一、名词解释1误差：设*x为准确值x的一个近似值， 称*()e xxx为近似值*x的绝对误差， 简称误差。2有效数字： 有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。如果近似值*x的误差限是1102n，则称*x准确到小数点后 n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。3. 算法： 是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。4. 向量范数： 设对任意向量nxR，按一定的规则有一实数与之对应，记为|x，若|x满足（1）| 0x，且|0x当且仅当0x；（2）对任意实数，都有| |x|x；（3）对任意,nx yR，都有| |xyxy则称|x为向量 x的范数。5. 插值法： 给出函数( )f x的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数( )x作为( )f x的近似的方法。6 相对误差： 设*x为准确值x的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x的相对误差，记为*()re x，即*()()re xexx7. 矩阵范数： 对任意 n 阶方阵 A，按一定的规则有一实数与之对应，记为|A。若|A满足（1）| 0A，且| 0A当且仅当0A；（2）对任意实数，都有| |A|A；（3）对任意两个 n 阶方阵 A,B,都有| |ABAB；（4）| |ABA|B称|A为矩阵 A 的范数。8 算子范数 ：设 A 为 n 阶方阵，| |是nR中的向量范数，则0|maxxAxAx是一种矩阵范数，称其为由向量范数| |诱导出的矩阵范数，也称算子范数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意 n 维向量 x ，都有| |AxA|x这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。10. 1范数，范数和2范数：（1）1范数11| | |niixx（2）范数1| |m ax | ii nxx（3）2范数222212|nxxxx二、简答题1高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。3. 雅可比（ Jacobi ）迭代法的计算过程（算法） ：（1）输入()ijAa，1(,)nbbb，维数 n，(0)(0)(0)(0)12(,)nxxxx，最大容许迭代次数 N。（2）置1k（3）对1,2,in( 0 )1() /niii jji ijjixba xa（4）若(0)xx，输出 x 停机；否则转 5。（5） kN ，置(0)1,(1,2, )iikk xxin，转 3，否则，输出失败信息，停机。4. 插值多项式的误差估计： （P102）由(1)(1)101( )( )( )( )()()()(1)!(1)!nnnnnffRxxxxxxxxnn当(0,1, )ixx in时，上式自然成立，因此，上式对 , a b上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。5. 反幂法的基本思想： 设 A 为阶非奇异矩阵，u 为 A 的特征值和相应的特征向量，则1A的特征值是 A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页11Auu因此，若对矩阵1A用幂法， ，即可计算出1A 的按模最大的特征值，其倒数恰为 A 的按模最小的特征值。6. 雅可比（ Jacobi ）迭代法是： 选取初始向量(0)x代入迭代公式(1 )()kkixBxg(0 , 1 , 2 ,k产生向量序列( )kx， 由上述计算过程所给出的迭代法。7. 数值计算中应注意的问题是：（1）避免两个相近的数相减（2）避免大数“吃”小数的现象（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值（4）要简化计算，减少运算次数，提高效率（5）选用数值稳定性好的算法8. 高斯消去法的计算量： 由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法nk 次，乘法()nk (1)nk次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数121()(1)(1)3nknnknkn除法次数11()(1)2nknnkn在回代过程中，计算kx需要(1)nk次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为1(1)(1)2nknnkn，所以，高斯消去法的乘除总运算量为322(1)(1)(1)32233nnnnnNnnnn9. 迭代法的收敛条件： 对任意初始向量(0)x和右端项g，由迭代格式(1)()kkxMxg(0 , 1 , 2 ,k产生的向量序列()kx收敛的充要条件是()1M。10. 迭代法的误差估计： 设有迭代格式(1)( )kkxMxg，若| 1M，( )kx收敛于*x，则有误差估计式()*(1)(0)|1 |KkMxxxxM。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页二、计算题1. 假定运算中数据都精确到两位小数，试求*1.21 3.659.81x的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？解：由式12121212121212()()()()()()rrre xxe xe xxxe xxe xe xxxxx和1221121212()()()()()()rrre x xx e xx e xe x xe xe x得*()3.65(1.21)1.21(3.65)(9.81)e xeee因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21102，故有*| ()|3.65 | (1.21)| 1.21 | (3.65) | (9.81) |e xeee*| ()|0.0293|() |0.0054|5.3935re xexx所以，*x的绝对误差限为 0.0293，相对误差限为 0.0054，计算结果有两位有效数字。2. 求矩阵223477245A的三角分解。解：由式111111(1,2, )(2, , )() /(1,2,1,1, )jjiijijikkjkjijijikkjjjkuajnual uin jinlal uujnijn，12122ua，13133ua2121114/22lau，3131112/12lau222221 127223ual u，2323211372 31ual u3232311222()/4( 1)2 / 32lal uu333331 133223()5(1)32 16ual ul u所以100223210031121006A21(3.651.211)100.02932精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页3用幂法（2k）求矩阵210021012A的按模最大的特征值和相应的特征向量。取(0)(0,0,0)Tx. （P77）解：(0)(0)(0,0,1)Tyx(1)(0)(0,1,2)TxAy, 2(1)(1)(0,0.5,1)Txy(2)(1)(0.5,2,2.5)TxAy，2. 54. 已知函数lnyx，x的值是 10,11,12,13,14 对应的lnyx的值分别是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391 。用 Lagrange线性插值求 ln11.5的近似值。