1.3 函数的基本性质【入门向导】数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近 150 年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100 年能源结构的变化趋势作出预测由图象可以看出近150 年来人类消耗木材比例一直减少； 消耗的煤炭比例先逐渐增多， 到 1940年左右达到最大值， 以后又逐渐变少； 从 1880 年左右开始消耗石油，到 1990 年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980 年左右开始被应用，所占比例逐渐增大太阳能呢？从图象可以看出 100 年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1这个区间可以是整个定义域如 yx 在整个定义域 ( ，) 上是单调递增的， yx 在整个定义域 ( ， )上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质2这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如yx22x1 在整个定义域 ( ，) 上不具有单调性， 但是在 ( ，1 上是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页减函数，在(1，)上是增函数， 这时增减性即单调性是函数的一个局部性质3 有的函数无单调性 如函数y1，x为有理数，0，x为无理数，它的定义域是 (，) ，但无单调性可言，又如yx21，x0,1,2，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法严格按照单调性定义进行证明主要步骤有如下五步：(1) 取值：定义域中 x1，x2的选取，选取 x1，x2时必须注意如下三点：x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中， “任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；x1与 x2有大小，一般规定x1x2；x1与 x2同属一个单调区间(2) 作差：指求 f ( x2) f (x1) (3) 变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将中的差式 f ( x2)f ( x1) 进一步化简变形，变到利于判断f ( x2)f ( x1) 的正负为止常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号(4) 定号：根据变形结果，确定f(x2) f(x1) 的符号(5) 判断：根据 x1与 x2的大小关系及 f ( x1) 与 f ( x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论例 1 证明：函数 yx3(xR)是增函数证明设 x1，x2是 R上的任意两个实数，且x1x2，则f (x1) f (x2)x31x32( x1x2)( x21x1x2x22) ( x1x2)( x112x2)234x22 x1x2，x1x20. f ( x1)f ( x2)0，即 f ( x1)f ( x2)函数 yx3( xR)是增函数三、单调区间的求解1本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间， 对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大， 要求不可过高，适当了解即可 ( 单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法导数法) 2书写单调区间时，注意区间端点的写法对于某一个点而言， 由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言， 因此在写单调区间时， 可以包括端点， 也可以不包括端点， 但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”函数奇偶性学法指导一、学习要点1要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1) 定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x) 的奇偶性(2) f (x) f ( x) 或 f ( x) f (x) 是定义域上的恒等式2奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f ( x) f (x)? f ( x) f (x) 0?fxfx1(f (x) 0)3奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦成立 因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页简化一些函数图象的画法4按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数5在公共定义域内：(1) 奇函数与奇函数的和 (差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和( 差) 仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和( 差) 是非奇非偶函数(2) 奇函数与奇函数的积 (商)是偶函数；偶函数与偶函数的积 ( 商) 是偶函数；奇函数与偶函数的积 ( 商) 是奇函数以上两条同学们可以自行验证6设 f ( x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1( x)f ( x) f ( x)为偶函数， F2(x)f ( x)f ( x) 为奇函数7奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反二、典型例题选析例 2 当 a，b，c 满足什么条件时，函数f (x) ax2bxc 是：(1) 奇函数；(2) 偶函数； (3) 既奇又偶函数； (4) 非奇非偶函数解(1) 若是奇函数，应有 f ( x)f (x)，于是有 ax2bxcax2bxc，即 ax2c0对定义域内所有实数都成立，所以只有 ac0. (2) 若是偶函数，则有f( x) f(x) ，于是有ax2bxcax2bxc，即 2bx0 对定义域内所有实数都成立，所以只有 b0. (3) 若既是奇函数又是偶函数，则由(1) 和(2) 知 abc0. (4) 若是非奇非偶函数，则f ( x)f (x)，f ( x) f (x) ，即ax2bxcax2bxc，ax2bxcax2bxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页?ax2c0，bx0?a0或c0，b0.