精品资料欢迎下载恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略A、两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1：( )mf x在xD上恒成立max( )mf x；思路 2：( )mf x在xD上恒成立min( )mf x如何在区间D上求函数( )f x的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性 、函数的图像 、二次函数的配方法、三角函数的有界性、 均值定理 、函数求导， 等等方法求函数( )f x的最值此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数( ) (0)yf xaxba，若( )yf x在, m n内恒有( )0f x，则等价于：()0( )0f mf n；同理，若在, m n内恒有( )0f x，则等价于：()0( )0f mf n例 3对于满足2a的所有实数a，求使不等式212xaxax恒成立的x的取值范围解：原不等式转化为：2(1)210xaxx在2a时恒成立，设2( )(1)21f axaxx，则( )f a在 2, 2上恒大于0，故有：( 2)0(2)0ff即2243010xxx，解得：3111xxxx或或；1x或3x，即x( , 1)(3,+ )2、二次函数型例 4若函数222( )(1)(1)1f xaxaxa的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意可知，当xR时，222(1)(1)01axaxa恒成立，当210a且10a时，1a；此时，222(1)(1)101axaxa，适合；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载当210a时，有222102(1)4(1)01aaaa即有221191090aaaa；综上所述，( )f x的定义域为R时，1, 9a例 5已知函数2( )3fxxaxa，在R上( )0f x恒成立，求a的取值范围分析 ：( )yf x的函数图像都在x轴及其上方，如右图所示：略解 ：224 34120aaaa，62a变式 1：若2,2x时，( )0f x恒成立，求a的取值范围分析 ：要使2,2x时，( )0f x恒成立，只需( )f x的最小值( )0g a即可解：22( )()324aaf xxa，令( )f x在2,2上的最小值为( )g a；当22a，即4a时，( )( 2)730g afa；73a，而4a，a不存在；当222a，即44a时，2( )()3024aag afa，62a；又44a，42a；当22a，即4a时，( )(2)70g afa，7a；又4a，74a；综上所述，72a变式 2：若2,2x时，( )2f x恒成立，求a的取值范围法一 ：分析：题目中要证明( )2f x在2,2上恒成立，若把2 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0 的问题略解 ：2( )320f xxaxa，即2( )10f xxaxa在2,2上成立；24 10aa，22 222 2a；2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载24(1)0(2)0( 2)02222aaffaa或；5222a；3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有：( )( )f xg a恒成立，则min( )( )g af x；若对于x取值范围内的任何一个数，都有：( )( )f xg a恒成立，则max( )( )g af x例 6已知三个不等式：2430xx，2680xx，2290xxm要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围略解 ：由得23x，要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2290xxm在(2, 3)x上恒成立，即229mxx在(2,3)x上恒成立，又229xx在(2,3)x上大于 9；所以：9m例 7函数( )f x是奇函数，且在 1, 1上单调递增，又( 1)1f，若2( )21f xtat对所有的 1, 1a都成立，求t 的取值范围解： 据奇函数关于原点对称，(1)1f；又因为( )f x在 1, 1是单调递增，所以max( )(1)1f xf；2( )21f xtat对所有的 1,1a都成立；因此，只需221tat大于或等于( )f x在 1, 1上的最大值1，2221120tattat；又对所有的 1, 1a都成立，即关于a的一次函数在 1, 1上大于或等于0 恒成立，222020220ttttttt或或即：(, 202,)t利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载若函数( )f x是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x：()( )fxf x（()( )fxf x）恒成立；若函数( )f x的周期为T，则对一切定义域中的x：( )()f xf xT恒成立5、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷例 8对任意实数x，不等式|1|2|xxa恒成立，求实数a的取值范围分析： 转化为求函数|1|2|yxx的最小值，画出此函数的图像即可求得a的取值范围解：令3, 11221, 123, 2xyxxxxx；在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x，不等式|1|2|xxa恒成立，只需3a；故实数a的取值范围是3（， ）本题中若将“|1|2|xxa”改为“|1|2|xxa” ；同样由图象可得3a利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法（一）换元引参，显露问题实质例 9对于所有实数x，不等式：2222224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa恒成立，求a的取值范围解： 因为22log1aa的值随着参数a的变化而变化，若设22log1ata，则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式2(3)220t