名师整理优秀资源一、轴对称与全等【例 1】 如图所示，在ABC中，100A，40ABC，BD是ABC的平分线，延长BD至E， 使D E A D 求证：BCABCEEDCBAFEDCBA【考点】轴对称类全等问题【难度】 4 星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】在BC上取一点F，使得BFBA易证得ADBFDBDFAD，又DADEDFDE100A，ABAC40ABCBD平分ABC，20ABD60ADBFDB60CDEADB60FDCEDCDCFDCEFCECBCBFFCABCE例题精讲几何变换与全等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页名师整理优秀资源【例 2】 （06 北京课改第23 题）如图（ 1）所示，OP是MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图（ 2） ，在ABC中，ACB是直角，60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（2）如图（ 3） ，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（1）PNMO（2）FEDCBA（3）FEDCBA【解析】（1）FEFD证明：在AC上取点M，使得AMAE，连接FM易证AEFAMF，故EFFM 可证MCFDCF，故FDFMEFMFEDCBA（2） 在AC上取点M，使得AMAE，连接FMMFEDCBABADCAD，AFAF，AEAMAEFAMFEFFM，AFEAFMBADCAD，BCEACE，60B120AFC，60AFE60MFCDFCBCEACE，CFCFMFCDFCDFFMEF【例 3】 如图，已知60ABDACD，且1902ADBBDC 求证：ABC是等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页名师整理优秀资源DCBAEDCBA【解析】延长BD到E，使得DECD，连接AE1902ADBBDC ，2180ADBBDC，即180ADCADB180ADEADB，ADCADE， CDDEADAD，SASADCADE，60ACDE，ACAE，60ABDACD， ABDE，ABAE， ABAC，ABC是等腰三角形【例 4】 如图，在ABC中，3ABAC，A的平分线交BC于D， 过B作BEAD， 垂足为E， 求证：ADDEDCBAEF21BAEDC【解析】解法一：如图，延长BE、AC交于F12，AEBF，AFAB2ABFABESS而1133ACABAF ，13ABCABFSSAD平分BAC，3BDABCDAC，334BDDCBC ，311442ABDABCABFABESSSS故12ADAE， ADDE解法二：如图，延长AC、BE交于F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页名师整理优秀资源21BAHFEDC12，AEBF，AFAB，2CFAC过E作EHAF，交BC于H，则12EHCFAC ，1DEH，ACDEHDACDEHD，ADDE解法三：如图，延长AC、BE交于G，过E作EHBC交AG于H21BAEDCGH12，AEBG，3AGABAC，BEGE故有HCHG2CGABACAC，HCACDCHE，ADDE解法四：如图，取AB的中点G，连接EG交BC于F，则EG是RtABE斜边上的中线GCDEFAB12AGEG，21AEGEGAC故BFCF，12EGAC ，1322EGABAC ，有13FGEG ，故F是ABE的重心BD为AE的中线，故ADDE【例 5】 如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页名师整理优秀资源MFDCBAEMFDCBA【解析】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰AEC，之后再证明MF是CBE的中位线即可如图所示，延长AB、CF相交于点E，在AFE和AFC中，EAFCAF，AFAF，AFEAFC，故AFEAFC，从而AEAC，EFFC而CMMB，故MF是CBE的中位线，从而111222MFBEAEABACAB 【例 6】 已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且120AMD,证明：12ABBCCDAD . ABCDMB1ABCDMC1【解析】显然，要证题设的不等式，应当把AB，12BC ，CD三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD比较 .要实现这一构想，折线之首端应与A点重合，尾端应与D点重合，这可由轴对称来实现. 以AM为对称轴，作点B关于AM的对称点1B ，连接1AB 、1MB ，则1ABAB ，1MBMB ，即1AB M ABM，由此1B MABMA . 再以DM为对称轴，作点C关于DM的对称点1C ，连接1DC 、1MC ，则1DCDC ，1MCMC ，即1DC M DCM，由此1C MDCMD . 而120AMD，所以18018012060BMACMDAMD. 注意到1160B MAC MDBMACMD，因此1111120()B MCB MAC MD1206060，而1112MBMCBC ，所以11B MC 是等边三角形，1112B CBC . 