学习必备欢迎下载卓越教育教案专用学生姓名授课时间：授课科目：数学教学课题勾股定理知识点解析（二）重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。教师姓名年级： 初二课型:复习课一、作业检查作业完成情况：优良中差二、课前回顾对上次家庭作业进行检查并评讲三、知识整理知识点 1.勾股定理（1）勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即： a2+b2c2）注意：1 勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。2 应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在RtABC 中，斜边未必一定是c，当A=90 时，a2b2 + c2 ；当 B=90 时，b2a2 + c2 例 1 （1）如图 1 所示，在 RtABC 中， C=90,AC=5，BC=12，求 AB 的长；（2）如图 2 所示，在 RtABC 中， C=90,AB=25，AC=20，求 BC 的长（3）在 RtABC 中,AC=3，BC=4，求 AB2的值A C B 图 1 C B A 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载知识点 2.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。思路：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形 ABCD，2214()2abbac，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc知识点 3.直角三角形的判别条件（1）如果三角形的三边长啊a，b，c，满足a2+b2c2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）注意： 1 在判别一个三角式是不是直角三角形时，a2+b2是否等于 c2 时需通过计算说明，不能直接写成a2+b2c2。2 验证一个三角形是不是直角三角形的方法是： （较小边长）+(较长边长 )=（最大边长）时 ，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形.例 1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）cbaHGFEDCBAbacbaccabcab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载例 2.在 ABC 中，a=m2-n2，b=2mn ，c=m2+n2，其中 m，n 是正整数，且 mn,试判断ABC 是不是直角三角形。知识点 4.勾股数满足a2+b2c2的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有 ：1 3,4,52 6,8,103 8,15,174 7,24,255 5,12,136 9,12,157 9,40,41例 1判断下列各组数是不是勾股数（1）3,4,7 （2）5,12,13 （3）1/3,1/4,1/5 (4)3,-4,5 四、典型例题题型一、应用勾股定理建立方程【例 】如图，ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高 ADcbaHGFEDCBAbacbaccabcab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载【变式1】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 2】四边形 ABCD 中， B=90， AB=3，BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。题型二、勾股定理在折叠问题中的应用例 1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使 AC 恰好落在斜边 AB 上，且点 C 与点 E 重合，求 CD 的长。【变式 1】 如图所示，折叠矩形的一边 AD， 使点 D 落在 BC 边的点 F 处， 已知 AB=8cm ， BC=10cm ，求 EF 的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载【变式 2】在矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点 B与点D重合，折痕为EF求DE的长；【变式 3】如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB10 cm ，BC6 cm，E 为 BC 上的一点将矩形纸片沿着 AE 折叠，点 B 恰好落在边 DC 的点 G 处，求 BE 的长【变式 4】在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H， BPE=30，（1）BE 的长为 _，QF 的长为 _；（2）四边形 PEFH 的面积为 _。题型三、确定几何体上的最短路线例1、 如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A 环绕油罐建子（图中虚线） ，并且要正好建到 A 点正上方的油罐顶部的B 点，已知油罐高 AB=5 米，底面的周长是的12 米，则梯子最短长度为 _米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载【变式 1】一只蚂蚁从长为 4cm、宽为 3 cm ，高是 5 cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是_cm。【变式 2】如图，在笔直的铁路上 A、B 两点相距 25km ， C、D 为两村庄，DA=10km ，CB=15km ，DAAB 于 A，CB AB 于 B，现要在 AB 上建一个中转站E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，求 E 应建在距 A 多远处？题型四、勾股定理及逆命题有关的几何证明例 1、在四边形 ABCD 中，C 是直角， AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明： AD BD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载【变式 1】CD 是 ABC 中 AB 边上的高，且 CD2=AD DB，试说明ACB=90 【变式 2】 ABC 三边的长为 a,b, c，根据下列条件判断 ABC 的形状（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c ；（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0 【变式 3】如图ABC 中， BAC=90,AB=AC,P 为 BC 上任意一点，求证： BP2+CP2=AP2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载题型五、勾股定理与旋转例 1、在等腰RtABC 中， CAB=90 ，P 是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7求： CPA 的大小？【变式 1】如图，在等腰ABC 中， ACB=90 ， D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45 。求证：DE2=AD2+BE2。【变式 2】已知，如图ABC 中， ACB=90 ， AC=BC，P 是 ABC 内一点，且 PA=3 ，PB=1，PC=2，求 BPC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载五、对应训练一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是（）. （A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，32 （D）9，40，41 2. 如图 1，直角三角形 ABC 的周长为 24，且 AB：BC=5：3，则 AC= （）. （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 3. 已知：如图 2，以 Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为（）. （A）9 （B）3 （C）49（D）294. 如图 3，在 ABC中， AD BC与 D，AB=17，BD=15，DC=6，则 AC 的长为（）. （A）11 （B）10 （C）9 （D）8 5. 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式abcba2)(22，则此三角形是（）. （A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）等腰直角三角形（D）直角三角形6. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2 秒，如果将直角三角形的边长扩大1 倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）. （A）6 秒（B）5 秒（C）4 秒（D）3 秒二、填空题（每小题3 分，共 30 分）11. 写出两组直角三角形的三边长.（要求都是勾股数）12. 如图 6（1） 、 （2）中， （1）正方形 A 的面积为. （2）斜边 x= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载13. 如图 7，已知在RtABC中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于14. 四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形 . 15. 如图 8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为三、简答题18.（8 分）如图 11，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该 U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘 AB=CD=20m ，点 E在 CD 上，CE=2m，一滑行爱好者从A 点到 E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载21.如图 14，一架云梯长 25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米. （1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 米吗？六、课堂小结谈谈你这节课的收获和还有疑惑的地方。七、作业1、折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点 D 折叠，使点 A 落在 BD 的 E 处，折痕 DG，若 AB=2，BC=1，求 AG 的长. 2、如图，一块直角三角形的纸片， 两直角边 AC=6 ，BC=8 。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于A C D BE 16 题FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载CADB3、已知：如图， ABD= C=90，AD=12，AC=BC，DAB=30，求 BC 的长4、如图，将一个边长分别为4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（） A3 B4 C5 D5 5、如图 5 所示，一条清水河的同旁有两个村庄A 和 B.到河岸 l 的距离分别为 3 千米和 5 千米，两个村的水平距离 CD6 千米问：要在河边修一个水泵站向两个村供水需要的水管最少应为多少千米？6、如图所示的一块地， ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。交教务时间：课时：年级学生姓名：班主任姓名：家长签名精选学习资料 - 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