精品资料欢迎下载第三章 向量与线性方程组补充习题答案1设有三维列向量123211101 ,1,1 ,111问取何值时，（1）可由123,线性表示，且表达式惟一；（2）可由123,线性表示，且表达式不惟一；（3）不能由123,线性表示【解】设112233xxx，得线性方程组12231110111111xxx，其系数行列式2111111(3)111A（1）若03且，则方程组有惟一解，可由123,惟一地线性表示（2）若=0，则方程组有无穷多个解，可由123,线性表示，但表达式不惟一（3）若=-3，则方程组的增广矩阵211003-318A121303312112911290006033121129可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A不等秩，故方程组无解，从而不能由123,线性表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载2设向量组Ta)10,2,(1，T)5 , 1 ,2(2，.), 1(,)4, 1 , 1(3TTcb试问：当 a,b,c满足什么条件时，（1）可由321,线性表出，且表示唯一？（2）不能由321,线性表出？（3）可由321,线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。【解】设有一组数321,xxx，使得332211xxx，即cxxxbxxxxxax3213213214510212该方程组的系数行列式A.4451011212aa（1）当4a时，行列式A0，方程组有唯一解，可由321,线性表出，且表示唯一；（2）当 a=4 时，对增广矩阵作行初等变换，有1300012100101245101121124cbbbcbA若 3b-c1，则秩 r(A)秩 r(A), 方程组无解，不能由321,线性表出；（3）当 a=-4 且 3b-c=1 时，秩r(A)= 秩 r(A)=23，方程组有无穷多组解，可由321,线性表出，但表示唯一。解方程组，得Cx1，122bCx，123bx（C为任意常数） 。因此有.) 12()12(321bbCC3设).,3 ,1 (),3,2, 1(),1 , 1 , 1(321t（1）问当 t 为何值时，向量组321,线性无关？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载（2）问当 t 为何值时，向量组321,线性相关？（3）当321,线性相关时，将3表示为1和2的线性组合 . 【解】因为531321111,321tt，故当5t时，向量组321,线性无关；当 t=5 时，向量组321,线性相关。当 t=5 时，令22113xx，得方程组,53,32, 1212121xxxxxx解得.2, 121xx故.22134设向量12,t是齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系，向量不是方程组Ax=0 的解，即0A试证明：向量组12,t线性无关【解】设有一组数12,tk k kk，使得1110,tttiiiiiiiikkkkk即，上式两边同时左乘矩阵A,有110ttiiiiikkAkA因为0A，故1tiikk=0，从而，由式得1tiiik=0，由于向量组1,t是基础解系，所以120tkkk因而，由式得k=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载因此，向量组1,t线性无关5 设向量组123,线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) 122331,(B) 1223123,2(C) 1223312,23,3(D) 123123123,2322,355【】【解】1223311223123() :0,() :20,AB可见（ A） 、 （B）中向量线性相关， （C） 、 （D）不能直接观察得出，对于（C） ，令11222333122330,kkk即13112223322330kkkkkk，由于123,线性无关，故1312230,220,330.kkkkkk因上述齐次线性方程组的系数行列式101220120033，故方程组有惟一零解，即1230kkk，故（ C）中向量组线性无关，应选（C） 6设12,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s线性相关，则12,sAAA线性相关 . (B)若12,s线性相关，则12,sAAA线性无关 . (C) 若12,s线性无关，则12,sAAA线性相关 . (D) 若12,s线性无关，则12,sAAA线性无关 . 【】【解】记12(,)sB，则12(,)sAAAAB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载所以，若向量组12,s线性相关，则()r Bs，从而()()r ABr Bs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选( ). 7.设4维 向量 组TTT1231,1,1,1 ,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关 ?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【解】记以1234,为列向量的矩阵为A，则312341234(10)12341234aaAa aaa. 于是当0,010Aaa即或时，1234,线性相关 . 当0a时，显然1是一个极大线性无关组，且2131412,3,4；当10a时，12349234183412741236A，由于此时A有三阶非零行列式9231834000127，所以123,为极大线性无关组，且123441230，即. 8设齐次线性方程组,0,0,0321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足的条件是 . 【解】 当方程的个数与未知量的个数相同时，Ax=0 只有零解的充分必要条件是. 0A而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载2)1(1111111，所以应有.19k 为何值时，线性方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx，有惟一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解【解】用初等行变换化增广矩阵为阶梯形211411411022811241(4)00(4)2kkAkkkkkk k当1k和 4 时，有22k2k1001141k2k2k401401021k2k2k0010011k1kkkA这时方程组有惟一解：22122k2kk2k42k,1k1k1kxxx当 k=1 时，()2()3r Ar A，方程组无解当 k=4 时，有114410300114011400000000A，()( )23r Ar An, 故方程组有无穷多组解，这时，同解方程组为：13233 ,4.xxxx令3xc，得方程组的全部解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载30344101cxcxcc或，其中 c 为任意常数10设线性方程组123123123220,20,30,xxxxxxxxx的系数矩阵为A ，三阶矩阵BO，且ABO试求的值【解】令123(,)Bb b b，则由题设123123(,)(,)ABA b b bAbAbAbO，即0(1,2,3)jAbj又BO，所以12,b b b3不全为零，说明齐次线性方程组Ax=0有非零解，所以必有秩(A)3 ，从而A=0，即122210311解得111.设A是mn矩阵，0Ax是非齐次线性方程组Axb所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(A) 若0Ax仅有零解，则Axb有唯一解(B) 若0Ax有非零解，则Axb有无穷多个解(C) 若Axb有无穷多个解，则0Ax仅有零解(D) 若Axb有无穷多个解，则0Ax有非零解【】【解】由解的判定定理知，对Axb，若有秩()()AAr秩，则Axb一定有解进一步，若r=n，则Axb有唯一解；若rn，则Axb有无穷多解而对0Ax一定有解，且设秩(A)=r ，则若 r=n，0Ax仅有零解；若rn ，0Ax有非零解因此， 若Axb有无穷多解， 则必有秩()()AAr秩n，从而秩 (A)=rn ，0Ax有非零解，所以(D) 成立但反过来，若秩(A)=r=n( 或n) ，并不能推导出秩(A)= 秩( )A，所以Axb可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解12非齐次线性方程组Axb中未知量个数为n，方程个数为m ，系数矩阵A的秩为 r ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载(A) r=m时，方程组Axb有解(B) r=n时，方程组Axb有唯一解(C) m=n 时，方程组Axb有唯一解(D) rn时，方程组Axb有无穷多解【】【解】Axb有解的充要条件是：r Ar A b题设A 为mn矩阵，若rAm，相当于 A的 m个行向量现行无关，因此添加一个分量后得A b的 m个行向量仍线性无关，即有r Ar A b，所以Axb有解故（ A）成立对于（ B） 、 （C） 、 （D）均不能保证rAr A b，即不能保证有解，更谈不上唯一解或无穷多解13 设321,是四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解向量，且秩r(A)=3 ，T)4,3 ,2, 1 (1，T)3 ,2, 1 ,0(32，C表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解 X= (A) 11114321C. （B）32104321C. (C) 54324321C. (D) 65434321C 【解】由题设， r(A)=3 ，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为 4-3=1 ，即其任一非零解均可作为基础解系。又根据解的性质知)()()(231213210)5 ,4,3 ,2(T为对应齐次线性方程组的解，即可作为基础解系，从而线性方程组AX=b的通解为5432432154321CCX故正确选项为 (C). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页