解：取两个节点011x，112x，插值基函数为1001( )(12)xxlxxxx0110( )11xxlxxxx由式011010110( )xxxxxyyxxxx得1( )2.3979(12)2.4849(11)Lxxx将 x=11.5 代入，即得1ln11.5(11.5)2.39790.52.48490.52.4414L按式(1)1( )( )( )(1)!nnnfRxxn(,)a b得1(ln)( )(11)(12)2!xR xxx因为21(ln)xx，在 11 和 12 之间，故2211|(ln)|0.008264511x于是311|(11.5) |0.00826450.50.51.03306 102R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页5. 用 Jacobi迭代法（1k）求解线性方程组1231231231027210283542xxxxxxxxx. 解：由 Jacobi迭代法得计算公式(1)( )11nkkiiijjjiiiij ibxa xaa得(1)( )( )123(1)()( )213(1)( )( )3120.10.27.20.10.28.30.20.28.4kkkkkkkkkxxxxxxxxx取(0)(0,0,0)Tx，代入上式得(1)17.2x( 1 )28 . 3x( 1 )38 . 4x(2)10.1 8.30.2 8.47.29.71x(2)20.1 7.20.28.48.310.70x(2)30.27.20.28.38.411.50x6. 设有方程组Axb，其中111221112211122A，讨论用 Jacobi迭代法求解的收敛性。解：因为 A 为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A 为对称正定矩阵， A 不是弱对角占优阵，故不能判别Jacobi迭代的收敛性。易算出Jacobi迭代法的迭代矩阵为1110221102211022BIDA其特征方程311221113|22441122IB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页21() (1)02有根1212，31，因而( )1B。由向量序列( )kx收敛的充要条件是()1B，故Jacobi迭代法不收敛。7用反幂法（1k）求矩阵210021012A接近 2.93 的特征值，并求相应的特征向量，取(0)(0,0,0)Tx. 解：对2.93AI 作三角分解得0.93102.9300.931010.93AI1000 . 9 31001000 . 9 311101000.930.930.938. 已知函数lnyx，x的值是10,11,12,13,14 对应的lnyx的值分别是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391 。用 Lagrange抛物线插值求 ln11.5的近似值。解：取011x，112x，213x，插值多项式为2(12)(13)(11)(13)(11)(12)( )2.39792.48492.5649(11 12)(1113)(1211)(1213)(1311)(13 12)xxxxxxLx1.19895(12)(13)2.4849(11)(13)1.28245(11)(12)xxxxxx所以2ln11.5(11.5)L1.19895( 0.5)( 1.5)2.48490.5( 1.5)1.282450.5( 0.5)2.442275因为32(ln)xx，于是2311132max | (ln) |0.15031011xx因此用抛物线插值法计算的误差为2|(ln)|(11.5) |(11.511)(11.512)(11.513) |3!xR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页2510.1503 100.5 0.51.59.3938106查表可得 ln11.52.442347三、证明题1. 若x的近似值x1210.10 (0)mna aaa有n位有效数字，则111102na为其相对误差限。反之，若x的相对误差限r满足111102(1)nra，则x至少具有n位有效数字。证明：由式*1|102m nxx得*1| () | |102m ne xxx从而有*1*121110()12|()| |100.102m nnrmne xe xxa aaa所以111102na是*x的相对误差限。若111102(1)nra，由式*()|() | |rre xe xx得*12| () | |() | 0.10mrnre xx e xa aa111111(1) 1010102(1)2mnm naa由式*1|102m nxx，*x至少有 n 位有效数字。2. 设01,nxxx为1n个互异节点，( ),(0,1,)ilxi,n为这组点上的 Lagrange 插值基函数，试证明0( )1niilx。证明：上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为1。显然，函数( )1f x在这n+1 个节点处取值均为1，即()1iiyf x(0 , 1 ,in，由式0( )( )nni iiLxy lx知，它的 n次 Lagrange插值多项式为0( )( )nniiLxlx对任意 x，插值余项为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页(1)1( )( )( )( )( )0(1)!nnnnfRxf xLxxn所以0()()()1nniiLxlxf x3 设A为任意n阶方阵，为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则( )AA证明：对 A 的任一特征值i及相应的特征向量iu，都有|i| | | |iiiiuuAuA|iu因为iu为非零向量，于是有| | | |iA由i的任意性即得()| | |AA4. 设A为n阶方阵，则 lim0kkA的充分必要条件为()1A。证明：必要性。若lim0kkA由相关定义得l i m |kkA而0()() | |KKKAAA于是由极限存在准则，有l i m () kkA所以( )1A。充分性。若()1A，取1( )02A，由|( )AA,存在一种矩阵范数，使得1()|()12AAA而| |kkAA，于是l i m | | |l i m |kkkkAA所以l i m0kkA五、应用题1. 平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成的力学结构，它通常出现在桥梁结构和其他需要力学支撑的结构中。如图是一个简单的静力桁架结构，其中刚性元件（5m）通过精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页结 点,A B C D相 连 。 求 各 个 结 点 的 合 力 方 程 ， 并 求 出 当,36外 部 负 荷12250,1500gN gN时，求各个节点内力。解：设五个刚性元件的内力为125,fff，它们都处理为压力，如果解是负的，表明该力是张力。桁架的左边由固定结点A 支撑，右边由滑轮 D 支撑，678,fff是外部支撑力，12,gg是外部负荷。由于在静力平衡时，每个结点处的水平方向合力与垂直方向的合力为零，那么有结点 A12617cos0sin0fffff结点 B141134coscos0sinsin0ffgfff结点 C253200fffg结点 D4548cos0sin0ffff设f表示未知力向量，上述方程组可用矩阵表示为12cos10001000sin00000100cos00cos0000sin01sin0000001001000000100000000cos10000000sin00010gfg若取,36，外部负荷12250,1500gN gN。采用列主元素法，得各结点的内力如下：( 1174,837,1500,966.5,837, 250,1017, 483.3)Tf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页