学而不思则惘，思而不学则殆第五节直线、平面垂直的判定及其性质考情展望 1.本节从内容上考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定与应用问题.2.从能力上考查空间想象能力，逻辑思维能力， 考查转化与化归思想的应用能力.3.从题型上主要以正方体、长方体、棱柱、棱锥等多面体为载体，利用填空题或解答题的形式进行考查，试题难度一般都是中档难度，也有少部分试题为中等偏上难度一、直线与平面垂直判定性质图形条件a b，b? (b为 内的任意直线 ) am，an，m、n? mnOab aa b? ab结论aa bab ab几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行二、两个平面垂直1平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直l? l ? 3.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 al? l a? l三、线面角与二面角1直线和平面所成的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和 0 . 2二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角1给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是() A1B2C3D4 【解析】由线面垂直的性质定理知正确；由线面垂直的定义知正确，故选B. 【答案】B 2已知直线a，b 和平面 ，且 ab，a ，则 b 与 的位置关系为 () Ab? BbCb? 或 b Db 与 相交【解析】由 ab，a知 b? 或 b ，但直线b 不与 相交【答案】C 3边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AC 的长为 () A.2aB.22aC.32aDa【解析】如图所示：取 BD 的中点 O 连接 AO， CO， 则A OC 是二面角 ABDC的平面角即 AOC90 ，又 A O CO22a， ACa22a22a，即折叠后AC 的长 (AC)为 a. 【答案】D 4下列命题中错误的是 () A如果平面 平面 ，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面 ，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】A 显然正确，根据面面垂直的判定，B 正确对于命题 C，设 m， n，在平面 内取一点P 不在 l 上，过 P 作直线 a，b，使 am，bn. ，am，则 a ，al，同理有bl.又 abP，a? ，b? ，l .故命题 C 正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆对于命题 D，设 l，则 l? ，且 l? .故在 内存在直线不垂直于平面 ，即命题D 错误【答案】D 5(2013 浙江高考 )设 m，n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面() A若 m ，n ，则 m nB若 m ， m ，则 C若 mn， m ，则 nD若 m ， ，则 m【解析】A 项，当 m ，n时，m，n 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B 项，当 m ，m 时， ，可能平行也可能相交，故错误；C 项，当 m n，m时， n ，故正确； D 项，当 m ， 时， m 可能与 平行，可能在内，也可能与相交，故错误故选C. 【答案】C 6(2013 山东高考 )已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形若P 为底面 A1B1C1的中心，则PA 与平面 ABC 所成角的大小为() A.512B.3C.4D.6【解析】如图所示， P 为正三角形A1B1C1的中心，设O 为 ABC 的中心，由题意知：PO平面ABC，连接 OA，则PAO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角在正三角形ABC 中， ABBC AC3，则 S34(3)23 34，VABC A1B1C1SPO94，PO3. 又 AO3331，tan P AOPOAO3， PAO3. 【答案】B考向一120直线与平面垂直的判定与性质图 7 51 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆在所有棱长都相等的斜三棱柱ABCDEF 中，已知 BFAE，BFCEO，且 ABAE. (1)求证： AO平面 FEBC；(2)求证：四边形FEBC 为正方形【思路点拨】(1)证明 AO 与平面 FEBC 内的两条相交直线垂直(2)由已知条件可知四边形FEBC 为菱形，只需证明ECBF 即可证明四边形FEBC 为正方形【尝试解答】(1)因为 BCFE 是菱形，所以 BFEC，又 BFAE，AEECE，所以 BF平面 AEC，因为 AO? 平面 AEC，所以 BFAO. 因为 AEABAC，OE OC，所以 AOEC，由 BF ECO，所以 AO平面 BCFE. (2)因为 AO平面 BCFE，所以 AOOE， AOOB，又因为 AEAB，所以 OEOB，所以 ECBF，所以四边形FEBC 为正方形规律方法 11.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理； (2)垂直于平面的传递性(a b，a ? b )；(3)面面平行的性质(a ， ? a ) (4)面面垂直的性质2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想3线面垂直的性质，常用来证明线线垂直对点训练图 7 52 如图 75 2，已知 PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， M、N 分别是 AB、PC 的中点，若 PDA45 ，求证： MN平面 PCD. 【证明】如图，取PD 的中点 E，连接 AE，NE. E、N 分别为 PD、PC 的中点，EN 綊12CD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆又 M 为 AB 的中点，AM 綊12CD. EN 綊 AM，四边形 AMNE 为平行四边形MNAE. P A平面 ABCD ， PDA45 ， P AD 为等腰直角三角形，AEPD. 又 CD AD，CDPA，CD平面 PAD，而 AE? 平面 PAD， CDAE. 又 CDPDD， AE平面 PCD. MN平面 PCD.考向二121面面垂直的判定与性质(2013 北京高考 ) 图 7 53 如图 753，在四棱锥P-ABCD 中， ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD . 【思路点拨】根据面面垂直的性质证明线面垂直，根据线面平行的判定证明线面平行，根据线面垂直的性质证明面面垂直【尝试解答】(1)因为平面P AD底面 ABCD ，且 PA 垂直于这两个平面的交线AD，所以 PA底面 ABCD . (2)因为 ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，所以 AB DE，且 ABDE. 所以四边形ABED 为平行四边形所以 BE AD. 又因为 BE?平面 PAD，AD? 平面 PAD，所以 BE平面 PAD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆(3)因为 ABAD，而且四边形ABED 为平行四边形，所以 BECD，ADCD. 由(1)知 PA底面 ABCD ，所以 PACD. 所以 CD平面 P AD. 