等比数列适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域通用课时时长（分钟）90 分钟知识点等比数列的通项公式等比数列的判断方法等比中项等比数列的性质等比数列前n 项和公式等比数列前n 项和性质等比数列的综合运用教学目标掌握等比数列的概念，熟练运用等比数列的通项公式及前n 项和公式的性质解题教学重点等比数列的通项公式及前n 项和公式教学难点等比数列的通项公式及前n 项和公式的性质的灵活运用教学过程一、复习预习上节课我们学习了等差数列的基本概念及性质，接下来请同学们回忆一下：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的性质；4、判断等差数列的方法；5、等差数列的前n 项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页二、知识讲解1.等比数列的定义若数列na对nN满足1nnaqa（常数），则na叫做等比数列。q叫做公比，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零。根据这个定义，立刻可以得到下面的四个结论：（1）10,0aq对nN，0na；（2）101aq或1001aqna递增，1001aq或101aqna递减；（3）1qna为常数数列；（4）0qna为摆动数列。2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式是: 11nnaa q ( 其中1a是首项，q是公比 ) 。由于11nnaa q可以整理为1()nnaaqq，因此，等比数列na，即1naqq中的各项所表示的点( ,)nn kq离散的分布在第一象限或第四象限，其中1akq，并且这些点都在函数()xykqxR的图像上。 正是由于这一点，借助于指数函数(0,1)xyqqq的性质实施对等比数列的研究，已经成为一种趋势或方向足见函数与数列有机结合的重要性和可行性。3.等比中项若,a G b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且2Gab，Gab。只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同。2Gab仅是成等比数列的必要条件，不是充分条件。如0Gab。为了计算方便，连续奇数个数成等比数列可设为, ,xx xqq；同号连续偶数个数成等比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页数列，可设为33,xxxq xqqq。4.等比数列的判定方法（1）1(0,0,nnnnaa q aqnNa）是等比数列。（2）(0,0,nnnacq cqnNa）是等比数列。（3）21212(0,nnnnnnnaa aaaanNa）是等比数列。5.等比数列的前n项的和的公式等比数列的前n项的和的公式是:1(1)1nnaqSq( 其中1a是首项，q是公比，1q) 。6.等比数列的性质若na是公比为q的等比数列，则有以下性质：（1）公比为q的等比数列同乘以一个不为零的数m，所得数列仍是等比数列，公比仍为q。（2）(,)n mnmaa qm nN（3）公比为q的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为mq，其中，m为等距离的项数之差（4）m个等比数列，它们的各对应项之积组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为原各数列公比之积。（5）在等比数列na中，若有mnpk，则有mnpkaaaa三、典型例题精析【例题 1】设等比数列 an 的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn. 【答案】 当a13，q 2时，an32n1，Sn3(2n 1)；当a12，q 3 时，an 23n 1，Sn3n1. 【解析】 设an 的公比为q，由题设得a1q6，6a1a1q230.解得a13，q2或a12，q3.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页当a13，q 2 时，an32n1，Sn3(2n 1) ；当a12，q 3 时，an23n1，Sn3n1. 【例题 2】已知数列 an是公差不为零的等差数列，a12，且a2，a4，a8成等比数列(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 求数列 3an的前n项和【答案】 (1)an 2n(nN*) ；Sn98(9n1) 【解析】 (1) 设等差数列 an的公差为d(d0) 因为a2，a4，a8成等比数列，所以(2 3d)2(2 d)(2 7d)，解得d2. 所以an2n(nN*) (2) 由(1) 知 3an32n，设数列 3an 的前n项和为Sn，则Sn3234 32n919n1998(9n1) 【例题 3】已知数列 an的前n项和为Sn，且anSnn. (1) 设cnan1，求证： cn 是等比数列；(2) 求数列 an 的通项公式【答案】 (1) 略； （2）ancn11)21(n. 【解析】 (1) 证明：anSnn，an1Sn1n1. 得an1anan11， 2an1an1， 2(an11)an1，an11an112. 首项c1a11，又a1a1 1，a112，c112. 又cnan1，故 cn是以12为首项，12为公比的等比数列(2) 由(1) 可知cn)21()21(n 1)21(n，ancn 11)21(n. 四、课堂运用【基础】1、设数列 an是等比数列，前n项和为Sn，若S33a3，则公比q为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页A12B1C 12或 1 D.14【答案】 C【解析】 当q1 时，满足S33a13a3. 