学习必备欢迎下载第二十二章二次根式22.1 二次根式（第 1 课时）教学目标知识技能使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围. 数学思考使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性. 解决问题培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题. 情感态度培养学生辩证唯物主义观点. 重点二次根式中被开方数的取值范围. 难点二次根式的取值范围 . 课题： 22.1 二次根式问题： 1，2，3，4 2. 例题与练习1. 二次根式的定义总结收获课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动一回顾与思考1的平方根是 _；0 的平方根是 _；16的平方根是 _. 25 的平方根是 _；5 的算术平方根是 _. 3直角三角形的两条直角边分别为 7 和 4， 斜边为 _. 4正方形的面积为 s, 则它的边长为 _. 活动二接触新知上面 3、4 题的结果是65，s他们表示一些正数的算术平方根 . 1. 二次根式的定义 : 一般的, 我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 . 2. 例题与练习例 1. 下列各式是否为二次根式 ? （1）12m; （2）2a; （3）2n; （4）2a; （5）yx. 解：（ 1） m20, m2+10 12m是二次根式 . （2）a20, 2a是二次根式 ; （3） n20, -n20, 当 n=0 时2n才是二次根式；（4）当a-20 时是二次根式, 当a-20 时不是二次根式；即当a2 是二次根式, 当a0时不是二次根式；（5）当 x-y0 时是二次根式, 当 x-y0时不是二次根式；即当 xy 是二次根式 ,当 x0，x 为任意实数1x都有意义 . 练习: 1. 一 个 矩 形 的 面 积 是18cm2, 它 的 边 长 之 比 为2:3, 它的边长应为多少？2. 当a是怎样的实数时， 下列各式在实数范围内有意义？（1）1a（2）32a3. 已知y=3x-x3,求 x+y 的值. （1） （2）小题学生自己能够解决 . （3）小题注意符号问题；（4）小题请学生思考后解答. 学生练习 1、2 两小题是基础题 , 学生自己能够完成. 3题是灵活应用二次根式的取值范围才能解的题目, 需要学生认真思考 . 使学生进一步掌握二次根式取值范围的习题 . 对第四小题试着讨论 . 1、2 两小题检查中等及以下学生对基础知识的掌握情况 . 3题检查中等以上学生是否对二次根式的取值范围有更深刻的理解 . 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动三 . 总结收获1. 二次根式的定义及被开方数的取值范围 ; 2. 被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出 , 注意合理应用. 作业: 1. 下列各式是否为二次根式? 32x；2a ；2a ；7m. 2. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1) a3; (2)1a; (3)226a . 学 生 总 结 有 何 收获和经验教训, 教师补充 . 有助于培养学生的总结能力 , 并让学生总结经验教训有助于学生大胆的说出自己的错误避免今后再出现同样的失误 .教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页学习必备欢迎下载22.1 二次根式（第2 课时）教学目标知识技能使学生初步掌握利用（a）2=a（a0）进行计算 . 数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a0）中的应用 . 解决问题二次根式的非负性和如何利用（a）2=a（a0）解题 . 情感态度通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）2=a（a0）,使学生感受到数学知识的内在联系. 重点应用（a）2=a（a0）进行计算 . 难点利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和利用（a）2=a（a0）解题 . 课题： 22.1 二次根式问题 1，2，3 结论： (a)2=a（a0）例 1. 总结收获课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动一回忆旧知识问题：1. 5，a有意义吗？为什么？2.5表示的意义是什么 ? 3.a表示的意义是什么 ? 活动二引入新知识请同学们想一想a有没有可能小于零？为什么？a0 (a0）例 1. 已知3x+5y=0， 求xy 的值是多少？解： 3x+5y=0，3x0且5y0，3x=0 且5y=0；即 x+3=0且 y-5=0 解得 x=-3, y=5 xy=-15. 