所以 CDPD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PD EF.所以 CDEF. 又因为 CDBE， EFBEE，所以 CD平面 BEF. 所以平面 BEF平面 PCD .规律方法21.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法即证两平面形成的二面角为直角. 2.面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直 .在其中一个面内作交线的垂线，这是常作的辅助线. 3.空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想. 对点训练在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形， ACBDO. (1)若 ACPD，求证： AC平面 PBD ；(2)若平面 P AC平面 ABCD，求证： PB PD. 图 7 54 【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD. 又因为 ACPD， PDBDD，所以 AC平面 PBD. (2)由(1)知 ACBD. 因为平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCDAC，BD? 平面 ABCD，所以 BD 平面 PAC. 因为 PO? 平面 PAC，所以 BDPO. 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BO DO，所以 PBPD.考向三122线面角的求法与应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆图 7 55 如图 755，在四棱锥PABCD 中， PA底面 ABCD， ABAD ，ACCD，ABC60 ，P AABBC，E 是 PC 的中点(1)求 PB 和平面 P AD 所成的角的大小；(2)证明 AE平面 PCD；【思路点拨】(1)先找出 PB 和平面 PAD 所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)证明 AECD，AEPC；【尝试解答】(1)在四棱锥PABCD 中，因 PA底面 ABCD，AB? 平面 ABCD，故 PAAB.又 ABAD，PAADA，从而 AB平面 PAD，故 PB 在平面 PAD 内的射影为PA，从而APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角在 Rt PAB 中， ABPA，故APB45 . 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为45 . (2)证明在四棱锥PABCD 中，因 PA底面 ABCD，CD? 平面 ABCD，故 CDPA.由条件 CDAC，PAACA， CD平面 PAC，又 AE? 平面 PAC，AECD. 由 PAABBC，ABC60 ，可得 AC PA. E 是 PC 的中点， AE PC. 又 PC CDC，综上得AE平面 PCD. 规律方法3线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. 对点训练图 7 56 (2012 湖南高考 )如图 75 6所示，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ， 底面 ABCD是等腰梯形， ADBC，ACBD. (1)证明： BDPC；(2)若 AD4，BC2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为30 ，求四棱锥PABCD 的体积【解】(1)证明因为 PA平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，所以 P ABD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆又 AC BD，PAACA，所以 BD 平面 PAC. 而 PC? 平面 PAC，所以 BD PC. (2)如图所示， 设 AC 和 BD 相交于点O， 连接 PO， 由 (1)知，BD平面 PAC，所以DPO是直线 PD 和平面 PAC 所成的角从而 DPO30 . 由 BD平面P AC， PO? 平面 PAC 知， BDPO.在 Rt POD 中，由DPO 30 得 PD2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形， ACBD， 所以AOD ， BOC 均为等腰直角三角形 从而梯形ABCD 的高为12AD12BC12(42)3，于是梯形ABCD 的面积 S12(42)39. 在等腰直角三角形AOD 中， OD22AD 22，所以 PD 2OD42，PAPD2AD24. 故四棱锥 PABCD 的体积为 V13SPA139412. 易错易误之十二立体几何答题步骤表述不严谨 1 个示范例 1 个防错练 (2013 辽宁高考 )如图 757，AB 是圆 O 的直径， P A 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点图 7 57 (1)求证： BC平面 PAC；(2)设 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心，求证：QG平面 PBC. 【证明】 (1)由 AB 是圆 O 的直径，得ACBC，由 PA平面 ABC，BC? 平面 ABC，得 PABC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆又 PAACA，PA? 平面 PAC，AC? 平面 PAC，在证明线面垂直时，易出现漏掉此处的条件而失分.所以 BC平面 PAC. (2)连接 OG 并延长交AC 于点 M，连接 QM，QO，由 G 为 AOC 的重心，得M 为 AC 中点由 Q 为 P A 中点，得QMPC，又因为 QM?平面 PBC， PC? 平面 PBC所以 QM平面 PBC又由 O 为 AB 的中点，则OM BC，同理可证， OM平面 PBC. 因为 QMMOM，QM? 平面 QMO，MO? 平面 QMO ，在证明面面平行时，同样不能漏掉此处的条件所以，所面面平行的判定定理，平面QMO 平面 PBC又 QG? 平面 QMO ，故 QG平面 PBC.【防范措施】1.在立体几何证明过程中，既要思路正确，还要思维严密，步骤全面，答题过程书写要规范，如在证明线面垂直时不能忽视了对“平面内两条相交直线” 的叙述 . 2.在证明过程中避免出现不加证明主观默认等逻辑错误. (2013 天津高考改编)如图 758，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A底面 ABC，且各棱长均相等，D，E，F 分别为棱AB，BC，A1C1的中点图 7 58 (1)证明 EF平面 A1CD；(2)证明平面A1CD平面 A1ABB1. 【证明】(1)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， ACA1C1，且 ACA1C1，连接 ED，在 ABC 中，因为D，E 分别为 AB， BC 的中点，所以DE12AC 且 DE AC.又因为 F 为 A1C1的中点，可得A1FDE，且 A1F DE，即四边形A1DEF 为平行四边形，所以EFDA1.又 EF?平面 A1CD，DA1? 平面 A1CD，所以 EF平面 A1CD. (2)由于底面ABC 是正三角形， D 为 AB 的中点，故 CDAB.又由于侧棱A1A底面 ABC，CD? 平面 ABC， 所以 A1ACD.又 A1AABA， 因此 CD平面 A1ABB1.而 CD? 平面 A1CD，所以平面 A1CD平面 A1ABB1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页