所以 a0 且 b0 或 c0 且 b0 时，f (x) 为非奇非偶函数例 3 已知 f (x)ax5bx3cx8，且 f (2) 10，求 f (2) 的值解令 g(x) f (x) 8ax5bx3cx，显然 g(x)是奇函数，即 g( 2) g(2) 又 g( 2)f ( 2) 818，所以 f (2) g(2) 826. 判断函数奇偶性的常见错误一、忽略定义域出错例 4 判断 f (x)x4x31x的奇偶性错解因为 f ( x)x4x31xx31x1xx3，显然f(x) f(x) ，故f(x) 为奇函数剖析判断函数奇偶性， 首先要看函数的定义域， 若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性其次，要看f ( x) 与 f ( x)之间的关系正解函数的定义域为 x| x1显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数二、忽视对参数的讨论例 5 判断函数 f ( x) x2| xa| 1(aR)的奇偶性错解显然函数定义域为R. 因为 f (a)a21，f (a) a22| a| 1，所以 f (a) f (a) ，且 f ( a) f ( a) ，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数剖析此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a0 这种特殊情形，以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页致解题出错正解当 a0 时，函数 f (x) ( x)2| x| 1 x2| x| 1f ( x)，此时 f (x)为偶函数；当 a0 时，f (a) a21，f (a) a22| a| 1，f (a) f ( a) ，f (a) f ( a)，此时 f (x)既不是奇函数，也不是偶函数三、忽视特殊函数f ( x)0 的存在例 6 判断函数 f ( x) 1x2x21的奇偶性错解定义域为 1,1 ，关于原点对称又 f ( x)1x2x21 1x2x21f ( x)，所以函数 f ( x) 是偶函数剖析上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f (x) 0，既是奇函数又是偶函数正解函数定义域为 1,1 ，此时 f ( x)0，因而 f (x)既是奇函数又是偶函数四、不明分段函数奇偶性概念致错例 7 判断 f (x)x22x3，x0，的奇偶性错解当 x0 时， x0，f (x) ( x)22(x) 3 (x22x3) f ( x) 当 x0，f (x) (x)22( x)3 (x22x3)f (x) 所以 f (x)是奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页剖析尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(x) f(x)成立，但当 x0 时，f (0) 3f (0) ，所以函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数. 断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例 1 证明：函数 f ( x)x在定义域上是减函数证明f(x) x的定义域为 0 ， )，设 0x10，且 f ( x2) f (x1) ( x2) ( x1) x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2，x1x20，f ( x2)f ( x1)0，即 f ( x2)f ( x1) f ( x) x在定义域 0 ， )上是减函数点评(1) 有的同学认为由 0x1x2，得 0x1x2多么直接呢，其实这种证明方法不正确， 因为我们没有这样的性质作依据其次，这种证明利用了函数yx的单调性，而 yx的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用(2) 在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到， 因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法例 2 已知定义在 (0 ， ) 上的函数 f ( x) 对任意 x， y(0 ， ) ， 恒有 f ( xy)f ( x)f ( y)，且当 0x0，判断 f (x) 在(0， ) 上的单调性分析抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用解设 x1，x2(0， ) 且 x1x2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页则 f ( x1) f (x2) f (x1x2x2)f ( x2) f (x1x2)f ( x2)f ( x2) f (x1x2) x1，x2(0， ) 且 x1x2，0x1x20. f ( x1)f ( x2) f ( x) 在(0 ，) 上是减函数二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例 3 求函数 f (x) x2ax( a0)的单调区间分析此函数可化为 f (x) xax，可根据 y1x的单调性判断解f ( x)x2axxax. a0，yax的单调递减区间是 (， 0) 和(0， ) ，yx 在 R上单调递减，f ( x) x2ax( a0)的单调区间是 (， 0)和(0， ) 点评运用已知的结论，直接得到函数的单调性如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出了解以下结论， 对于直接判断函数的单调性有好处：函数 yf ( x) 与函数 yf ( x) 在相对应的区间上的单调性相反当 f (x)恒为正或恒为负时， 函数 y1fx与 yf ( x)在相对应的区间上的单调性相反在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等三、图象法例 4 求函数 yx22| x| 3 的单调区间分析“脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页解当x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0 时，yx22x3 (x1)24. 