当q1 时，S3a11q31qa1(1 qq2)3a1q2，解得q12，综上q12或q1. 故选 C 2、设数列 an满足： 2anan1(an0)(nN*) ，且前n项和为Sn，则S4a2的值为 ( ) A.152B.154C4 D2 【答案】 A 【解析】 由题意知，数列an 是以 2 为公比的等比数列，故S4a2a11 2412a12152. 故选 A. 3、公比为2 的等比数列 an的各项都是正数，且a3a1116，则 log2a10( ) A4 B 5C 6 D7 【答案】 B 【解析】 a3a1116，a2716. 又等比数列an的各项都是正数，a74. 又a10a7q342325， log2a105. 故选 B 4、已知各项不为0 的等差数列 an ，满足 2a3a272a110，数列 bn是等比数列，且b7a7，则b6b8 _. 【答案】 16 【解析】 由题意可知，b6b8b27a272(a3a11) 4a7，a7 0，a74，b6b816. 5、等比数列 an 的前n项和为Sn，公比不为1. 若a11，则对任意的nN*，都有an 2an12an0，则S5 _. 【答案】 11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页【解析】 由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2) 0. 由q2q20解得q 2 或q 1( 舍去 ) ，则S5a11q51q125311. 6、 已知 an是公比为2 的等比数列， 若a3a16， 则a1_；1a211a221a2n_. 【答案】 2；)411 (31n【解析】 an 是公比为2 的等比数列，且a3a16， 4a1a16，即a12，故ana12n1 2n，1an)21(n，1a2n)41(n，即数列21na是首项为14，公比为14的等比数列，1a211a221a2n411)411(41n)411 (31n. 【巩固】1、已知函数f(x) logax，且所有项为正数的无穷数列an 满足 logaan1 logaan2，则数列an( ) A一定是等比数列B一定是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列【答案】 A 【解析】 由 logaan1logaan2，得 logaan1an 2logaa2，故an1ana2. 又a0 且a1，所以数列 an 为等比数列故选A. 2、各项均为正数的等比数列an 的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于 ( ) A80 B 30C26 D16 【答案】 B 【解析】 选 B 设S2na，S4nb，由等比数列的性质知：2(14 a) (a2)2，解得a 6 或a 4( 舍去 ) ，同理 (62)(b14) (146)2，所以bS4n 30. 故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页3、已知方程 (x2mx2)(x2nx2) 0 的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn( ) A.32B.32或23C.23D以上都不对【答案】 B【解析】 选 B 设a，b，c，d是方程 (x2mx2)(x2nx2) 0 的四个根， 不妨设acd0)的等比数列 an的前n项和为Sn， 若S23a22，S43a42， 则q_. 【答案】32【解析】 法一：S4S2a3a43a22a3a43a42，将a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化简得2q2q 30，解得q32(q 1 不合题意，舍去) 法二：设等比数列an 的首项为a1，由S23a22，得a1(1 q) 3a1q2. 由S43a4 2，得a1(1q)(1 q2) 3a1q32. 由得a1q2(1 q) 3a1q(q21) q0，q32. 2、已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*)(1) 证明：数列 an 是等比数列；(2) 若数列 bn 满足bn 1anbn(nN*) ，且b1 2，求数列 bn的通项公式【答案】 (1) 略； （2）bn3)34(n11.【解析】 (1) 证明：依题意Sn4an3(nN*) ，n 1 时，a14a13，解得a1 1. 因为Sn4an3，则Sn14an 13(n2) ，所以当n2 时，anSnSn14an4an 1，整理得an43an1. 又a110，所以 an是首项为1，公比为43的等比数列(2) 因为an)34(n1，由bn1anbn(nN*) ，得bn1bn)34(n1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页可得bnb1 (b2b1) (b3b2) (bnbn1) 2341)34(11n3)34(n11(n2)，当n1 时也满足，所以数列bn 的通项公式为bn3)34(n11. 3、已知等差数列an 的首项a1 1，公差d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1) 求数列 an 与bn的通项公式；(2) 设数列 cn 对nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求c1c2c3c2 013. 【答案】 (1)an 2n1，bn3n1； （2）32 013.【解析】 (1) a21d，a514d，a14 113d，(1 4d)2(1 d)(1 13d) d0，故解得d2. an1(n1) 22n1. 