实用文档标准文案课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用本节主要讲解线性规划的常见基础类题型【母题一】 已知变量 x，y 满足约束条件xy3，xy 1，2xy3，则目标函数z2x3y 的取值范围为() A7，23 B8， 23 C7，8 D 7，25 求这类目标函数的最值常将函数zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值【解析】 画出不等式组xy3，xy 1，2xy3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z 2x3y 得 y23xz3，平移直线y23x 知在点 B 处目标函数取到最小值，解方程组xy3，2xy3，得x2，y1，所以 B(2,1)，zmin2 2317，在点 A 处目标函数取到最大值，解方程组xy 1，2xy3，得x4，y5，所以 A(4,5)， zmax 243523【答案】 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页实用文档标准文案【母题二】 变量 x，y 满足x4y 30，3x5y250，x1，(1)设 zy2x 1，求 z的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；(3)设 zx2y26x 4y13，求 z 的取值范围点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，y2x112y0x12表示点 (x，y)和12， 0 连线的斜率；x2y2表示点 (x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点 (x，y)和点 ( 3,2)的距离的平方【解析】 (1)由约束条件x4y3 0，3x5y250，x1，作出 (x，y)的可行域如图所示由x1，3x5y250，解得 A 1，225由x1，x4y3 0，解得 C(1,1)由x4y3 0，3x5y250，解得 B(5,2) zy2x1y0x1212 z的值即是可行域中的点与12，0 连线的斜率，观察图形可知zmin205121229(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29 2z29(3)zx2y26x4y13(x3)2 (y 2)2的几何意义是：可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1( 3)4，dmax3 52 2228 16z64精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页实用文档标准文案1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby求这类目标函数的最值常将函数zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值(2)距离型：形一：如z(xa)2(yb)2，zx2y2DxEyF，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二： z(xa)2(yb)2，zx2y2DxEyF，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方(3)斜率型：形如zyx，zaybcxd， zycxd，zaybx，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率【提醒】注意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值1(2014 新课标全国 卷)设 x，y 满足约束条件xy7 0，x3y10，3xy50，则 z2xy 的最大值为 () A10B8 C3 D 2 【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，由 z2xy 得 y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的 z 值最大故zmax25 28【答案】 B 2(2015 高考天津卷 )设变量x，y 满足约束条件x20，x y30，2xy3 0，则目标函数zx6y 的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页实用文档标准文案() A3 B4 C18 D 40 【解析】 作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点(0,3)时， z 取得最大值18【答案】 C 3 (2013 高考陕西卷 )若点 (x，y)位于曲线 y|x|与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为 () A 6 B 2C0D 2 【解析】 如图，曲线y|x|与 y2 所围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z2xy，则 y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点 (2,2)时， z取得最小值，此时z2 (2) 2 6【答案】 A 角度二：求非线性目标的最值4(2013 高考山东卷 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为() A2 B1 C13D12【解析】 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页实用文档标准文案显然当点M 与点 A 重合时直线OM 的斜率最小， 由直线方程x2y10 和 3x y80，解得 A(3，1)，故 OM 斜率的最小值为13【解析】 C5已知实数x，y 满足0x2，y2，x2y，则 z2xy 1x1的取值范围【解】 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2xy1x12y1x1的取值范围可转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率加上2 的取值范围，由图形知，A 点坐标为 (2，1)，则点 (1， 1)与(2，1)所在直线的斜率为22 2，点 (0,0)与(1，1)所在直线的斜率为1，所以 z 的取值范围为( ，1224， )【答案】 (，1 224， ) 6(2015 郑州质检 )设实数 x，y 满足不等式组xy2yx2，y1，则 x2y2的取值范围是() A1，2 B1， 4 C2，2 D 2，4 【解析】 