画出图象如图所示：故在(， 1 和0,1 上，函数是增函数；在 1,0 和1 ， ) 上，函数是减函数函数单调性的应用一、比较大小例 5 若函数 f (x) x2mx n，对任意实数 x 都有 f (2 x)f (2 x)成立，试比较 f ( 1)，f (2) ，f (4) 的大小解依题意可知 f ( x) 的对称轴为 x2，f ( 1)f (5) f ( x) 在2 ，) 上是增函数，f (2) f (4) f (5) ，即 f (2) f (4) f (1)点评(1) 利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2) 利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间二、解不等式例 6 已知 yf ( x)在定义域 (1,1) 上是增函数，且 f ( t 1)f (12t ) ，求实数 t 的取值范围解依题意可得1t 11，112t 1，t 112t ，解得 0t 0，函数 f (x) x3ax 是区间 1 ，) 上的单调函数，求实数a 的取值范围解任取 x1，x21 ， ) ，且 x10. yf ( x2) f ( x1)(x32ax2) ( x31ax1) (x2x1)(x21x1x2x22a) 1x13. 显然不存在常数 a，使(x21x1x2x22a) 恒为负值又 f ( x)在1 ， )上是单调函数，必有一个常数 a，使 x21x1x2x22a 恒为正数，即 x21x1x2x22a. 当 x1，x21 ， ) 时，x21x1x2x223，a3. 此时，xx2x10，y0，即函数f(x) 在1 ， ) 上是增函数，a 的取值范围是 (0,3 四、利用函数单调性求函数的最值例 8 已知函数 f ( x) x22xax，x1 ，) (1) 当 a4 时，求 f ( x)的最小值；(2) 当 a12时，求 f ( x) 的最小值；(3) 若 a 为正常数，求 f ( x)的最小值解(1) 当 a4 时，f ( x) x4x2，易知，f ( x)在1,2 上是减函数，在2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页) 上是增函数，f ( x)minf (2) 6. (2) 当a12时，f(x)x12x2. 易知， f (x) 在1 ， ) 上为增函数f ( x)minf (1) 72. (3) 函数 f ( x)xax2 在(0，a 上是减函数，在a， )上是增函数若a1，即 a1时，f (x) 在区间 1 ， ) 上先减后增，f ( x)minf (a) 2a2. 若a1，即 0c. 求证：a1ab1bc1c. 证明设 f ( x) x1x( x0)，设 0x1x2，则 f ( x1)f ( x2) x11x1x21x2x1x21x11x20. f ( x1)c，f ( ab)f (c) ，即ab1abc1c. 又 f ( a)f ( b) a1ab1ba1abb1ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页ab1ab，a1ab1bc1c. 点评本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现， 其表现形式多种多样，求解方法也不单一， 不同的形式对应不同的解决策略现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f ( x)f ( x)( 符合为偶函数 )或 f ( x) f (x)( 符合为奇函数 ) ，否则既不是奇函数也不是偶函数例 10 判断函数 f (x) 4x2| x3| 3的奇偶性解要使函数有意义，则4x20，| x3| 30，解得 2x2 且 x0，此函数的定义域 2,0) (0,2 关于原点对称，且满足x30，则函数 f (x) 4x2| x3| 34x2x，f (x) 4x2x4x2xf ( x) ，故函数 f (x) 4x2| x3| 3是奇函数点评判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件二、等价转化法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f(x) f(x) 0 来解决，方法比较简便三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称例 11 判断函数 f (x) | x2| | x2| 的奇偶性解f ( x)| x2| | x2| 2x，x2，4，2x2，2x，x2，其图象 ( 如图) 关于 y 轴对称，该函数为偶函数点评利用图象法 ( 数形结合法 )解题，形象直观、 清晰可见 同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会一道课本习题的拓展证明： (1) 若 f ( x) axb，则 f (x1x22) fx1fx22；(2) 若 f ( x) x2axb，则 f (x1x22)fx1fx22. 探究x1x22为自变量 x1、x2中点，x1x22对应的函数值f (x1x22)为“中点的纵坐标”而12 f (x1) f (x2) 为 x1、x2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”f (x)axb 的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有 f (x1x22) fx1fx22. 