由于两点之间以直线段为最短，所以1111ABB CC DAD ，即12ABBCCDAD . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页名师整理优秀资源【巩固】设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，135AMD，求证：22ABBCCDAD . MDCBACBMDCBA【解析】作点B关于AM的对称点B，作点C关于DM的对称点C，连接AB、B C、C D，则MBMBMCMC，且ABAB，C DCD. 而90C MB，则222B CMBBC ，故22ABBCCDABB CC DAD . 二、平移与全等问题【例 7】 （2007 年北京中考）如图，已知ABC请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外 )，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明ABACADAECBADECBADFEGCBAFDO EGCBA【解析】 如图 相应的条件是：BDCEDE；两对面积相等的三角形分别是：ABD和ACE，ABE和ACD(方法 1)：如图 ，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页名师整理优秀资源所以ACEFDB，AECFBD在AEC和FBD中，又CEBD，可证AECFBD所以ACFD，AEFB在AGD中，AGDGAD在BFG中，BGFGFB所以AGDGBGFGADFB即ABFDADFB所以ABACADAE(方法 2)：如图 取BC中点O，连结AO并延长AO至F，OFAO，连结BF，DF，延长AD交BF于G可证得BOFCOA，DOFEOA所以ACBF，AEDF在BGA中，BGABGDAD在GFD中，GDGFFD所以BGABGDGFGDADFD所以BGABGFADFD即BFABADFD所以ABACADAE【例 8】 如图，梯形ABCD中，ADBC，以两腰AB，CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接AD的垂直平分线l交线段EF于点M求证：点M为EF的中点MlHFDCEGBANLSRQPQPABGECDFHlM【解析】过E、F分别作l的垂线EP， FQ 交l于P于 Q 如图，N是AD之中点， 过N作NQDF交 FQ 于Q ，作N PA E交EP于P， 作N SDC交BC于S，作NRAB交BC于R在RtP PN和RtLNR中，有90P NPPP N1809090P NPLNR，所以有PP NLNR又由RNABAEP N，知RtRtNP PRLN从而得PPNL同理可知 RtRtQ QNNLS，而得QQNL ，即有PPQQ 显然，EPAN，FQND，又ANND，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页名师整理优秀资源所以EPFQ从而有EPEPPPFQQQFQ 应 EPFQ知，四边形EQFP 是平行四边形，其对角线互相平分，所以M是EF的中点点评：过N作平行线的实质就是将两个正方形进行平移，使这两个正方形的一个点重合三、旋转与全等【例 9】 如图（1）ABO与A B O均为等边三角形， 点AB，分别在线段 OBOA，上，ABO固定不动，A B O绕O顺时针旋转0180，过点AA， 分别作OA OA，的平行线交于点O。（1）如图（ 2） ，当060时，45AO A，则旋转角_;（2） 如图（3） ， 当60180时，若OOAA， 则旋转角_， 当A B O旋转时，AO A与旋转角之间的关系为 _。（3）如图（ 4） ，在A B O旋转过程中，连接O BO B，是判定BO B随旋转角的变化情况，并证明。(1)OBAOBA(2)OBAOBA(3)OBAOBA(4)OBAOBA【解析】（1）15（2）150；60AOA（3）当060时，60AOA当24060，60AOA当360240，420AOA证明略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页名师整理优秀资源【例 10】两块大小不同的含45角的三角板ABC和DBE如图摆放，直角顶点重合， 连接 AECD， 且 F M N G， ，分别为线段ACCDEDAE，的中点。（1）如图，若三角板的两直角重合，判断四边形FMNG的形状，并证明你的结论；（2）从（1）开始， 三角板DBE绕B顺时针旋转角度0360时， （1）中的结论是否仍然成立，若成立画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由。NMGFEDCBAIHNMGFEDCBA【解析】（1）四边形FMNG为正方形。由梯形中位线性质可知，1122FMADFMADGNADGNAD， FMGNFMGN，四边形FMNG为平行四边形又因为 MN， 分别为 CDED，中点，12MNCEMNBC， ABBCBDBE，ADCEMNGN四边形FMNG为菱形 MNBCNGAB，90MNGB四边形FMNG为正方形。（2）三角板DBE绕B顺时针旋转角度0360时， （1）中的结论仍然成立。 FG， 分别为 ACAE，中点12FGCE ，同理12MNCEMNCE， FGMNFGMN，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页名师整理优秀资源四边形FMNG为平行四边形 BCBA BEBDCBEABD，CBEABD ADCEBCEBAD，90BADAIHBCICIB90CHA90MNGAHD四边形FMNG为矩形12NGADMNMG四边形FMNG为正方形。