如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC 的内部 (含边界 )，x2y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故 x2y2的取值范围是1,4【答案】 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页实用文档标准文案7(2013 高考北京卷 )设 D 为不等式组x0，2xy0，xy30所表示的平面区域，区域D 上的点与点 (1,0)之间的距离的最小值为_【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线 2xy0 的距离最小， d|2 10|2212 55，故最小距离为2 55【答案】2 558设不等式组x 1，x2y3 0，yx所表示的平面区域是1，平面区域2与 1关于直线3x4y90对称对于1中的任意点A 与 2中的任意点B，|AB|的最小值等于() A285B4 C125D 2 【解析】 不等式组x1x2y30yx，所表示的平面区域如图所示，解方程组x1yx，得x1y1点 A(1,1)到直线 3x4y9 0 的距离 d|34 9|5 2，则|AB|的最小值为4【答案】 B角度三：求线性规划中的参数9若不等式组x 0，x 3y4，3xy4所表示的平面区域被直线ykx43分为面积相等的两部分，则 k 的值是() A73B37精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页实用文档标准文案C43D34【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx43过定点0，43 因此只有直线过AB 中点时，直线 ykx43能平分平面区域 因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 D12，52当 ykx43过点12，52时，52k243，所以 k73【解析】 A 10(2014 高考北京卷 )若 x， y 满足xy 20，kxy20，y0，且 zy x 的最小值为 4，则 k 的值为 () A2 B 2 C12D12【解析】 D作出线性约束条件xy20，kx y20，y0的可行域当 k0 时，如图所示，此时可行域为y 轴上方、直线xy20 的右上方、直线kxy 20 的右下方的区域，显然此时zyx 无最小值当 k 1 时， zy x 取得最小值2；当 k 1 时， zyx 取得最小值 2，均不符合题意当 1k 0 时，如图所示，此时可行域为点A(2,0)，B 2k，0 ，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线 zy x 经过点 B 2k，0 时，有最小值，即2k 4? k12【答案】 D 11(2014 高考安徽卷 )x，y 满足约束条件xy 20，x2y20，2xy20.若 zy ax 取得最大值的最优解不唯一，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页实用文档标准文案则实数 a 的值为 () A12或 1 B2 或12C2 或 1 D 2 或 1 【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2， 2)，则zA2，zB 2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zAzBzC或 zAzCzB或zBzCzA，解得 a 1 或 a2法二 ：目标函数zyax 可化为 yaxz，令 l0：y ax，平移 l0，则当 l0AB 或 l0AC 时符合题意，故 a 1 或 a2【答案】 D 12在约束条件x 0，y 0，x ys，y 2x4.下，当 3s 5 时，目标函数z3x2y 的最大值的取值范围是() A6，15 B7， 15 C6，8 D 7，8 【解析】由xys，y2x 4，得x4s，y2s 4， 则交点为B(4s,2s4)， y 2x4 与 x 轴的交点为A(2,0)，与 y 轴的交点为C(0,4)，xys 与 y 轴的交点为C(0， s)作出当s3 和 s5 时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2) 中阴影部分所示(1)(2) 当 3s4 时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7zmax8；当 4s5 时，可行域是OAC及其内部，此时，zmax8综上所述，可得目标函数z3x2y 的最大值的取值范围是7， 8【答案】 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页实用文档标准文案13(2015 通化一模 )设 x，y 满足约束条件x0，y0，x3ay4a1，若 zx2y 3x 1的最小值为32，则 a 的值为_【解析】 x2y 3x112 y 1x1，而y 1x 1表示过点 (x，y)与(1， 1)连线的斜率，易知a0，可作出可行域，由题意知y1x1的最小值是14，即y1x1min0 13a 113a114? a1【答案】 1 角度四：线性规划的实际应用14A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A 产品需要在甲机器上加工3 小时，在乙机器上加工1 小时； B 产品需要在甲机器上加工1 小时，在乙机器上加工3 小时 在一个工作日内， 甲机器至多只能使用11 小时，乙机器至多只能使用9 小时A 产品每件利润300元， B 产品每件利润400 元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元【解析】设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则 x，y 满足约束条件3xy11，x3y9，xN，yN，生产利润为z300x400y画出可行域，如图中阴影部分(包含边界 )内的整点，显然z300x400y 在点 A 处取得最大值，由方程组3xy11，x3y9，解得x3，y2，则 zmax300 340021 700故最大利润是1 700 元【答案】 1 700 15某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需4 分钟，已知总生产时间不超过10 小时若生产一个卫兵可获精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页实用文档标准文案利润 5 元，生产一个骑兵可获利润6 元，生产一个伞兵可获利润3 元(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w5x6y3(100x y) 2x3y300(2)约束条件为5x7y4 100xy 600，100x y0，x0，y0，x，yN.