2.3平面向量的基本定理及坐标表示23.1平面向量基本定理知识点一：平面向量基本定理1若点 O 是平行四边形ABCD 的中心，AB4e1， BC6e2，则 3e22e1等于A AOB COC BOD DO2设两个非零向量e1、e2不共线，若 (ke1e2)(e1ke2)，则实数k 的值为A1 B 1 C 1 D 0 3已知 AD、BE 分别是 ABC 的边 BC、 AC 上的中线，且ADa， BEb，则 BC为A.43a23bB.23a43bC.23a23bD23a23b4 a、 b是不共线向量，ABaxb， ACyab(x、 yR) ， 则 A、 B、 C 三点共线的条件是_知识点二：基底和夹角5下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中正确的说法是ABCD6e1、e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是Ae1和 e1 e2Be12e2和 e2 2e1C e12e2和 4e2 2e1D e1 e2和 e1e27在 ABC 中， D，E，F 依次是 BC 的四等分点，以ABe1， ACe2为基底，则 AF等于A.14e134e2B.34e114e2C.14e114e2D.14e114e28试指出下图中向量的夹角：9已知向量a、b满足 |a|b|，且 a，b的夹角为60 ，则 ab 与 a 的夹角是多少度？ab与 b 的夹角是多少度？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页能力点一：判断向量的基底10如果 e1、e2是平面 内所有向量的一组基底，那么A若实数1、2使 1e12e20，则 1 20 B空间内任一向量a 可以表示为a1e12e2，这里 1、 2是实数C对实数1、2，1e12e2不一定在平面内D对平面中的任一向量a，使 a1e12e2的实数 1、 2有无数对11设 O 是的对角线交点， 下列向量组： AD与AB；DA与BC；CA与 DC；OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的表示它的所有向量的基底的是ABCD12已知e1、e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数 的取值范围是_13若 ke1e2与e1ke2可以作为平面内的一组基底，且e1与e2不共线，则实数k_. 14(2010 湖北高考， 理 5)已知 ABC 和点 M 满足 MAMBMC0.若存在实数m 使得 ABACmAM成立，则 m 等于A2 B3 C4 D5 17(2010 全国高考 ，理 8)ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分 ACB ，若 CBa，CAb，|a| 1， |b|2，则 CD等于A.13a23bB.23a13bC.35a45bD.45a35b2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示23.3平面向量的坐标运算23.4平面向量共线的坐标表示知识点一：平面向量的正交分解及坐标表示和运算1已知 B 的坐标为 (m，n)， AB的坐标为 (i，j)，则点 A 的坐标为A(mi，nj) B (im， jn) C(mi，nj) D (m n，ij) 2原点 O 为正六边形ABCDEF 的中心，OA (1，3)， OB(1，3)，则 OC等于A(2,0) B( 2,0) C(0， 23) D (0，3) 3已知 ABa，且 A(12，4)，B(14，2)，又 12，则 a 等于A(18， 1) B(14，3) C(18，1) D(14， 3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页4已知 mR，向量 a(m,1)，若 |a|2，则 m 等于A1 B.3 C 1 D 3 5已知 a(3， 1)，b( 1,2)，若 manb(10,0)(m，nR)，则Am 2，n 4 B m 3，n 2 Cm4，n2 Dm 4，n 2 知识点二：平面向量共线的坐标表示6已知 M(3 ， 2)，N(5， 1)， MP12MN，则 P 点坐标为A( 8,1) B(1，32) C(1，32) D(8， 1) 7已知向量a(4,2)，向量 b(x,3)，且 a b，则 x 等于A9 B6 C5 D3 8已知平面向量a (1,2)，b(2，m)，且 a b，则 2a3b等于A( 5， 10) B(4， 8) C(3， 6) D(2， 4) 9 (2010 陕西高考，理 11)已知向量a(2， 1)， b( 1， m)， c(1,2)， 若(a b)c， 则 m_. 