【例 11】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角， 另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积DCBACDCBA【解析】将三角形ABC绕A点旋转90，使B与D重合，C到C点则有180CDCADCADCADCABC，所以CD C， ，在同一条直线上，ACDC是三角形又因为ACAC.所以三角形ACC是等腰直角三角形所以四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC的面积。2222ACCABCDSS四边形【巩固】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于O。已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积EODCBAEEODCBA【解析】显然90BOABEA，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页名师整理优秀资源所以90OBAOABEBAEAB，所以OBAEBAEABOAB，所以OBEOAE，则逆时针旋转OEA 90，则OA与OB重合，E落在BE上OEE是等腰直角三角形则532EE，容易得到12214OEEScm2所以512.52OEBScm2【例 12】（通州区 2009 一模第 25 题）请阅读下列材料：已知：如图1 在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结E D，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明图1ABCDE图2ABCDE【解析】 222DEBDEC证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABEAECABEBEEC，AEAE，CABE，EACE AB在RtABC中ABAC45ABCACB90ABCABE即90E BD222E BBDE D又 45DAE45BADEAC45E ABBAD即45E ADAEDAEDDEDE222DEBDEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页名师整理优秀资源EEDCBAFEDCBA 关系式222DEBDEC 仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FEAFDABDAFAB，FDDBFADBAD，AFDABD又 ABAC， AFAC45FAEFADDAEFAD9045EACBACBAEDAEDABDABFAEEAC又 AEAEAFEACEFEEC，45AFEACE180135AFDABDABC1354590DFEAFDAFE 在RtDFE中222DFFEDE即222DEBDEC【例 13】在 等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MND， ， 为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线ABAC，上移动时，BMBNMN，之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长L的关系图MNDCBA图MNDCBAN图MDCBA如图，当点MN， 在边 ABAC，上，且DMDN时， BMNCMN，之间的数量关系式_；此时QL_ 如图，当点MN，在边 ABAC，上，且DMDN时，猜想 (1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点MN，分别在边AB CA，的延长线上时，若ANx，则 Q_(用 xL， 表示 ) 【解析】BM + NC = MN；23QL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页名师整理优秀资源MENDCBA(2)猜想：仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CEBM，连接DEBDCD，且120BDC，30DBCDCB由ABC是等边三角形，90MBDNCD，(SAS)MBDECD DMDEBDMCDE，60EDNBDCMDN在MDN与EDN中DMDEMDNEDNDNDN()MDNEDN SASMNNENCBMAMN的周长AN(BM)(NC)AC2ABQAMMNAMANAB而等边ABC的周长3LAB23QL(3)223xL【例 14】已知RtABC中，ACBC，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1） ，易证12DEFCEFABCSSS当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图 3NAECFBDM【解析】图2 成立；图3 不成立。