优秀学习资料欢迎下载授课老师：授课日期：六年级寒假 第四讲平面图形的认识和计算【知识要点】1 了解平面图形的特点。2 掌握基本的几种平面图形的面积和周长的计算方法（如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆）。3 要牢记每种平面图形的面积计算公式，特别是计算三角形和梯形面积时，不要忘记乘21（或除以2） 。4 对于一些较复杂的图形，要有意识地将其进行简单的变化，可以化繁为简， 化难为易，获得最佳解法。【复习巩固】1、 一个长方形， 长 20 厘米，如果长减少5 厘米，要使面积不变， 宽应增加（）% 。2、从（）到（）任意一点的线段叫半径。3、通过（）并且（）都在（）的线段叫做直径。4、在同一个圆里，所有的半径（），所有的（）也都相等，直径等于半径的（）。5、用圆规画一个直径20 厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（）厘米。6、把一个圆形纸片等分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆的（），宽相当于圆的（）。因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）。7、 正方形有（） 条对称轴，长方形有（） 条对称轴，等腰三角形有 （）条对称轴，等边三角形有（）条对称轴。8、一个圆的周长是同圆直径的（）倍。9、一个圆的半径是8 厘米，这个圆面积的是（）平方厘米？10在一个正方形中剪下一个最大的圆，剩余部分的面积占正方形面积的（）% ，如果正方形的边长是8 厘米，剪下部分的面积是( )平方厘米。【精选例题】1 在图（一）中，梯形的面积是60 平方厘米。请算出阴影部分的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载12cm图（一）2. 已知两正方形的面积分别为16cm2和 36 cm2。求阴影部分的面积。ABCDEFG图（二）3如图（三） ，圆面积与长方形面积正好相等。已知圆的半径为10 厘米，求图中阴影部分的周长是多少厘米？O图（三）4 求图 ( 四) 中阴影部分的面积。( 单位：厘米 ) 106图 (四)5 在图 ( 五) 中，是以一个三角形的三个顶点为圆心，2 厘米为直径所作的三个圆，那么这三个阴影部分面积的总和是多少？图(五)6 如图 ( 六) 中，梯形ABED与三角形DEC的面积比为6：7，BE和 EC的长分别是多少厘米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载ADBEC1016图(六)【巩固练习】一、判断题1大于 900的角叫做钝角。( ) 2两个内角的和小于第三个角的三角形一定是钝角三角形。( ) 3一个三角形中，至少有两个锐角。( ) 4所有四边形内角和都是3600。( ) 5两个面积相等的三角形，一定能拼成平行四边形。( ) 二、填空题1一个直角三角形三条边的长度分别是3cm 、 4cm 、5cm。则这个三角形的面积是( )，最长边上的高是( )。2一个三角形与一个直径10 cm 的圆面积相等，已知三角形底长15.7cm，高是 ( ) cm。3圆的周长大约是直径的( )倍，一个圆的直径扩大2 倍，它的周长扩大 ( )倍。4如图 ( 七) 中，甲和乙的周长相比，甲( )乙。 ( 填或=) 甲乙图 (七 )5在下图中， 三角形 AOD 面积 ( )三角形 BOE的面积。 ( 四边形 ABCD 是长方形 ) ( 填或=) ABCDoE6一个正方形的边长增加10% ，它的面积增加( )%。三、解答题1如图 ( 八) ，一个扇形，半径为6 厘米，圆心角为45 度。求阴影部分的面积。4506图 (八 )2. 如图 ( 九) 中的大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74，则阴影三角形的面积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载图(九)3计算图 ( 十) 中阴影部分的面积( 单位：厘米 ) 。( 用两种方法解 ) 44AODB图 (十 )33、平面图形的计算【周长的计算】例 1 有 9 个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54 ）的面积是 45 厘米2，求这个大长方形的周长。（第四届小学生数学报邀请赛决赛试题）讲析：设每个小长方形的长是a 厘米，宽是 b 厘米。于是有ab=4595；又有： 4a=5b。可求得 b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为6a7b=29（厘米）。例 2 图 5.55 中图（ 1）和图（ 2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6 厘米，问：图（ 1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载讲析：图 5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2AB 。从图 5.55（2）的竖直方向看， AB aCD 图 5.55（2）中大长方形的长是a2b，宽是 2bCD ，所以，（ a+2b）- （2bCD ）=a-CD=6 （厘米）故：图 5.55 （1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大 12 厘米。【面积的计算】例 1 如图 5.56 ，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB的面积是 3，三角形ACF的面积是 4，那么三角形 ABC的面积是 _。（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：连结 AE （如图 5.57 ），则三角形 AEC的面积是 162-4=4。因为ACF与AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE 。同理， ABE的面积是 162-3=5，则 BD BE=3 5。即BE=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载从而， ABC 的面积是 16-（34+2.5）=6.5。例 2 如图 558，在等边三角形 ABC中，AF=3FB ，FH垂直于 BC ，已知阴影部分的面积为 1 平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：如图 5.59，连接 ABC各边中点，则 ABC被分成了大小相等的四个小三角形。在DBG 中，再连接各边中点，得出将DBG 又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出 ABC 的面积为（ 12）44=32（平方厘米）。例 3 三条边长分别为 5 厘米、12厘米、13 厘米的直角三角形如图5.60（1） ，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60 （2）。那么，图 5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是_平方厘米。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：如图 5.60（2），设 EC等于 a 厘米，那么 DE也为 a 厘米。ABC的面积等于 ABE的面积加上 AEC 的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 4 如图 5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形ABD的面积是 12 平方厘米，三角形 AOD 的面积比三角形 BOC 的面积少 12 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是_平方厘米。（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可设 AOD 的面积为 S1。则， BOC 的面积为 S112。于是有： SABO=SABD-SAOD12-S1，SABC=SABO+SBOC=（12-S1）（ S112）=24（平方厘米）。所以，梯形 ABCD 的面积是 24+12=36（平方厘米）。例 5 梯形 ABCD 被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知 S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形 ABCD 的面积。（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）讲析：三角形 S1和 S2都是等高三角形，它们的面积比为26=13；则：DO OB=1 3。ADB和ADC 是同底等高三角形，所以， S1=S3=2 厘米2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载三角形 S4和 S3也是等高三角形，其底边之比为13，所以 S4S3=1所以，梯形 ABCD 的面积为例 6 正方形边长为 20 厘米（如图 5.63 ），已知 DD =EE ，CE=6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是_平方厘米。（海口市小学数学竞赛试题）讲析： E点在 BE段滑动， D 点在 DC段滑动。设 DD 长 a 厘米。DC=20-a，EC=a 6。又因为 DCEC= （20-a）（ a6）=26。运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a6=13时，即a=7=84.5（平方厘米）。例 7 图 5.64 是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载（全国第四届“华杯赛”决赛试题）讲析：如图 5.65，连接 AC ，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。容易看出 S2和 S3是关于 OC为对称轴的对称图形。所以 S2=S3。从而不难得出 S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角例 8 一个正方形（如图5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是_。（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：可将四个长方形分别用A、B、C、D表示（如图 5.67 ），阴影部分是B中的一部分。大正方形的面积为1 平方米，所以它的边长为1 米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载因为长方形 C和 D的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得C的米。例 9 把大的正三角形每边8 等分，组成图 5.68 所示的三角形网。如果每个小三角形面积是 1，那么图中粗线围成的三角形面积是_。（1988年北京市奥林匹克邀请赛试题）讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的2倍。题中，格子面积为12=2，内部格点数为 12，边上格点数为 4。所以，粗线围成的面积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页