xtxt恒成立”；这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：求解关于 t 的不等式组：230(2 )8 (3)0tttt；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载yy2y10 4 x解得0t，即有22log01aa，易得01a（二）分离参数，化归值域问题例 10若对于任意角总有2sin2cos410mm成立，求m的范围解： 此式是可分离变量型，由原不等式得2(2cos4)cosm，又cos20，则原不等式等价变形为2cos2cos2m恒成立故2m必须小于2cos( )cos2f的最小值，这样问题化归为怎样求2coscos2的最小值由2cos( )cos2f2(cos2)4(cos2)4cos24cos24cos2440；即cos0时，有最小值为0，故0m（三）变更主元，简化解题过程例 11若对于01m，方程2210xmxm都有实根，求实根的范围解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则2(2)(1)m xx，由原方程知2x，得212xmx；又01m，即21012xx；解之得11312x或11312x（四）图象解题，用好数形结合例 12设(0 4x，若不等式(4)xxax恒成立，求a的取值范围解： 若设1(4)yxx，则2211(2)4 (0)xyy表示为上半圆设2yax，为过原点，a为斜率的直线在同一坐标系内作出函数图像；依题意，半圆恒在直线上方时，只有0a时成立，即a的取值范围为0a例 13当(1, 2)x时，不等式2(1)logaxx恒成立，求a的取值范围解：设21(1)yx，2logayx，则1y的图像为右图是抛物线；要使对一切(1, 2)x，12yy恒成立，显然1a，并且必须也只需当2x时，2y的函数值大于等于1y的函数值；故log 21a，12a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载（五）合理联想，运用平几性质例 14不论k为何实数，直线1ykx与曲线2222240xyaxaa恒有交点，求a的范围解：22()42xaya，C（a，0） ，当2a时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，即点 A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有2124(2)aaa，得13a评析 ：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A（0，1） ，曲线为圆（六）分类讨论，避免重复遗漏例 15当| 2m时，不等式221(1)xm x恒成立，求x的范围解：使用| 2m的条件，必须将m分离出来，此时应对21x进行讨论当210x时，要使不等式2211xmx恒成立，只要22121xx，解得1312x；当210x时，要使不等式2211xmx恒成立，只要22121xx，解得1712x；当210x时，要使210x恒成立，只有1x；综上得171322x解法 2：可设2()(1)(21)f mxmx，用一次函数知识来解，则较为简单（七）构造函数，体现函数思想例 16设123(1)( )lgxxxxxnn af xn，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且2n，如果( )f x当(1x，时有意义，求a的取值范围解：本题即为对于(1x，有12(1)0xxxxnn a恒成立这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手；若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得121()()() (2)xxxnannnn，对于(1x，恒成立构造函数：121( )()( )() xxxng xnnn，则问题转化为求函数( )g x在(1x，上的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载由于函数( )() (121)xku xknn， ，在(1x，上是单调增函数，则( )g x在(1，上为单调增函数；于是有( )g x的最大值为：1(1)(1)2gn，从而可得1(1)2an四、巩固练习1对任意的实数x，若不等式12xxa恒成立，求实数a的取值范围2已知函数21( ) ()lg(22)xxf xmRm，对任意xR都有意义，求实数m的取值范围3已知( )f x是定义在(, 3的单调减函数， 且22(sin )(1cos)f axf ax对一切实数x成立，求实数a的取值范围4 当a、b满足什么条件时， 关于x的不等式22(1)(5)311xax abxx对一切实数x恒成立？5已知32( )f xxaxbxc，在1x与2x时，都取得极值；（1）求a、b的值； （2）若 3, 2x都有11( )2f xc恒成立，求实数c的取值范围答案： （ 1）32a，6b； （2）31302c或3132c6定义在定义域D内的函数( )yf x，若任意的12,x xD，都有12|()()| 1f xf x，则称函数( )yf x为“接近函数” ，否则称 “非接近函数” ，函数3( ) ( 1,1f xxxax,)aR是否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由解：因为12maxmin|()() | |f xf xff；函数3( ) ( 1,1f xxxax,)aR的导数是：2( )31fxx；当2310x即33x时，在3(0,)3x时，2( )310fxx，在3(, 1)3x时2( )310fxx；故( )f x在0, 1x内有极小值是32 3()39fa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载同理，( )f x在 1, 0x内有极大值是32 3()39fa；因为(1)( 1)ffa，所以函数3( ) ( 1,1f xxxax,)aR的最大值是2 39a，最小值是2 39a；故有：12maxmin4 2|()()| |19f xf xff；所以函数3( ) ( 1,1f xxxax,)aR是“接近函数” 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - 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