练习: 已知a1+7b=0，求a-b 的值. 答案：a-b=8. 活动三探求规律根据算术平方根的意义填空：1.(9)2=_ ；2.(3)2=_ ；3.(51)2=_；4.(0)2=_ ；5.(a)2=_； （a0）由于a（a0）表示非负数a的算术平方根， 根据平方根的意义，a的平方等于a，因此我们就得到一个结论：(a)2=a（a0）学生口答1.5有意义，因为 50；a当a0 时有意义，当a0时无意义；2.5表示的是 5 的算术平方根 . 3.a表示的是 当a 0时a的算术平方根 . 学生思考并解释，不完善的地方教师补充 . 找学生来讲解做法 . 学生独自思考解题， 然后全班同学集体进行交流 . 请学生口答结果后总结有何规律 . 1.9; 2.3; 3.514.0; 5.a;利用这两个式子复习被开方式的取值范围 .复习算术平方根的基本形式. 引出初中阶段的第三个非负式 . 使学生理解非负式的应用. 进一步巩固二次根式的非负性 . 由学生自己发现规律， 他们更容易记住 .教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图例 2. 计算: （1）（7 . 1）2；（2）（25）2；（3）（12a）2. 解：（ 1）（7. 1）2=1.7；（2）（25）2. =22（5）2=45 =20. （3）（12a）2=a2+1. 练习. 计算：1. （5 . 0 ）2；2. （710）2；3. （372）2；4. （22ba）2. 解:1. （5 . 0）2=0.5；2. （710）2=490；3. （372）2=49124. （22ba）2=a2+b2. 活动四总结收获1.注意二次根式的非负性在解题中的应用；2. (a)2=a（a0）的应用范围，一定要注意；3 请谈一谈本节所学的内容与哪些学过的知识有联系 . 作业：计算：1.2)4(; 2.2)7(; 3.2)33(；4.2)5.12(（1）小题学生口算结果 . （2） 与学生一起写出过程这里用到公式（ab）n=anbn （3） 问学生为什么不用给出字母的范围 . 学生自己计算在小组对答案. 1. 请学生谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会; 2. 请你给大家一些建议 ,在做这种题目是应注意哪学问题 . 逐层深入使学生对(a)2=a（a0）有更深刻的理解 . 进一步巩固所学内容 . 使学生大胆的说出自己的想法和错误，以便及时改正.教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页学习必备欢迎下载22.1 二次根式（第3 课时）教学目标知识技能使学生理解并掌握2a=a, 并能利用这一结论进行计算. 数学思考通过对2a的化简，培养学生分类讨论的思想. 解决问题解决了2a这一类问题的化简问题 . 情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物重点利用2a=a（a0）进行计算难点当a0 时，2a=-a这一结论的推导和应用 . 课题： 22.1 二次根式问题 1，2 结论：当（a0）时2a=a归纳小结例 2. 计算:课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动一复习旧知识1.(9 .3)22.(x)2=_ =_；活动二探索填空_=22=_；_=24 =_；_=21. 0=_；_=232=_；_=20 =_；22求的是 22算术平方根，即求 4 的算术平方根是 2；同理依次可得4，0.1 ，32，0；因此，总结出当（a0）时2a=a.例 1 化简: （1）28；（2）16；（3）22) 1(x. 解：（ 1）28=8；（2）16=24 =4；（3）22) 1(x=x2+1. 练习. 计算：（1）23.0；（2）272（3）25；（4）210. 解：（ 1）23. 0=0.3；（2）272=72；（3）25=5；（4）210=10-1=0.1=101.学生口答第（ 1）小题（2）小题学生考虑应考虑什么?怎样填写 ? 与学生一起分析填空， 同时讲清2a（a0）的意义并总结出规律 . （1） （2）两小题学生自己解决；（3）小题提醒学生应注意考虑 x 的取值范围 . 学生独自完成，在全体订正答案 .这两道小题的设计目的是复习旧知识 , 使学生与本节课的内容分开 . 使学生理解2a（a0）实际上是求a2的算术平方根. 培养学生的归纳能力虽然 x 可以取全体实数，但要养成习惯对字母进行讨论. 对负指数的化简学生应多加注意 .教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动三拓展提高议一议：2)4(=_=_；2)5(=_=_；2)10(=_=_；由上可知 ,2a需要 a的范围吗？为什么？2a当 a0 时，2a=？2a=(a0) =(a0).例 2. 计算: （1）2) 3(；（2）287；（3）2) 1(m.解: （1）2)3(=3；（2）287=87；（3）2) 1(m=m-1 ( m1) =1-m（m0）例 2 结论 2baba（a0, b0）练习 1 例 1 练习 2课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动一回忆对比1. 