整理得x3y200，xy 100，x0，y0，x，yN.目标函数为w2x 3y300作出可行域如图所示：初始直线l0： 2x3y0， 平移初始直线经过点A 时， w 有最大值由x3y200，xy100，得x50，y50.最优解为A(50,50)，所以 wmax550 元所以每天生产卫兵50 个，骑兵50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为550 元一、选择题1已知点 ( 3， 1)和点 (4， 6)在直线 3x2ya0 的两侧，则a 的取值范围为() A(24,7)B(7,24) C(， 7)(24， ) D (， 24)(7， ) 【解析】 根据题意知 (9 2a) (1212 a)0即(a 7)(a24)0，解得 7a24【答案】 B 2(2015 临沂检测 )若 x，y 满足约束条件x0，x2y3，2xy3，则 zxy 的最小值是 () A 3 B0 C32D 3 【解析】 作出不等式组x0，x2y3，2xy3表示的可行域(如图所示的 ABC 的边界及内部)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页实用文档标准文案平移直线zxy，易知当直线zxy 经过点 C(0,3)时，目标函数zxy 取得最小值，即zmin 3【答案】 A 3 (2015 泉州质检 )已知 O为坐标原点， A(1,2)， 点 P的坐标 (x， y)满足约束条件x|y|1，x0，则 zOA OP的最大值为 () A 2 B 1 C1 D 2 【解析】 如图作可行域，zOA OPx2y，显然在B(0,1)处 zmax 2【答案】 D 4已知实数x，y 满足：x2y10，x2，xy10，则 z2x2y1 的取值范围是() A53，5B0， 5 C53，5D 53，5【解析】 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x2y1 0，平移 l 可知 2132231z22 2(1)1，即 z 的取值范围是53，5 【答案】 D 5如果点 (1，b)在两条平行直线6x8y1 0 和 3x4y50 之间，则b 应取的整数值为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页实用文档标准文案A2 B1 C3 D 0 【解析】 由题意知 (68b 1)(3 4b5)0，即 b78(b2)0，78b 2， b应取的整数为1【答案】 B 6(2014 郑州模拟 )已知正三角形ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限， 若点 (x，y)在 ABC内部，则z xy 的取值范围是 () A(13， 2) B(0， 2) C(31，2) D (0，13) 【解析】 如图，根据题意得C(13，2)作直线 xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和 C(13，2)时， z xy 取范围的边界值，即 (13)2z0，b0)过点 A(1,1)时取最大值，ab4，abab224， a0，b0， ab(0，4【答案】 B 10设动点 P(x，y)在区域 ：x0，yx，xy4上，过点 P 任作直线l，设直线l 与区域 的公共部分为线段 AB，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为() A B2C3 D 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页实用文档标准文案【解析】 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S 4224 【答案】 D 11(2015 东北三校联考)变量 x，y 满足约束条件y 1，xy2，3xy14，若使 zaxy 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是() A 3,0 B3,1 C0,1 D 3,0,1 【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线zaxy 与 x y2 或 3xy14 平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1 或 a 3， a 1 或 a3【答案】 B 12 (2014 新课标全国 卷)设 x， y 满足约束条件xya，xy 1，且 zx ay 的最小值为7， 则 a() A 5 B3 C 5 或 3 D 5 或 3 【解析】法一 ：联立方程xya，xy 1，解得xa12，ya12，代入 xay7 中，解得 a 3 或 5，当 a 5 时， zxay 的最大值是7；当 a 3时， zxay 的最小值是7法二 ：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当 a 5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页实用文档标准文案图(1) 图(2) 由xy 1，xy 5得交点 A( 3，2)，则目标函数zx5y 过 A 点时取得最大值zmax 35(2)7，不满足题意，排除A，C 选项当 a3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分 )由xy 1，xy3得交点 B(1,2)，则目标函数zx 3y 过 B 点时取得最小值zmin13 27，满足题意【答案】 B 13若 a 0，b0，且当x0，y0，xy1时，恒有axby1，则由点P(a，b)所确定的平面区域的面积是() A12B4C1 D2【解析】 因为 axby1 恒成立， 则当 x0 时，by1 恒成立， 可得 y1b(b0)恒成立， 所以 0b1；同理 0a 1所以由点P(a，b)所确定的平面区域是一个边长为1 的正方形，面积为1【答案】 C 14(2013 高考北京卷 )设关于 x，y 的不等式组2xy10，x m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足 x02y02求得 m 的取值范围是() A，43B，13C，23D，53【解析】当 m 0 时，若平面区域存在， 则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足 x02y02，因此 m0如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含y12x1 上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线 y12x1 的下方即可，即m12m1，解得 m23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页实用文档标准文案【答案】 C 15设不等式组xy110，3xy30，5x3y90表示的平面区域为D若指数函数yax的图象上存在区域D 上的点，则 a 的取值范围是() A(1，3 B2， 3 C(1，2 D 3， ) 【解析】 平面区域 D 如图所示要使指数函数yax的图象上存在区域D 上的点，所以1a3【解析】 A 16(2014 高考福建卷 )已知圆 C：(xa)2(y b)21，平面区域 ：xy70，xy30，y0.