又b2a23，b3a59，数列 bn 的公比为3，bn3 3n23n1. (2) 由c1b1c2b2cnbnan1得:当n 2 时，c1b1c2b2cn1bn1an. 两式相减得：n2 时，cnbnan 1an2. cn 2bn23n1(n2)又当n1 时，c1b1a2，c13. cn3，n 1，23n1，n2.c1c2c3c2 01336232 013133( 332 013) 32 013. 课程小结 1、等比数列的定义； 2、等比数列的通项公式； 3、等比数列的性质； 4、判断等比数列的方法； 5、等比数列的前n 项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页课后作业【基础】1、等比数列 an 中，a44，则a2a6等于 ( ) A4 B 8C 16 D32 【答案】 C【解析】a2a6a2416. 故选 C 2、已知等比数列an 的前三项依次为a1，a1，a4，则an( ) A4)23(nB4)32(nC4)23(n1D4)32(n1【答案】 C【解析】 (a1)2(a1)(a 4)?a 5，a14，q32，故an4)23(n1. 故选 C 3、已知等比数列an 满足a1a23，a2a36，则a7 ( ) A64 B 81C128 D243 【答案】 A【解析】qa2a3a1a22，故a1a1q3?a11，a71 271 64. 故选 A 4、在等比数列an 中，若a112，a44，则公比q_；a1a2an _. 【答案】 2 2n 112【解析】a4a1q3，得 412q3，解得q2，a1a2an21)21(21n 2n112. 5、等比数列 an 的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_. 【答案】 2 【解析】 S33S20，a1a2a33(a1a2) 0，a1(4 4qq2) 0. a10，q 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页【巩固】1、已知 an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与 2a7的等差中项为54，则S5( ) A35 B 33C31 D 29 【答案】 C 【解析】 设数列 an 的公比为q，则由等比数列的性质知：a2a3a1a42a1，即a42. 由a4与 2a7的等差中项为54知，a42a7254，a712254a414. q3a7a418，即q12. a4a1q3a1182，a116，S5161125112 31. 2、 在等比数列 an中， 若a112，a4 4， 则公比q_； |a1| |a2| |an| _. 【答案】 2 2n112【解析】 设等比数列 an 的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q3 8，所以q 2；等比数列 |an| 的公比为 |q| 2，则 |an| 122n1，所以 |a1| |a2| |a3| |an| 12(1 222 2n1) 12(2n1) 2n112. 3、设数列 an的前n项和为Sn，a11，且数列 Sn 是以 2 为公比的等比数列(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 求a1a3a2n1. 【答案】 (1)an1，n 1，2n2，n2.（2）22n113【解析】 (1) S1a11，且数列 Sn 是以 2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2 时，anSnSn12n 2(21) 2n2. an1，n1，2n2，n2.(2)a3，a5，a2n1是以 2 为首项，以4 为公比的等比数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页a3a5a2n1214n1 424n 13. a1a3a2n1124n1322n113. 【拔高】1、已知数列 an 的前n项和为Sn，a11，Sn2an 1，则Sn ( ) A2n1B.)23(n1C.)32(n 1D.12n1【答案】 B【解析】 选 B，Sn2an1，当n2 时，Sn12an，anSnSn12an12an， 3an2an1，an1an32. 又S12a2，a212，a2a112， an从第二项起是以32为公比的等比数列，Sna1a2a3an1231)23(1 211n)23(n1. ( 也可以先求出n2 时，an3n22n1，再利用Sn2an1，求得Sn)23(n1 )2、已知数列 an 的前n项和为Sn，且Snn5an 85，n N*. (1) 证明： an1是等比数列；(2) 求数列 Sn 的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n. 【答案】 (1) 略； （2）最小正整数n为 15.【解析】 (1) 由题意知，Snn5an85，nN*，当n2 时，anSnSn1 (n5an85) (n1)5an185 即 6an65an 15， an1an1156. 又a1S115a185，a1 14，a11 15，数列 an 1 是以 15 为首项，56为公比的等比数列(2) 由(1) 知，an1( 15)(56)n1，an( 15)(56)n11. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页Snn5an85，Snn901 (56)n由Sn1Sn，即 (n1) 901 (56)n1 n901 (56)n ，即 (56)n115. nN*，n最小取 15. 最小正整数n为 15. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页