学习必备欢迎下载函数、不等式恒成立问题解法一：恒成立问题的基本类型类型1：设)0()(2acbxaxxf， （ 1）Rxxf在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型 3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成二：函数中恒成立问题解题策略（一）赋值法等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1 由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f： (a1,a2,a3,a4) b1+b2+b3+b4, 则 f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0 略解 ：取 x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4, 又 a4=1, 所以 b1+b2+b3+b4 =0 ，故选 D 例 2如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么a=（）. A.1 B.-1 C .2D. -2. 略解 ：取 x=0 及 x=4，则 f(0)=f(4),即 a=-1，故选 B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载（二）用一次函数的性质 -利用函数单调性对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例 1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12() 1(2xxm， ；令)12()1()(2xxmmf， 则22m时 ，0)(mf恒 成 立 ， 所 以 只 需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x 的范围是)231,271(x。（三）、利用一元二次函数的判别式-利用判别式，韦达定理及根的分布求解对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例 1：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求 m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为20 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0) 1(8) 1(012mmm，所以，)9 , 1m。例 2.已知函数2( )3f xxaxa，在 R 上( )0f x恒成立，求a的取值范围 . 分析 ：( )yfx的函数图像都在X 轴及其上方， 如右图所示：略解 ：224 34120aaaa62a变式1：若2,2x时，( )0f x恒成立，求a的取值范围. 分析 ：要使2,2x时，( )0f x恒成立， 只需)(xf的最小 值0)(ag即可 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载解：22( )324aaf xxa，令( )f x在2,2上的最小值为( )g a. 当22a，即4a时，( )( 2)730g afa73a又4aa不存在 . 当222a， 即44a时，2( )()3024aag afa62a又44a42a当22a，即4a时，( )(2)70g afa7a又4a74a综上所述，72a. 变式 2：若2,2x时，( )2f x恒成立，求a的取值范围 . 解法一 ：分析：题目中要证明2)(xf在2,2上恒成立，若把2 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0 的问题 . 略解 ：2( )320f xxaxa，即2( )10fxxaxa在2,2上成立 . 24 10aa22222 2a24(1)0(2)0( 2)02222aaffaa或2225a综上所述，2225a. 解法二：（运用根的分布）当22a，即4a时，( )( 2)732g afa54,3aa不存在 . 当222a，即44a时，2()()3224aag afa，222222a2224a当22a，即4a时，( )(2)72g afa，5a54a综上所述2225a. 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样. 对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例 5） ，而对于二次函数在某一区间上恒2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题（四）变量分离型分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)g(a) 恒成立，则 g(a)f(x)min;若对于 x 取值范围内的任何一个数，都有 f(x)f(x)max.(其中 f(x)max和 f(x)min分别为 f(x) 的最大值和最小值) 例 1.已知三个不等式0342xx，0862xx，0922mxx要使同时满足的所有x 的值满足，求m 的取值范围 . 略解 ：由得2x3, 要使同时满足的所有x 的值满足 ,即不等式0922mxx在)3 ,2(x上恒成立，即)3 , 2(922xxxm在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922xxx所以9m例 2. 函数)(xf是奇函数，且在1 , 1上单调递增，又1)1(f，若12)(2attxf对所有的 1 , 1a都成立，求t的取值范围 . 解： 据奇函数关于原点对称，, 1)1 (f又1)1()( 1 ,1)(maxfxfxf上单调递增在12)(2attxf对所有的 1 , 1a都成立 .因此，只需122att大于或等于上在 1 , 1)(xf的最大值1，0211222attatt都成立对所有又 1 , 1a，即 关 于a 的 一 次 函 数 在 -1 ， 1 上 大 于 或 等 于0 恒 成 立 ，202020222ttttttt或或即 ：),202,(t利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题. （五）利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x 都成立max)(xfm。简单计作： “大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 1：在ABC中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m的范围。