立身以立学为先，立学以读书为本解指数函数和对数函数综合题的方法和策略一、定义域问题和值域问题：）定义域和值域例1已知函数21( )log(1)4af xmxmx（1）定义域是 R ，求m的取值范围.（2）值域是 R ，求m的取值范围。分析：在已知对数函数的 定义域是 R 与值域是 R，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的。解： （1）因为函数21( )log(1)4af xmxmx的定义域是 R ，故而对任意 xR有21(1)04mxmx恒成立。01 、0m时，左边=104恒成立；02 、0m时，由二次函数的性质可得：20(1)0353522mmmm（2）因为函数21( )log(1)4af xmxmx的值域是 R ，故而有235(1)02mmm3+ 5或m22）定义域和有意义例3已知函数( )124xxf xm( 1)若此函数在(- , 1)上有意义，求m的取值范围.( 2)若此函数的定义域为( -, 1) ，求m的取值范围.分析：注意定义域和有意义是有区别的。区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）( 1) 因为函数( )124xxf xm在(- , 1)上有意义， 即11( )(2)124xf xmmm在(- , 1)上有意义，所以有：01 、0m时，( )124xxf xm 在( -, 1) 上有意义；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本02 、0m时，由二次函数的性质可得：1220(1)0mmf且或01 40mm解得：14m综上所述：此函数在( -, 1) 上有意义，m的取值范围为0m或14m。( 2)若函数( )124xxf xm的定义域为( -, 1) ， 则1240xxm在(,1)x内恒成立。从而有21 2111()()4224xxxm因为(,1)x时，11(,)22x，所以21113()(,)2244x，从而m的取值范围是34m。二、单调性问题对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一先考虑定义域；第二再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同向为增，异向为减。简称“同增异减”） 。例 3、求函数212( )log (32)f xxx单调区间。分 析 ： 先 考 虑 定 义 域 ， 由23201xxx或x2， 即 函 数( )f x的 定 义 域 为(,1)(2,)x；又由223132()24xxx在3(,2上递减，3,)2上递 在增，且1012。略解：由分析可得( )f x在(,1)上递增，(2,)上递减。三、对称性问题和奇偶性问题：（1）若函数( )f x在其定义域上满足()()f axf bx，则函数( )f x的图象关于直线2abx对称；（2）奇偶性问题的判定方法：1、先特殊判定，后定义证明； 2、是对数函数的，先考虑真数，后证明结论。例 4、已知函数11( )log21axf xx(0,1)aa，讨论( )f x的奇偶性。分析一：由题意易知函数( )f x的定义域为( 1,1)x，当12x时，1( )log32af x，当12x时，1( )log 32af x，据此可判定( )f x的奇偶性。分析二：由11111xxxx，得11111xxxx，据此也可判定( )f x的奇偶性。解：由题意易得函数( )f x的定义域为( 1,1)x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本且1111111()( )logloglog ()02121211aaaxxxxfxf xxxxx，即()( )fxfx，所以函数( )f x是奇函数。例 5、 设xf是定义在 R上的奇函数，且满足(3)(5)fxfx， 若( 0 , 4 )x时，( )2xf x，求xf在( 8, 4)上的解析式。分析：由xf定义在 R上且满足(3)(5)fxfx可知：函数( )f x的图象关于直线4x对称；又(0,4)x时，( )2xf x，所以(4,8)x时，8( )2xf x。设( 8, 4)x，则(4,8)x，此时8()2xfx。又xf是定义在 R 上的奇函数，所以8( )2xf x，即xf在( 8, 4)上的解析式为8( )2xf x，( 8,4)x。例 6、设xf是定义在 -1 ，1 上的偶函数，xg与xf的图象关于直线01x对称。且当3, 2x时，32log 2242g xaxxa为实数，求函数xf的表达式；解：注意到xg是定义在区间3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出xf在区间0, 1上的解析式，xf在区间1 ,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。当01x时，322x，由于xg与xf的图象关于直线01x对称，所以，33222log 2224 22 log (42)fxgxaxxxax当10x时，01x，由xf为偶函数，可知：3322log 42log ( 42)fxfxxaxxax所以，3232log (42)10log ( 42)01xaxxfxxaxx四、周期性问题在函数xf的定义域内，存在非零常数T，使得( )fxTf x ，则函数xf叫做周期函数， T 叫做函数xf的一个周期。推广：若 T是函数xf的一个周期，则( )()fxnTf x nZ例7 、 已 知 奇 函 数xf满 足(2 )()fxfx， 当( 0 , 1)x时 ，2xfx， 则12(log5)_f。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本分 析：设( 1,0)x，则(0,1)x，由题意知2xfx，因为xf是奇函数，所以2xfx，( 1,0)x。设( 3, 2)x， 则2 ( 1 , 0 )x， 从而222xfx。 又函数xf满足(2)( )fxf x，所以22xfx，( 3, 2)x由于12log5( 3, 2)， 所以1225log5 2log4125(log 5)224f。五、换元法解综合题例 8、设对所有实数 x，不等式2222224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa恒成立， 求 a的取值范围解：令,12log2taa则原不等式化为2(3)220t xtxt, 此不等式恒成立，故2300,(2 )8 (3)0ttttt由,012log2aa得 0a1. 即所求 a 的取值范围为 0a1.函数axfx31)(的定义域是（-， 1，求 a 的取值范围。解：由题意知：x1 是不等式031ax的解，031ax，如果0a的解集为x R ，与条件矛盾，故a0。 a0 时等价于)1(log133axax，又31311)1(log13aaax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页