而 f ( x) x2axb 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有 f (x1x22) fx1fx22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页拓展在给定区间内，若函数f(x) 的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到f (x1x22) fx1fx22；在给定区间内，若函数 f ( x) 的图象向下凹进，则函数f ( x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到f (x1x22) fx1fx22. 这一性质，可以称为函数的凹凸性活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题， 若能根据问题的结构特征， 注重揭示内在联系， 挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决例 12 已知实数 x，y 满足(xx21)( yy21) 1，求 xy 的值解由已知条件可得xx21yy21. 构造函数 f ( t ) t t21. 显然 f (t )t t21是 R上递增函数因为 f (x)f ( y) ，所以 xy，即 xy0. 例 13 已知( x2y)5x52x2y0，求 xy 的值解已知方程化为 ( x2y)5(x2y)(x5x) 由式的结构，构造函数f ( t )t5t . 显然， f (t ) 是奇函数，且在 R上单调递增由于式可写成f(x2y) f(x) f( x) ，所以有 x2yx，即 xy0. 三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例 14 设奇函数 f (x) 的定义域为 5,5 若当 x0,5 时，f ( x)的图象如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页图所示，则不等式f(x)0 的解集为 _ 解析注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数 f ( x) 在 5,5 上的图象 ( 如图所示 ) ，数形结合，得f ( x)0 的解集为 x| 2x0或 2x5答案( 2,0) (2,5 二、分类讨论思想例 15 已知函数 f (x) x2ax( x0，aR)，试判断 f ( x) 的奇偶性解当 a0 时，f ( x)x2，对任意 x( ， 0)(0 ， )，f (x) ( x)2x2f ( x) ，f(x) 为偶函数当 a0 时，f (x) x2ax( a0，x0)，取 x1，得 f ( 1)f (1) 20，f (1)f (1) 2a0，f( 1)f(1) ，f( 1) f(1) ，函数 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数三、方程思想例 16 已知 f ( x) 是定义在 R上的奇函数，且 f (x) xmx2nx1，试求 f (x) 分析利用奇函数的性质、定义求出参数m 、n 的值是关键解由 f (0) 0 知 m 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页由f(x)是奇函数知f(x) f(x)，即x0x2nx1x0x2nx1，x2nx1x2nx1，n0. f (x)xx21. 二次函数在某区间上的最值思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例 17 求函数f(x)x22x2 在区间 1,4 上的最大值和最小值解f ( x)(x1)21，其对称轴为 x1. 因为函数对称轴 x1 在区间 1,4 内，又函数开口向上，所以当x1 时，f ( x) 取到最小值为 1. 又 f ( 1)5，f (4) 10，所以在 x4 时，f ( x)取到最大值为 10. 二、定函数在动区间上的最值例 18 函数 f ( x) x22x2 在区间 t ，t 1 上的最小值为 g( t ) ，求 g(t )的表达式解f ( x)(x1)21，其对称轴为 x1. 当 t 11时，即 t 1 时，区间 t ，t 1 在对称轴的右侧， f ( x) 在此区间上是增函数所以此时 g( t ) f ( t ) t22t 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页综上得 g(t ) t21，t 1.三、动函数在定区间上的最值例 19 函数 f ( x) x2ax3 在区间 2,2 上的最大值为 g(a) ，求 g( a)的表达式解f ( x)(xa2)23a24，其对称轴为 xa2. 当对称轴 xa2在区间 2,2 的右侧，即a22，a4 时，f ( x) 在此区间上是减函数所以此时 g( a) f ( 2)72a. 当对称轴 xa2在区间 2,2 内时，如果 2a20，即 0a4时，x2 距离对称轴较远，所以此时 f ( x) 在 x2 时取到最大值，为 g( a)f (2) 72a；如果 0a22，即 4a0，72a，a0.四、动函数在动区间上的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页例 20 设a为实数，函数f(x) x2|xa| 1(xR)，求f(x) 的最小值解当 xa 时，函数 f (x)x2xa1x122a34，若 a12，则函数 f ( x)在(， a 上单调递减，从而 f (x)在(， a 上的最小值为 f (a) a21；若 a12，则 f (x) 在( ， a 上的最小值为f1234a. 当 xa 时，f (x) x2xa1x122a34，若 a12，则函数 f (x) 在 a， ) 上的最小值为f 1234a；若 a12，则函数 f ( x) 在 a， )上单调递增，从而函数f ( x)在 a，)上的最小值为 f ( a) a21. 综上，当 a12时，函数 f (x) 的最小值为34a；当12a12时，函数 f ( x)的最小值为 a21；当 a12时，函数 f ( x)的最小值为 a34. 点评当二次函数在某个区间上求最值时， 其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、 在区间左边、 在区间右边三种情况讨论形如“yxax( a0)”的函数图象的探究精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页例 21 试探究函数 f ( x) xax( a0)，x(0， )的单调区间解任取 0x1x2，则 f ( x1)f ( x2) x1ax1x2ax2x1x2x1x2ax1x2. 