联立， 得：2(a1 a3a2009)132010，a1a3a5a20091320102. (3)Tr1Cr2010 12010r (2x)r(1)r Cr2010 (2x)r，a2k10(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2010| a0a1a2a3a2010，所以令 x 1 得： a0a1a2 a3a201032010. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载21证明： (C0n)2(C1n)2(C2n)2 (Cnn)2Cn2n. 证明 (1x)n(1x)n(1x)2n，(C0nC1nxC2nx2 Cnnxn) (C0nC1nxC2nx2Cnnxn)(1x)2n，而 Cn2n是(1x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnnC1nCn1nCnnC0nCn2n. CmnCnmn(0mn)，(C0n)2(C1n)2 (C2n)2(Cnn)2Cn2n. 22求 (1x2x2)5展开式中含x4的项分析 由题目可获取以下主要信息：n5；三项的和与差解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解解析 方法一： (1 x2x2)5 1 (x2x2)5，则 Tr1Cr5 (x2x2)r (x2x2)r展开式中第k1项为 Tk1Ckrxrk (2x2)k(2)k Ckr xxk. 令 r k4，则 k4r. 0kr,0r5，且 k、rN，r2k2或r3k1或r4k0. 展开式中含x4的项为 C25 (2)2 C22C35 (2) C13C45 (2)0 C04 x4 15x4. 方法二： (1x2x2)5(1x)5 (12x)5，则展开式中含x4的项为C05 C45 (2x)4C15 (x) C35 (2x)3C25 ( x)2 C25(2x)2C35 (x)3 C15 (2x)C45 (x)4 C05 (2x)0 15x4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页