若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则a2b2的最大值为 () A5B29 C37D 49 【解析】 由已知得平面区域为MNP 内部及边界圆 C 与 x 轴相切， b1显然当圆心C 位于直线 y1 与 xy70 的交点 (6,1)处时， amax6a2b2的最大值为62 1237【解析】 C 17在平面直角坐标系中，若不等式组y0，yx，yk x1 1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是() A(， 1) B(1， ) C(1，1) D (， 1) (1， ) 【解析】 已知直线 yk(x 1)1 过定点 (1， 1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页实用文档标准文案当直线 yk(x1)1 位于 y x 和 x1 两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域所以直线yk(x1)1 的斜率的范围为( ，1)，即实数 k 的取值范围是( ，1)当直线 yk(x1)1 与 yx平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k1 时，也可形成三角形，综上可知k 1 或 k 1【答案】 D 18(2016 武邑中学期中 )已知实数 x，y 满足x2y10，|x|y10，则 z2xy 的最大值为 () A4 B6 C8 D 10 【解析】 区域如图所示，目标函数z2xy 在点 A(3,2)处取得最大值，最大值为8【答案】 C 19(2016 衡水中学期末)当变量 x，y 满足约束条件yxx3y4xm时， zx 3y 的 最大值为 8，则实数m 的值是 () A 4 B 3 C 2 D 1 【解析】 画出可行域如图所示，目标函数zx3y 变形为 yx3z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又 C(m， m)，所以 8m3m，解得 m 4【答案】 A 20(2016 湖州质检 )已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满足不等式组x3y 10，xy30，x10，则 tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页实用文档标准文案AOB 的最大值等于() A94B47C34D12【解析】 如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时， tanAOB 取得最大值，此时由于tan kBO12，tan kAO2，故 tan AOBtan ( )tan tan 1 tan tan 212121234【解析】 C 二、填空题21(2014 高考安徽卷 )不等式组xy 20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC122(22)4【答案】 4 22(2014 高考浙江卷 )若实数 x，y 满足x2y40，xy1 0，x1，则 xy 的取值范围是_【解析】 作出可行域，如图，作直线xy0，向右上平移，过点B 时， xy 取得最小值，过点A 时取得最大值由 B(1,0)，A(2,1)得(x y)min1，(x y)max3所以 1xy3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页实用文档标准文案【答案】 1,3 23 (2015 重庆一诊 )设变量 x， y满足约束条件x1，xy40，x3y 40，则目标函数z3xy的最大值为 _【解析】 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，z3x y， y3xz，当该直线经过点A(2,2)时， z 取得最大值，即zmax3224【答案 】 4 24已知实数x，y 满足xy1 0，xy1 0，y 1，则 wx2y24x4y 8 的最小值为 _【解析】 目标函数 wx2y24x4y8 (x2)2(y2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方由实数x，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线 xy10 的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2 21|2322，所以 wmin92【答案】9225在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组2x3y60，x y20，y 0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是 _【解析】 如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线 xy 20 的垂线段长是 |OM|的最小值， |OM|min|2|12122【答案】2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页实用文档标准文案26(2016 汉中二模 )某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3 吨、煤 2 吨；生产每吨乙产品要用水1 吨、煤 3吨销售每吨甲产品可获得利润5 万元，销售每吨乙产品可获得利润3 万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13 吨，煤不超过18 吨，则该企业可获得的最大利润是_万元【解析】 设生产甲产品x吨，生产乙产品y 吨，由题意知x0，y0，3xy13，2x3y18，利润 z5x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x3，y4，即生产甲产品3 吨，乙产品4 吨时可获得最大利润27 万元【答案】 27 27某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量 /亩年种植成本 /亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为_亩【解析】 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩， y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z (0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x 0.9y线性约束条件为xy50，1.2x0.9y54，x0，y0，即xy50，4x3y180，x0，y0.