10设向量a(1,2)，b(2,3)，若向量 ab 与向量 c(4， 7)共线，求的值能力点一：在坐标形式下的平面向量的综合运算11设 A，B 两点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，O 是坐标原点，则有关AB(x2x1， y2y1)的说法正确的是A仅对 A，B，O 不共线的情况成立B当 A，B 有其一与O 重合时不成立C当 AB与坐标轴共线时不成立D恒成立12(2009 湖北高考 )已知Pa|a(1,0)m(0,1)，mR，Qb|b(1,1) n(1,1)，n R是两个向量集合，则PQ 等于A(1,1) B(1,1) C(1,0) D (0,1) 13已知边长为1 的正方形ABCD ，若 A 点与坐标原点重合，边AB、AD 分别落在x 轴、 y 轴的正向上，则向量2AB3BC AC的坐标为 _14若将向量a(3，1)按逆时针方向旋转2得到向量 b，则 b 的坐标为 _15已知点A(1,2) ，B(4,5)，O 为坐标原点，OP OA tAB.若点 P 在第二象限，求实数t 的取值范围能力点二：坐标形式下的平面向量的共线问题16以下命题错误的是A若 i、j 分别是与x 轴、 y轴同向的单位向量，则|i j|ij|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页B若 ab，a (x1，y1)，b(x2，y2)，则必有x1y1x2y2C平面直角坐标系中，零向量的坐标表示为(0,0) D一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标17.(2009 重庆高考 )已知向量a(1,1)，b(2，x)，若 ab 与 4b2a 平行，则实数x的值是A 2 B0 C1 D2 18已知 |a|10，b(3,4)， ab，则向量a_. 19.已知向量 OA(0,1)，OB(k，k)，OC(1,3)，且 AB AC，则实数k_. 20已知点O，A，B，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)， (1,2)，(1,1)，是否存在常数t，使得 OAtOBOC成立？解释你所得结论的几何意义24.1平面向量数量积的物理背景及其含义知识点一：平面向量数量积的含义和性质1已知向量a、b 满足 |a|1，|b| 4，且 a b2，则 a 与 b的夹角为A.6B.4C.3D.22在四边形ABCD 中，AB BC0，BCAD，则四边形ABCD 是A直角梯形B菱形C矩形D正方形3等边 ABC 的边长为1，ABa，BCb， CAc，那么 a bb cc a 等于A3 B 3 C.32D324已知下列命题中：若 kR，且 kb0，则 k0 或 b0；若 a b0，则 a0 或 b0；若不平行的两个非零向量a，b，满足 |a|b|，则 (a b) (ab)0；若 a 与 b 平行，则a b|a|b|. 其中正确命题的个数是A0 B1 C2 D3 5(2010 湖南高考，理4)在 RtABC 中， C90 ，AC 4，则 AB AC等于A 16 B 8 C 8 D16 知识点二：平面向量数量积的运算律6已知非零向量a、 b，若 a 2b与 a2b互相垂直，则|a|b|等于A.14B4 C.12D 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页7(2010 重庆高考，理2)已知向量a，b 满足 a b 0，|a| 1，|b|2，则 |2ab|等于A0 B2 2 C 4 D8 答案与解析基础巩固1C2.C3.B 4xy1由于 ABaxb， ACyab(x，y R)，且 A、B、C 三点共线，则一定存在实数使得AB AC，即axb (y ab)，整理，得 (1 y) a(x)b0. 从而， 1y0 且 x 0. 从而得到xy1. 5B6.C 7.AD，E，F 依次是 BC 的四等分点，AE12(AB AC) 12(e1e2)，BCACABe2e1，AFAE EF12(e1e2)14BC12(e1e2)14(e2 e1) 14e134e2. 8解： 为OA与OB的夹角；OA与OB两向量同向共线，其夹角为0 ；OA与OB两向量异向共线，其夹角为180 ；将OA的起点移至点A，则 OA与AB两向量的夹角为.9解： 以 a，b 为邻边作平行四边形，如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页则该平行四边形为菱形，CAB 为 ab 与 a 的夹角，为30 ；CBD 的补角为ab 与 b 的夹角，为 180 60 120 . 