解析：由 1 ,0(sin,0, 1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3 , 1()(Bf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3, 1(m例 2： （1）求使不等式,0,cossinxxxa恒成立的实数a 的范围。解 析 ： 由 于 函43,44),4sin(2cossinxxxxa， 显 然 函 数 有 最 大 值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数a 的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得xxycossin的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。（六）数形结合法-对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 1：已知恒成立有时当21)(,) 1 , 1(,)(, 1,02xfxaxxfaax，求实数 a 的取值范围。解析： 由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1 和 x=1 处相交， 则由12221)1(211aa及得到 a 分别等于2 和 0.5 ，并作出函数xxyy)21(2 及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1 , 1(x中恒成立，只须xy2在区间)1 , 1(x对应的图象在212xy在区间) 1 , 1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而2110aa时，只有才可以，所以2,1 ()1 ,21a。例 2：若当P(m,n) 为圆1)1(22yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则c 的取值范围是（）A、1221c B、1212cC、12c D、12c解 析 ： 由0cnm， 可 以 看 作 是 点P(m,n) 在 直 线0cyx的 右 侧 ， 而 点P(m,n) 在 圆1) 1(22yx上 ， 实 质 相 当 于 是1)1(22yx在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载12111|10|01022ccc，故选 D。三：同步练习巩固1、设124( )lg,3xxaf x其中aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a的取值范围。分析：如果(.1)x时，( )f x恒有意义，则可转化为1240xxa恒成立，即参数分离后212(22)4xxxxa，(.1)x恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x时，( )f x恒有意义1240xxa，对(,1)x恒成立 . 212(22)4xxxxa(.1)x恒成立。令2xt，2( )()g ttt又(.1)x则1(,)2t( )ag t对1(,)2t恒成立，又( )g t在1,)2t上为减函数，max13( )( )24tgg，34a。2、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212axxa对于任意0,1x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：( )f x是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立212axxa对于任意0,1x恒成立210xaxa对于任意0,1x恒成立，令2( )1g xxaxa，0,1x，所以原问题min( )0g x，又min(0),0( )(),2022,2gaag xgaa即2min1,0( )1, 2042,2aaag xaaa易求得1a。3、已知当 xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载方法一）分析：在不等式中含有两个变量a 及 x，本题必须由x 的范围（ xR）来求另一变量a 的范围，故可考虑将a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5当 xR时，不等式a+cos2x(4sinx+cos2x)设f(x)=4sinx+cos2x则22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sinx+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3-a+53a2方法二）题目中出现了sinx及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x, 故若采用换元法把sinx 换元成 t, 则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令 sinx=t,则 t-1,1, 不等式 a+cos2x0,t-1,1恒成立。设 f(t)= 2t2-4t+4-a ，显然 f(x)在-1 ，1 内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2 4、设 f(x)=x2-2ax+2, 当 x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a 的取值范围。分析：在f(x)a 不等式中，若把a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ) 当=（-2a ）2-4(2-a)=4（ a-1)(a+2)0时，即 -2a1 时，对一切x-1,+) ，F(x) 0 恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0 时由图可得以下充要条件：, 1220)1(0af即, 1030)2)(1(aaaa得-3a-2; 综上所述： a 的取值范围为-3 ， 1 。5、 、当 x(1,2) 时，不等式 (x-1)2logax 恒成立，求a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。