画出可行域，如图所示作出直线l0：x0 9y0，向上平移至过点A 时， z 取得最大值，由xy50，4x3y180，解得 A(30,20)【答案】 30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页实用文档标准文案28(2015 日照调研 )若 A 为不等式组x0，y0，yx2表示的平面区域，则当a 从 2 连续变化到1 时，动直线 xya 扫过 A 中的那部分区域的面积为_【解析】 平面区域 A 如图所示，所求面积为S12 2 212222221474【答案】7429(2014 高考浙江卷 )当实数 x，y 满足x2y40，xy10，x1时，1axy4 恒成立，则实数a 的取值范围是 _【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z axy，即 y axz，要使 1z4 恒成立，则a0，数形结合知，满足12a14，1a4即可，解得1a32所以 a 的取值范围是1a32【答案】1，3230(2015 石家庄二检 )已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界 )内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为 _【解析】 由目标函数zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知， 直线 kxy0 的倾斜角为120 ，于是有 ktan 120 3，所以k3【答案】3 31设 m1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数zxmy 的最大值小于2，则 m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页实用文档标准文案【解析】 变换目标函数为y1mxzm，由于m1，所以 11m0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y1mxzm在 y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A 处取得最大值，由ymx，xy 1，得 A11m，m1 m，所以目标函数的最大值 zmax11mm21m2，所以 m2 2m10，解得 12m12，故 m 的取值范围是 (1,12)【答案】 (1,12) 32已知实数x，y 满足y1，y2x1，xym，若目标函数zxy 的最小值的取值范围是2， 1，则目标函数的最大值的取值范围是_【解析】 不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界 )所示，目标函数可变形为yxz，当 z 最小时，直线yxz 在 y 轴上的截距最大当 z 的最小值为 1，即直线为 yx1 时，联立方程yx1，y2x1，可得此时点A 的坐标为 (2,3)，此时m 235；当 z 的最小值为 2，即直线为yx2 时，联立方程yx2，y2x1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时 m 358故 m 的取值范围是5,8目标函数zxy 的最大值在点B(m1,1)处取得，即zmaxm1 1m2，故目标函数的最大值的取值范围是 3,6 【答案】 3,6 33(2013 高考广东卷 )给定区域D：x4y4，xy4，x0.令点集T( x0，y0)D|x0，y0 Z，(x0，y0)是 zxy 在 D 上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定 _条不同的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页实用文档标准文案【解析】 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点 (0,1)与 (0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5 条 ，又 (0,4)， (1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线xy4 上，故 T 中的点共确定6 条不同的直线【答案】 6 34(2011 湖北改编 )已知向量a(xz,3)，b(2，yz)，且 ab若 x，y 满足不等式 |x|y|1，则z 的取值范围为 _【解析】 a(xz,3)，b(2，y z)，且 ab，a b2(xz)3(yz)0，即 2x3yz 0又 |x|y|1 表示的区域为图中阴影部分，当 2x3yz 0过点 B(0， 1)时， zmin 3，当 2x 3yz0 过点 A(0,1)时， zmin3z3,3【答案】 3,3 35(2016 衡水中学模拟 )已知变量x，y 满足约束条件x4y1302yx10xy40且有无穷多个点(x，y)使目标函数 zx my 取得最小值，则m_【解析】 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若 m0，则 zx，目标函数zxmy 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若 m0，则目标函数zxmy 可看作斜率为1m的动直线y1mxzm，若 m0，则1m0，由数形结合知，使目标函数zxmy 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页实用文档标准文案若 m0，则1m0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x，y)在线段 AB 上，使目标函数zxmy 取得最小值，即1m 1，则 m1综上可知， m 1【答案】 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页