证明图 2：过点D作DMAC，DNBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页名师整理优秀资源则90DMEDNFMDN再证MDENDF，DMDN有DMEDNFDMEDNFSSDEFCEFDMCNDECFSSSS四边形四边形由信息可知12ABCDMCNSS四边形21S ABC12DEFCEFABCSSS图 3 不成立，DEFS、CEFS、ABCS的关系是：12DEFCEFABCSSS【例 15】（2010 年西城一模） 如图 1，在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，E恰为BC的中点，tan2B（1）求证：ADAE；（2）如图 2，点P在线段BE上，作BFDP于点F，连结AF求证：2DFEFAF ；（3）请你在图 3 中画图探究： 当P为线段EC上任意一点 （P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论图1EDCBA图2PFABCDE图3ABCDE【解析】（1）在RtABE中，90AEB，2tanBEAEBBEAE2E为BC的中点，BEBC2AEBC. ABCD是平行四边形，ADBC. AEAD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页名师整理优秀资源（2）在DP上截取DHEF（如图 8） 四边形ABCD是平行四边形，AEBC，90EADEFPD，12，ADHAEFADAE，ADHAEFHADFAE，AHAF90FAH在RtFAH中，AHAF，2FHAF AFEFFDHDFDFH2即AFEFDF2（3）按题目要求所画图形见图9，线段DF、EF、AF之间的数量关系为：AFEFDF2H E C B A D F P 2 1 图 8 E C B A F P D 图 9 H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页名师整理优秀资源1.如图，I是ABC的内心，且CAAIBC若80BAC，求ABC和AIB的大小ABCI204040IDCBA【解析】因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题容易解决如图，在BC上取点D，使CDAC，连接DI因为CAAIBC，所以BDAI在ACI和DCI中，ACDC，ACIDCI，CICI所以ACIDCI于是AIDI所以DIBD因为80BAC，所以40CAI，40CDI又CDI是等腰BDI的外角，所以20DBIDIBCDI，40ABC在AIB中，40BAI，20ABI，所以1802040120AIB2.如图，在直角ABC中，90BAC，ABAC，BD平分ABC交AC于D，作CEBD交BD的延长线于E，则 BD 与CE的大小关系是 _EDCBAFEDCBA【解析】延长BA、CE相交于点F由图可知，BFEBCE，故CEEF，2CFCE课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页名师整理优秀资源又90BAC，CEBD，故ABDACE，又ABAC，故ABDACF，从而可知2BDCFCE3.直角三角形ABC中9068AABBC，；P为BC的中点，ABC绕着点P逆时针旋转90到DEF，求重叠部分PQKR 的面积KQPRFEDCBANMKQPRFEDCBA【解析】过点P做PMDFPNAC、垂足为M、NABC绕着点P逆时针旋转90到DEF， PMPN又9090MPQRPMMPRPRN，MPQPRN PMQPNR221()92PMKNPQKRSSPNAB正方形四边形4.已知：2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD，使P，D两点落在直线AB的两侧如图，当45APB时，求AB及PD的长； 当APB变化， 且其它条件不变时，求PD的最大值， 及相应的APB的大小。PDCBA图1EABCDP图2EPABCDP【解析】（1）如图 1，作AEPB于点EAPE中，45APE，2PA，2sin212AEPAAPE，2cos212PEPAAPE4PB，3BEPBPE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页名师整理优秀资源在RtABE中， AEB=90 ，2210ABAEBE解法一：如图2，因为四边形ABCD为正方形，可将PAD绕点A顺时针旋转90得到P AB，可得PADP AB，PDP B，PAP A90PAP，45APP，90P PB22PPPA2222242 5PDP BPPPB解法二：如图3，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G在RtAEG中，可得10coscos3AEAEAGEAGABE，13EG，23PGPBBEEGFG图3EABCDPP图4PDCBAPPDCBA图5在RtPFG中，可得10coscos5PFPGFPGPGABE，1015FG在 RtPDF 中，可得22()PDPFADAGFG22101010 =()( 10)202 55315（2）如图 4 所示，将PAD绕点A顺时针旋转90得到P AB，PD的最大值即为P B的最大值 . P PB中，P BPPPB，22PPPA，4PB，且PD、两点落在直线AB的两侧， 当PPB、三点共线时，P B取得最大值（见图5）. 此时6P BPPPB，即P B的最大值为6.此时180135APBAPP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页