优秀学习资料欢迎下载xoyCTMBA高 三 数 学-直线和圆【教学内容】直线方程的几种形式、夹角、距离及圆的有关概念和性质。【教学目标】1、熟练掌握直线的倾斜角、斜率k 的有关概念。直线倾斜角 的取值范围是 0180，而斜率 k 是倾角 的正切，当 为 90时，直线的斜率不存在。因此我们用点斜式或斜截式设直线方程时要注意分清直线的斜率是否存在。2、掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能根据题目所给的条件，灵活地选择直线方程的形式。3、能判断两直线的位置关系或根据直线的位置关系，求出字母已知数的范围；要能计算直线 l1到 l2的角或两直线的夹角及点到直线的距离。4、熟练掌握圆的几种标准方程，并能结合已知条件灵活地设出圆的方程；要能熟练地运用圆本身的一些性质来证题或解题。5、坐标平面把数量关系和图形关系统一起来了，数与形相辅相成，相得益彰，要能够熟练地运用数形结合的思想去解决问题。【知识讲解】例 1求与直线3x+4y+12=0 平行， 且与坐标轴构成的三角形面积是24 的直线 l 的方程。分析 ：满足两个条件才能确定一条直线。一般地， 求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一 ：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0 再用“面积”条件去求m，直线l 交 x 轴于)0 ,3(mA，交 y 轴于)4,0(mB由244321mm，得24m，代入得所求直线的方程为：02443yx解法二 ：先用面积这个条件列出l 的方程， 设 l 在 x 轴上截距离a，在 y 轴上截距b，则有2421ab，因为 l 的倾角为钝角，所以a、b 同号， |ab|=ab，l 的截距式为148ayax，即48x+a2y-48a=0又该直线与3x+4y+2=0 平行，24843482aa，8a代入得所求直线 l 的方程为02443yx说明 ：与直线 Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0 的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0 的形式。例 2已知 ABC 的顶点 A(3, -1) ，AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0 ，B 的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0 ，求边 BC 所在直线的方程。解：设B(a, b)，B 在直线BT 上， a-4b+10=0又 AB 中点21,23baM在直线CM 上，点M 的坐标满足方程6x+10y-59=0 0592110236ba解、组成的方程组可得a=10，b=5 B(10, 5) ，又由角平分线的定义可知，直线BC 到 BT 的角等于直线BT 到直线 BA 的角，yxA(-2,1)P(x,y)B(3,4)D(3,1)C(x,1)o精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载又76ABk41BTkBTBABTBABCBTBCBTkkkkkkkk1192BCkBC 所在直线的方程为)10(925xy即 2x+9y-65=0 例 3若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点， 其中 A(-2, 3) ，B(3,2) ，求实数 m 的取值范围。解：直线 mx+y+2=0 过一定点C(0, -2)，直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB 有交点，则直线只能落在ABC 的内部，设BC、CA 这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 kk1或 kk2， A(-2, 3) B(3, 2) 253421kk-m34或-m25即 m34或 m25说明 ：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率 -m 应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或(90,180 )内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB 内部变化时， k 应大于或等于kBC，或者 k 小于或等于kAC，当 A、B 两点的坐标变化时，也要能求出m 的范围。例 4 求直线 l2：7x-y+4=0 到 l1：x+y-2=0 的角平分线的方程。解法一 ：设 l2到 l1角平分线l 的斜率为k， k1=-1，k2=7 kkkk11717，解之得k=-3 或31k，由图形可知k0，k=-3 ，又由047022yxyx解得 l1与 l2的交点49,41Q，由点斜式得41349xy即 6x+2y-3=0 解法二 ：设 l2到 l1的角为 ，则3412121kkkktg，所以角 为锐角，而221，由二倍角公式可知3421222tgtgtg22tg或212tg2为锐角，kktg717212， k=-3 等同解法一。