在第在第3章中，我们介绍了微分学的两个基本概念章中，我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算方法导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定本章以微分学基本定理理微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函数及进行经济分析研究函数及进行经济分析. 第四章第四章 导数的应用导数的应用第一节第一节 中值定理中值定理第四节第四节 函数的单调性函数的单调性第五节第五节 函数的极值与最值函数的极值与最值第七节第七节 函数图形的描绘函数图形的描绘第六节第六节 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点第八节第八节 导数在经济管理方面的应用导数在经济管理方面的应用 第二节第二节 洛比达法则洛比达法则第三节第三节 泰勒公式泰勒公式第一节第一节 中值定理中值定理由第三章我们知道，导数的几何意义表示曲线上该点由第三章我们知道，导数的几何意义表示曲线上该点一条连续光滑的曲线弧，在一条连续光滑的曲线弧，在(a,b)内可导，即在内可导，即在(a,b)内内每一点都存在不垂直于每一点都存在不垂直于x轴的切线，函数在区间轴的切线，函数在区间a,b上上那么问题是，在区间那么问题是，在区间a,b内是否内是否存在一点存在一点，使得曲线在该点切线的平行于直线，使得曲线在该点切线的平行于直线AB?即即切线的斜率，下图所示函数切线的斜率，下图所示函数f(x)在区间在区间a,b上的图像是上的图像是的端点分别为的端点分别为A,B.一、罗尔一、罗尔Rolle定理定理 如果如果M = m, 那么那么f (x)在在a, b上为上为常数常数, 而常数的导数为零而常数的导数为零, 故故(a, b)内内任何一点都可作为任何一点都可作为 . 定理定理1(Rolle定理定理) 如果函数如果函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 且且 f (a)= f (b), 那么在那么在(a, b)内至少有一点内至少有一点使得使得 证证 如图如图, 由于由于f (x)在闭区间在闭区间a, b上连续上连续, 故必有最大值故必有最大值M和最小值和最小值m.图图4.1当当 0 0时时, , 有有故故 f (x) = 0.由于由于 f (x)存在存在,所以所以 假如 , 那么最大值与最小值至少有一个在(a, b)内取的. 不妨设 f (x) = M . 故Dx, x+Dx(a,b),有罗尔定理的几何解释罗尔定理的几何解释:观察图观察图4-2，函数，函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图像是一条上的图像是一条即有即有连续光滑的曲线弧，在连续光滑的曲线弧，在(a,b)内可导，即在内可导，即在(a,b)内每一点内每一点都存在不垂直于都存在不垂直于x轴的切线，轴的切线， 且且 f (a)= f (b), 则可以发现则可以发现在曲线上的最高点和最低点处，在曲线上的最高点和最低点处， 曲线有水平切线，曲线有水平切线，例例1 函数函数且有且有 因为因为故存在故存在使得使得 解解解解例例3 证明方程证明方程有且仅有一个小于的有且仅有一个小于的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .那那么么在在 0 , 1 上连续上连续 ,且且由零点定理知存在由零点定理知存在使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点至少存在一点但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设 注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结其结论可能不成立论可能不成立.例如例如, (x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件, 则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得 ( ) = 0二、二、 拉格朗日拉格朗日Lagange中值定理中值定理 定理定理2(Lagange定理定理) 假如假如 f (x)在闭区间在闭区间a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导,那么那么 (a, b)，使，使证证 作辅助函数作辅助函数或或那么那么 (2)Lagange定理精确地表达了函数在一个区间上的定理精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.左端左端 y = f (x + x) f (x)是函数的增量是函数的增量, 因而因而, Lagange中值定理又称有限增量定理中值定理又称有限增量定理.有两点必须注意：有两点必须注意：(1)定理中定理中f (b) f (a) =f ( )(b a), 当当b a时也成时也成立立.设设b =x+ x, a=x, 记记 = x+ x (0 1) 有有证证证证 在区间在区间在区间在区间I I上任取两点上任取两点上任取两点上任取两点x1x1，x2 x2 (x1x2), (x1x2), 由由 f (x) 在在I上的可导性，则在区间上的可导性，则在区间x1，x2上应用上应用Lagange 中值定理可得中值定理可得由假定，由假定，因为因为x1，x2是是I 上任意两点，所以上面的等式表明：上任意两点，所以上面的等式表明： 推论推论1 1 如果函数如果函数 f (x) f (x)在区间在区间I I上有上有f f (x) (x) 0, 0, 那那么么 f (x) f (x)在区间在区间I I上是一个常数。上是一个常数。).()()()(211212xxxxfxfxf - - = =- - f (x)在区间I 上的函数值相等,即 f (x)在区间I上是一个常数。推论推论2，则这两个函数在，则这两个函数在a,b内至多相差一个内至多相差一个常数常数. 如果函数如果函数f(x)与与g(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒有内的导数恒有例例4. 证明等式证明等式证证: 设设由推论可知由推论可知 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:经历经历: 欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上证证例例5 5在在0, x上应用上应用lagrange定理定理, 知知 (0, x)，使，使即即而而从而从而三、三、Cauchy定理定理如果函数如果函数（1在闭区间在闭区间上连续；上连续；（2在开区间在开区间内可导；内可导；（3对任一对任一那么在那么在内至少有一点内至少有一点成立成立定理定理3(Cauchy定理定理)几何解释几何解释: 在曲线弧在曲线弧AB上至少有上至少有一点一点C(F( )，f ( )，在，在该该点处的切线平行于直线点处的切线平行于直线AB.即成为即成为lagrange中值定理：中值定理：