能力提升10A平面 内任一向量都可写成e1与 e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；C 中的向量1e1 2e2一定在平面内；而对平面中的任一向量a，实数 1、2是唯一的11BAD与AB不共线，故可作为平面向量的一组基底，排除D；又DABC，故 不可以作为基底，排除A； CA与DC不共线，故 可以，故选B. 12 4考虑向量a，b共线，则有 4，故当向量a、b 不共线时， 4. 13 1要作为基底，则ke1e2与 e1ke2不共线又可知当ke1e2与 e1 ke2共线时， k 1.因此根据题目要求，得k 1. 14B设 BC 的中点为D，由已知条件可得M 为ABC 的重心， ABAC2AD，又 AM23AD，故 m3. 17BCD 平分 ACB，|CA|CB|AD|DB|21. AD2DB23AB23(CBCA)23(ab)CDCAADb23(ab) 23a13b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页答案与解析基础巩固1A2.A3.A4.D5.C 6B设 P(x，y)，则MP(x3，y 2)，MN( 8,1)MP12MN，(2x6,2y4)( 8,1)2x6 8，2y41.x 1，y32.故选 B. 7Bab43 2x0，得 x6. 8B可用排除法，横坐标为2( 6) 4. 9 1ab(1，m1)，c(1,2)，依题意有21m11m 1. 10解： 若向量 a b与向量 c(4， 7)共线，则有 ( 2)( 7)(2 3)(4)，解得 2. 能力提升11D当 A 与 O 重合时，ABOB(x2，y2)，这时 AB(x2x1，y2y1)是成立的，因为此时点A的坐标是 (0,0)，即 x1y10.当 B 与 O 重合时，点B 的坐标是 (0,0)，即 x2 y2 0，此时 ABAO(x1，y1)，因此 AB (x2x1，y2y1)也是成立的当A，B 与 O 都不重合时， A，B，O 的关系有两种：A，B， O 共线； A，B，O 不共线其中A， B， O 共线时， ABOBOA(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，A，B，O 不共线时， 由向量减法的三角形法则可知ABOBOA，同样也有 AB(x2x1，y2y1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页正确答案为D. 12Aa(1，m)， b(1n,1n)，由 ab 得 n0，m1，故 PQ(1,1) ，选 A. 13(3,4)根据题意建立坐标系如图，则 A(0,0)， B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)AB(1,0)， BC (0,1)， AC(1,1)2AB3ABAC(2,0)(0,3)(1,1)(3,4)14(1，3)如图，由三角函数的定义，可知a 与 x 轴正向的夹角为6，按逆时针方向旋转2到 OP的位置， 易知 |OP|a|2，xOP120 .根据三角函数的定义，OA2cos120 1，AP2sin120 3，所以 b( 1，3)15解： 由已知 AB(4,5)(1,2) (3,3)OP(1,2)t(3,3)(3t1，3t2)若点 P 在第二象限，则3t1023t13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页故 t 的取值范围是(23，13)16B对 B 选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的或有零向量，则坐标不应写成比例式17Dab (3,1 x)，4b2a(6,4x2)(ab)(4b2a)，3(4x2)(1 x) 6 0. x2. 18(6,8)或 (6， 8)设 a(x，y)，然后利用 |a|10， ab，列出含x，y 的两个等式，解出x， y. 19 1AB(k，k1)，AC(1,2)，ABAC，2k(k 1)0. k 1. 20解： 设存在常数t，使得 OAtOBOC，则(3,4)t(1,2)(1,1)，所以 t(1,2)(1,1)(3,4)(2， 3)，所以t 2，2t 3.此方程组无解，故不存在这样的常数t. 上述结论表明向量AC与OB不平行答案与解析基础巩固1C2.C3.D4.C 5DAB AC|AB|AC|cos A AB|AC|AC|AB|AC|216. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页6D由 a2b 与 a2b 互相垂直(a2b) (a2b)0，故 a2 4b20, 即|a|24|b|2，|a|2|b|，故选 D. 7B|2ab|2 4a24a bb2 8，所以 |2ab|2 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页