由于 x1x2及 x1x2的符号已定，从而 f (x1) f (x2) 的符号取决于 x1x2a 的符号由于 x1，x2只能取 f ( x) 的某个单调区间上的值， 因此考虑 x1x2这一极端情形，则x1x2ax21a，若为零，得x1x2a，从而将定义域 (0， ) 分为两个区间 (0，a) 及a， ) ，由此讨论它的单调性即可任取 0x1x2 a，则 x1x20，0x1x2a，所以 x1x2a0，即 f ( x1)f (x2) 所以函数f(x) 在(0 ，a)上单调递减同理可知，函数 f ( x) 在a， )上单调递增由 f ( x)是奇函数，知 f ( x) 在( ，a) 上单调递增，在 (a，0)上单调递减由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：知识延伸(1) 函数 yxax( a0)是一个常用且重要的函数， 其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便(2) 对形如 f (x) x22x3x这种“分式型”的函数，求它在区间 a，b 上的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页最值，常用“分离变量”法转化为yxax( a0)模型求解谈复合函数的单调性设yf(t) 是t的函数，tg(x) 是x的函数，若tg(x)的值域是yf(t)定义域的子集，则 y 通过中间变量 t 构成 x 的函数，称为 x 的复合函数，记作 yf ( t )f g(x) 如函数 y1x，若设 t 1x，则 yt . 这里 t 是 x 的函数， y 是 t 的函数，所以 y1x是 x 的复合函数，把t 称为中间变量问题 1 已知函数 yf ( t )的定义域为区间 m ，n ，函数 t g( x)的定义域为区间 a，b ，值域 D? m ，n 若 yf ( t )在定义域内单调递增， t g( x) 在定义域内单调递增，那么yf g(x) 是否为 a，b 上的增函数？为什么？探究yf g(x) 是区间 a，b 上的增函数证明如下：任取 x1，x2 a，b ，且 x1x2，则 t1g( x1) ，t2g(x2) ，且 t1，t2 m ，n 因为 t g( x)在 a，b 上递增，所以 g( x1)g(x2) ，即 t1t2，而 yf ( t )在 m ，n 递增，故 f (t1)f ( t2) ，即 f g(x1)0)当 x(， 1) 时，t 是 x 的减函数， y 是 t 的减函数，所以(， 1) 是 y1x12的递增区间；当x(1， ) 时，t是x的增函数，y是t的减函数，所以(1， ) 是 y1x12的递减区间综上知，函数 y1x12的递增区间为 (， 1)，递减区间为 (1，) 试一试 求 y1x22x3的单调区间解由 x22x30，得 x1 或 x3，令 t x22x3( t 0)，则 y1t，因为y1t在(， 0) ，(0， ) 上为减函数，而 t x22x3 在(， 1)，( 1,1) 上为减函数，在(1,3) ，(3， ) 上是增函数，所以函数y1x22x3的递增区间为 (， 1) ，( 1,1) ，递减区间为 (1,3) ，(3， ). 函数基本性质如何考？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页1 ( 辽宁高考 ) 设f(x) 是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(x)fx3x4的所有 x 之和为 ( ) A3 B3 C 8 D8 解析因为 f (x) 是连续的偶函数，且x0 时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)fx3x4，只有两种情况：xx3x4；xx3x40. 由知 x23x30，故两根之和为 x1x23. 由知 x25x30，故两根之和为 x3x45. 因此满足条件的所有x 之和为 8. 答案C 2( 全国高考 ) 函数 f ( x)1xx 的图象关于 ( ) Ay 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称D 直线 yx 对称解析f (x) 1xx 的定义域为 x| x0 ，f ( x)1xx1xx f ( x) f ( x) 是一个奇函数 f ( x) 的图象关于原点对称答案C 3( 重庆高考 )若定义在 R上的函数 f ( x)满足：对任意x1，x2R有 f (x1x2) f ( x1)f ( x2)1，则下列说法一定正确的是( ) Af (x) 为奇函数Bf (x) 为偶函数Cf (x) 1 为奇函数Df ( x) 1 为偶函数解析令 x1x20，得 f (0) 2f (0) 1，所以 f (0) 1. 令 x2x1，得 f (0) f (x1) f ( x1) 1，即 f ( x1) 1f ( x1)1. 所以 f (x) 1 为奇函数答案C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页4( 湖南高考 )若 f ( x) x22ax 与 g( x) ax1在区间 1,2 上都是减函数，则 a 的取值范围是 ( ) A( 1,0) (0,1) B(1,0) (0,1 C(0,1) D (0,1 解析结合图象，由f(x) 在1,2 上为减函数知a1，由 g( x)在1,2 上是减函数知 a0.0a1. 答案D 5( 上海高考 )若函数 f ( x)(xa)( bx2a)( 常数 a、bR)是偶函数，且它的值域为 ( ，4 ，则该函数的解析式f (x)_. 解析f ( x) f ( x) 且 f ( x)bx2(2aab) x2a2，b( x)2(2aab)( x)2a2bx2(2aab) x2a2，(2aab) 2aab，即 2aab0，a0 或 b2. 当 a0 时，f (x) bx2，f ( x) 值域为 ( ，4 ，而 ybx2值域不可能为 ( ， 4 ，a0. 当 b2 时，f ( x) 2x22a2，值域为 (， 2a2 2a24，a22. f(x) 2x24. 答案2x24 6( 上海高考 )若函数 f ( x)a| xb| 2 在0 ， ) 上为增函数，则实数a、b，的取值范围是 _解析f (x) axab2 xbaxab2 x0，且0 ， ) 是b， ) 的子集，即 a0，且 b0. 答案a0且 b0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页