请同学们回忆abba(a0，b0) 是如何得到的 ? 2. 学生观察下面的例子，并计算：由学生总结上面两个式的关系得：类似地，请每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：baba（a0,b0）例 1. 计算: （1）324; （2）18123. 解:（ 1）32422248324; （2）181233393182318123使学生回忆起二次根式乘法的运算方法的推导过程. 类似地，请每个同学再举一个例子，请学生们思考为什么b 的取值范围变小了？与学生一起写清解题过程 , 提醒他们被开方式一定要开尽 . 对 比二 次根 式的 乘法推导出除法的运算方法增强学生的自信心,并从一开始就使他们参与到推导过程中来 . 对 学生 进一 步强 化被开方数的取值范围, 以及分母不能为零 . 强 化学 生的 解题 格式一定要标准 . . 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动二自我检测练习 1 计算: （1）728；（2）5125；（3）3183xx；（4）211632nmm.活动三挑战逆向思维把baba反过来 , 就得到baba（a0, b0）利用它就可以进行二次根式的化简 . 例 2 化简: （1）1217; （2）22536ba (b 0).解: （1）12171171217（2）22536bababa5625362练习 2 化简：（1）10036.014409.0（2）3312mmn活动四谈谈你的收获1商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件 ) 2会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简找四名学生上黑板板演, 其余学生在练习本上计算 , 然后再找学生指出不足. 二次根式的乘法公式可以逆用 , 那除法公式可以逆用吗 ? 找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上 . 请学生仿照例题自己解决这两道小题 , 组长检查本组的学习情况 . 请学生自己谈收获 , 并总结本节课的主要内容 . 为了更快地发现学生的错误之处 , 以便纠正 . 此处进行简单处理是因为有二次根式的乘法公式的逆用作基础理解并不难. 让学困生在自己做题时有一个参照 . 充分发挥组长的作用,尽可能在课堂上将问题解决. 培养学生的归纳与小结的能力 . 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图作业：计算: （1）218；（2）102175；(3) aba2112532； (4)31501000mm. 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页学习必备欢迎下载22.3 二次根式的加减（第1 课时）教学目标知识技能能够正确进行简单的二次根式加减法的运算. 数学思考通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想. 解决问题通过二次根式加减法运算培养学生运算能力. 情感态度通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 重点二次根式加减法的运算 . 难点探讨二次根式加减法运算的方法, 快速准确进行二次根式加减法的运算.课题:21.3 二次根式的加减提出问题：例 2 计算课堂小结例 1 计算: 练习 1 练习 2 课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动 1 提出问题一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是 10 米，宽是5米，第二块草坪的长是 20 米，宽也是5米。你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？问题： 105+205是什么运算？活动 2 探究活动下列 3 个小题怎样计算 ? 5+5；5-125；5-50+20. 问题：1）53-25还能继续往下合并吗？2）看来二次根式有的能合并，有的不能合并， 通过对以上几个题的观察， 你能说说什么样的二次根式能合并， 什么样的不能合并吗？二次根式加减时 , 先将二次根式化简成最简二次根式后，再将被开方数相同的进行合并 . 活动 3 练习 1 指出下列每组的二次根式中，哪些是可以合并的二次根式？（字母均为正数）（1）8,12，27；（2）72，7521，501；（3）38ab，ba2，5332 ba. 创设问题情景，引起学生思考. 学生回答：这个运动场要准备（ 105+205）平方米的草皮 . 教师提问：学生思考并回答教师出示课题并说明今天我们就共同来研究该如何进行二次根式的加减法运算. 