解：设T1:( )f x=2(1)x,T2:( )logag xx, 则 T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), ( )f x1, 并且必须也只需(2)(2)gf故 loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x 与一次函数 y=8x-6a-3 ， 则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y1= x2+20x=（ x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，-1 o x y x y o 1 2 y1=(x-1)2y2=logax x y l1 l2 l-20 o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载要使 T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和 l2之间。（包括 l1但不包括 l2) 当直线为l1时，直线过点（-20 ，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=6163; 当直线为l2时，直线过点（0， 0） ，纵截距为 -6a-3=0 ，a=21a 的范围为 6163，21） 。7、对于满足 |p|2 的所有实数p, 求使不等式x2+px+12p+x 恒成立的x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2内关于 p 的一次函数函数值大于0 恒成立求参变量x 的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10, 令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, 则原问题等价于f(p)0在 p-2,2上恒成立，故有：方法一：10(2)0xf或10( 2)0xfx3. 方法二：( 2)0(2)0ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3. 例 8：求使不等式sin2xacosx a21cosx 对一切 xR恒成立的负数a 的取值范围。解：原不等即cos2x（ 1a）cosxa20 (*) 令 cosx=t，由 xR知 t-1 ，1 ，于是 (*)对一切 xR恒成立当且仅当f(t)=t2（ 1a） a20 (*)对一切 t-1 ，1 恒成立，其充要条件f(t) 在-1 ，1 上的最大值f(t)max0, 而 f(t)max= f(1)或 f(-1)，因此 (*) 对一切 t-1 ，1 恒成立当且0)1(1)1(011)1(022aafaafa10120aaaaa或或a-2 故所求的 a 的范围为 (-,-2.例 9： 定义在 R 上的函数xf既是奇函数，又是减函数，且当2,0时，有022sin2cos2mfmf恒成立，求实数m 的取值范围 . 分析 : 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数” 问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正o y 2 -2 x y -2 2 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载的问题 .而对于xf0 在给定区间 a， b上恒成立问题可以转化成为xf在a，b上的最小值问题， 若xf中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】 由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf因为xf为奇函数，故有22sin2cos2mfmf恒成立，又因为xf为 R 减函数，从而有22sin2cos2mm对2,0恒成立设tsin，则01222mmtt对于1 ,0t恒成立，在设函数1222mmtttg,对称轴为mt. 当0mt时，0120mg，即21m，又0m021m(如图 1) 当1 ,0mt，即10m时, 012442mmm,即0122mm, 2121m,又1 , 0m, 10m(如图 2) 当1mt时，0212211mmg恒成立 . 1m(如图 3)故由可知：21m. 例 10. 若不等式 2x-1m(x2-1)对满足 -2m2 的所有 m 都成立，求x 的取值范围。分析：从表面上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，实质上可看作是关于m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为 2，2，求参数x 的取值范围，这是一种“转换主元”的思想方法。解： 原不等式化为 (x2-1)m-(2x-1)0设f mxmxm()()(),()212122若，即xx2101xf m10时， ()xf m10时， ()x1x210时，由题意有：fxxfxx()()()( )()()2212102212102t g(t)o 1 图 1 t g(t)o 1 图 2 t g(t)o 1 图 3 t=m t=m t=m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载即2230221022xxxx解得的取值范围是在此范围内xxx1721321()例 11：已知二次函数（ ， ，）满足，f xaxbx ca b cR af( )( )2011fxf xx( )( )10，对任意的 都有（ ）证明：，；100ac（ ）设，求 的范围，使在， 上是单调211g xf xmx mRmg x( )( )( )函数。解：（ ）由11110fabcfabc( )()得到acb1212又f xx( )0即恒成立axbxc210abac01402又bac1aacacac04022aac00（ ）又，2121412acacbf xxx( )1412142g xf xmxxm x( )( )1412142抛物线的对称轴为xmm1221421现要求在，上是单调函数，只要抛物线的对称轴不在，内，g x( )1111即 211m所以得或mm01例 12设 A=x|x-2)1(2a|2)1(2a,B=x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)0, 求使 AB的 a 的取值范围。解：易得 A=2a,a21.记 f(x)= x2-3(a+1)x+2(3a+1),则 AB当且仅当对xA，f(x)0 恒成立，其充要条件是f(x)在 A上的最大值不大于零。而 f(x)在 A 上的最大值为f(2a)或 f(a21)。因而0)3)(1()1()1(022)2(22aaaaafaaf310111aaaa或或a=-1 或 1a3.故工的范围为 1,3-1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页