解法三 ：设 l：(x+y-2)+ (7x-y+4)=0 即(1+7)x+(1- )y+(4 -2)=0171k，由解法一知1713k，51，代入化简即得：6x+2y-3=0 解法四 ：用点到直线的距离公式，设l 上任一点P(x, y)，则 P 到 l1与 l2的距离相等。50|47|2|2|yxyx整理得： 6x+2y-3=0 与 x-3y+7=0 ，又 l 是 l2到 l1的角的平分线，k B 是 sinAsinB 的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、A、B、C 三点共线，点C 分向量 AB 所成的比是 -3，则 B 分向量 AC 所成的比是（）A、2 B、21C、21D、-2 3、经过点P(-2, 1)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A、1 条B、2 条C、 3 条D、4 条4、当 R 时，由方程xsin+ycos=5sin所确定的各直线的位置关系是（）A、相互平行B、垂直C、有无穷多个交点D、过同一点5、若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0 表示圆，则a 的值为（）A、a=1 或 a=-2 B、-1a2 C、a=-1 D、a=2 6、实数 x，y 满足方程 (x-2)2+y2=3，则xy的最大值是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载A、21B、33C、23D、37、设 M 是圆 (x-5)2+(y-3)2=9 上的点，则M 点到直线3x+4y-2=0 的最短距离是（）A、9 B、8 C、2 D、5 8、对于直线xsin+y+1=0，其倾角的取值范围是（）A、4,4B、,434, 0C、43,4D、,22, 0二、填空题：9、直线 3x+2y+m=0 与(m2+1)x-3y+2-3m=0 的位置关系是_ 10、若直线Ax+By+C=0 （A、B、C 均不为零）与圆x2+y2=1 相切，则以 |A|、|B|、|C|为边长的三角形是 _ 11、直线系方程y=ax+1，aR 的图象恒过定点_ 12、 ABC 的三个顶点A(0, 3)、B(3, 3)、 C(2, 0), 若直线 x=a 将 ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a的值是 _ 13、函数 y=f(x) 的图象关于直线x=1 对称的图象的函数表达式为_ 14、从点 (2, 3)向圆 x2+y2=4 作切线，其切线方程为_ 15、光线沿直线ax+by+c=0 (abc0)照射到直线y=x 上后反射，则反射线所在直线的方程是_ 三、解答题：16、设直线 l1：mx+8y+n=0 与 l2：2x+my-1=0 平行，求过点 (m, n)并与 l1、l2垂直且被截得弦长为5的直线方程。17、已知正方形的中心为直线2x-y+2=0 和 x+y+1=0 的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-5=0 ，求其它三边的方程。18、证明：直线系(2x-y-6)+ (x-y-4)=0 中，找不到直线，使它与点P(4, -1)的距离等于3。19、设 A=z| |z| 2，B=z| |z-(a-i)| 2，若 AB ，求实数 a 的最大值、 最小值。20、已知直线l1和 l2关于直线2x-2y+1=0 对称，若l1的方程是3x-2y+1=0 ，求 l2的方程。21、在圆 x2+y2=4 上有定点A(2, 0)及两个动点B、C，当 B、C 两点保持 BAC=3时，求ABC 重心的轨迹方程。22、求与 y 轴相切，且与圆x2+y2-4x=0 也相切的圆的圆心的轨迹方程。23、设圆满足：截y 轴所得弦长为2；被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足、的所在圆中，求圆心到直线l：x-2y=0 的距离最小的圆的方程。【每周一练答案】一、选择题：1、C 2、 A 3、C 4、D 5、C 6、D 7、C 8、B 二、填空题：9、相交10、直角三角形11、(0, 1) 12、313、y=f(2-x) 14、 x=2 或 5x-12y+26=0 15、bx+ay+c=0 三、解答题：16、 2x-y+10=0 或 2x-y-30=0 或 2x+y+26=0 或 2x+y-14=0 17、 3x-y-3=0 3x-y+9=0 x+3y+7=0 18、略19、amax=7，amin= -720、4x-6y+3=0 21、943222yx其中 0x1 22、 y2=8x(x0)或 y=0(x0 且 x2) 23、 (x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页