我们可以利用已学知识或已有经验来分组讨论、交流，看看5+5到底等于什么？小组展示讨论结果. 教师引导验证：设5=a, 类比合并同类项或面积法 ; 学生思考，得出先化简，再合并的解题思路5-125=5-55=-45先化简，再合并5-50+20=5-25+52=53-25学生观察并归纳 : 二次根式化为最简二次根式后, 被开方数相同的能合并 . 教师巡视、指导，学生完成、交流，师生评价 . 提醒学生注意先化简成最简二次根式后再判断 . 设置问题情境 , 引出课题，激发学生的学习兴趣 . 在知道5+5怎么计算的基础上继续探讨， 渗透转化思想 . 培养学生小组合作交流能力及根据已有知识和经验进行探究的能力 . 使学生应用类比思想解决问题. 培养学生观察、归纳能力 . 通过例题练习题使学生能够正确找到可以合并的二次根式 . 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图例 1 计算: （1）aa259；（2）4580. 解: （1）aa259aaa853；（2）458055354.例 2 计算: （1）323814182；（2）)7581()31232(解: （1）原式=212226 =217；（2）原式=2413322435 =33132415. 练习 2 计算: （1）279818；（2）6815. 024活动四课堂小结通过今天的学习你有何收获？1. 二次根式加减法的运算方法和步骤是什么 ? 2. 二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性 . 3. 在学习过程中运用了类比的学习方法 . 学生自己在笔记本上独立完成 . 教师巡视、指导，学生完成、交流，师生评价 . （1）把每个根式化为最简二次根式 . （2）把其中最简二次根式合并 . 利用这简单的题目树立学困生的自信心 . 进一步巩固二次根式加减法运算 . 教师引导学生回忆本节所学内容，学生回忆、 交流， 教师和学生一起补充完善， 使学生更加明晰所学知识.教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图作业：计算: （1）223；（2）27122；（3）2918；（4）xx2242；（5）3222xax；（6）23218；（7）108965475；（8）)272(43)32(21. 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页学习必备欢迎下载22.3 二次根式的加减（第2 课时）教学目标知识技能利用二次根式加减法解决一些实际问题. 数学思考培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力. 解决问题获得把实际问题转化为数学问题的体验. 情感态度通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识. 重点将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点. 难点被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简课题:22.3 二次根式的加减复习引入计算: 问题 1 问题 2 练习 1 复习总结课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动一复习引入计算: （1）52080; （2）101252403. 数学来源于生活 , 应用于生活 .下面我们研究一下二次根式在实际生活中的应用 . 活动二展示问题问题 1 现有一块长 7.5dm,宽5dm的木板 , 能否在这块木板上截出两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形木板 ? 解: 因为大、小正方形木板的面积分别为 8dm2和 18dm2, 所以, 它们的边长分别为8dm和18dm. dm2523221885.7255.12又因为 ,523所以, 可以在这块木板上截取这两个正方形木板 . 问题 2 要焊接一个如图21.3-1 所示的钢架 , 大约需要多少米钢材（精确到0.01m）? 2m1m4mADCB图 21.3-1解: 根据图中尺寸可得AB=222224BDAD5220, BC=5122222CDBDAB+BC+AC+BD =25552=75332.24+713.7（m ）答: 要焊接一个如图所示的钢架约需要 13.7m 的钢材 .学生复习二次根式加减法的一般步骤 . 学生独自审清题意 . 教师与学生一起分析题意, 得出解题方法 . 请 学 生 自 己 审 清 题意 , 观察图中所给的已知条件 , 力争使学生能独自解决这一问题 . 教师在讲解时尽可能将步骤写完整 . 复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容 . 训练学生的审题能力 . 带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路. 培养学生观察图形分析图形的能力 . 让学生进一步体会数学来源于生活, 应用于生活. 培养学生严谨的思维习惯. 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动三小试牛刀练习 1 如图 21.3-2 所示,两个圆的圆心相同 , 它们的面积分别为 12.56cm2和25.12cm2, 请你求圆环的宽度 d（取 3.14 ）. 解: 求圆环的宽度 d 实际上是求两圆的半径的差 ; 因此56.1212.2514.356.1214.312.2522248（cm）答: 圆环的宽度d=(222)（cm）.活动四复习总结1. 数学来源于生活 , 应用于生活, 因此我们应该热爱生活, 热爱数学 ; 2. 将实际问题转化为数学问题 , 只要审清题意弄明白, 就一定可以做出来 . 作业：1. 已知236.25，求45544555的近似值 . 2. 如图 21.3-3 在平行四边形 ABCD 中， 得 DEAB, E点在 AB上， DE=AE=EB=a,求平行四边形 ABCD 的周长.学生试着自己完整的解决这道题 . 提醒学生们圆的面积公式 , 不要用错 . 注意: 不要忘记实际问题最后是需要答题 . 请学生谈一谈自己的收获和感受 , 适时地加以鼓励. EDCBA图 21.3-3利用这道题检测一下学生对将实际问题转化为数学问题的能力 , 以及计算能力. 激发学生的学习兴趣 , 向学生渗透热爱生活的思想教育 .教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页学习必备欢迎下载22.3 二次根式的加减（第3 课时）教学目标知识技能在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算数学思考对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用解决问题引导法，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法情感态度通过本节课的学习培养学生的类比思想. 重点混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用难点灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便课题： 22.3 二次根式的加减引例：检测题目：例题 1，2 小结：练习 1课后反思板书设计教学任务分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图活动一复习引入计算: （1）728；（2）68；（3）324. 问题 1: 6188应怎样计算 ? 乘法对加法的分配律依然可以应用吗 ?下面我们验证一下. 6188310625623226188310363461868活动二动手演练例 1 计算: （1）63278；（2）226324. 解: （1）632782334636278636278（2）226324323222163221242216324学生计算后提出问题 . 请同学们观察 , 这两种方法的结果是相同的. 可见 ,乘法对加法的分配律依然可以应用 . 教师与学生一起写出演算的具体过程 . 引入新课混合运算的内容. 由此推出 , 运算律在二次根式的混合运算中依然可以应用 . 使学生发现在计算中不知道的错误之处 . 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页学习必备欢迎下载问题与情境师生行为设计意图练习 1 计算：（1）532；（2）54080；（3）375212；（4）2363. 例 2 计算：（1）5232；（2）3535；（3）223. 解法: 略. 活动三自我检测练习 2 计算: （1）2535；（2）baba23；（3）2626；（4）7474；（5）2252. 活动四小结收获请你提醒大家 , 本节课所研究的内容 , 有什么需要特别记住的 , 有哪些地方是特别容易出错的 ? 1. 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；2. 计算结果最后一定要化成最简形式 . 作业：1. 计算：（1）2)5225(；（2）27)64148(. 2 已知13x，13y，求下列各式的值：（1）222yxyx；（2）22yx. 学生计算后 , 找俩名学生为全体学生讲解 . 学生小组探讨例2 的三个小题的解决方法 . 学生自己先在练习本上解出结果 , 然后 , 在集体对答案 , 自己给自己打分,找出不足之处 , 加以改正 . 请学生自己试着说出印象最深的内容 . 通过同学的讲解 , 激发学生的好胜心 , 提高学习兴趣和注意力 . 提高学生的合作意识和合作能力 , 充分发挥小组中每一个成员的作用 . 学生对分数非常敏感,因此, 让他们自己给自己打分, 他们会加倍注意错在什么地方 , 以后会记得很牢固. 使学生能够说出自己的错误 , 让全班学生引以为戒. 教学过程设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页