精品资料欢迎下载第 5 讲 函数的奇偶性对称性周期性 2017.3.26 一、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数( )f x的定义域内的任意一个x，都有( )()f xfx，则称函数( )f x为偶函数；如果对于函数( )f x的定义域内的任意一个x，都有( )()f xfx，则称函数( )f x为奇函数。2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。3. 常用性质(1)0)(xf是既奇又偶函数；(2) 奇函数若在0x处有定义，则必有0)0(f；(3) 偶函数满足)()()(xfxfxf； (4)奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；(5)0)(xf除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数奇函数奇函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶奇函数偶函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数偶函数偶函数=偶函数(6) 任何函数)(xf可以写成一个奇函数2)()()(xfxfx和一个偶函数2)()()(xfxfx的和。4. 复合函数的奇偶性。性质 1、复数函数)(xgfy为偶函数，则)()(xgfxgf; 复合函数)(xgfy为奇函数，则)()(xgfxgf. 性质 2、复合函数)(axfy为偶函数，则)()(axfaxf; 复合函数)(axfy为奇函数，则)()(axfaxf. 性质 3、复合函数)(axfy为偶函数，则)(xfy关于直线x a 轴对称。复合函数)(axfy为奇函数，则)(xfy关于点 (a,0) 中心对称。练习 : 1. 已知函数)(xf是定义在R 上的偶函数 . 当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf2. 已知定义域为R的函数12( )2xxbfxa是奇函数(1)求,a b的值； (2)若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载3. 已知函数1( ).21xfxa，若fx为奇函数，则a_。4.已知)(xf在（ 1，1）上有定义，且满足),1()()()1 , 1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（ 1， 1）上为奇函数；5. 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_ 二、函数的对称性1. 函数自对称（1） 关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是)()(xfxf（2）若函数)(xfy关于点)0 ,(a对称，则以下四式成立且等价：)()(xafxaf)()2(xfxaf)()2(xfxaf)(axfy是奇函数（3）若函数)(xfy关于直线ax对称，则以下四式成立且等价：)()(xafxaf)()2(xfxaf)()2(xfxaf)(axfy是偶函数（4） 如果函数)(xfy对于一切xR, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(xfy的图像关于直线x=2ba对称（5）如果函数)(xfy对于一切x R, 都有bxafxaf2)()(成立 , 则函数)(xfy图像关于点),(ba对称2.两个函数的图象对称性（1）)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。（2）)(xfy与)( xfy关于y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。（3）)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。（4）)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。（5）)2(2)(xafbyxfy与关于点,a b对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点,a b对称。（6）)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。若)()(axfxf, 则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称 ;3. 几个常见的函数方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载（1） 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyfxf yfc. （2） 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x fyfa. （3） 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xf yf aaa. （4） 幂函数( )fxx,()( )( ),(1)fxyf x fyf. 三、函数的周期性定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，则)(xf的最小正周期为T，T 为这个函数的一个周期（说明： nT 也是)(xf的周期）注意： 关于函数的周期性的几个重要性质：1.如果函数)(xf是 R 上的奇函数，且最小正周期为T，那么0)2()2(TfTf2.如果函数)(xf所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期，如果函数)(xf的最小正周期为T 则函数)(axf的最小正周期为aT，如果)(xfy是周期函数，那么)(xfy的定义域无界3.若)0)()(TxfTxf)(xf是周期函数， T 是它的一个周期，说明：nT 也是)(xf的周期推广 ：若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期4.定义在 R 上的函数)(xf图象关于直线ax和bx)(ba对称，则)(xf是周期函数，)(2ab是它的一个周期推论 ：若定义在 R 上的偶函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期5.定义在R 上的函数)(xf图象关于点)0 ,(a和点)0,(b)(ba对称，则)(xf是周期函数，)(2ab是它的一个周期推论 ：若定义在R 上的奇函数)(xf的图象关于点)0 ,(a)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期6.定义在 R 上的函数)(xf图象关于直线ax和点)0,(b)(ba对称，则)(xf是周期函数，)(4ab是它一个周期推论 ：若定义在 R 上的奇函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a4是它的一个周期7.若 a 是非零常数，对于函数)(xfy定义域内的任一变量x，有下列条件之一成立，则函数yf(x)是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载周期函数，且2|a| 是它的一个周期：)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；)()(axfaxf8.) 1)( ,)(11)(xfxfaxf，则)(xf的周期 T=3a 9.)(1)(1)(xfxfaxf则)(xf的周期 T=4a；例 1. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且xfy的图象关于直线21x对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f(5)=_0_. 【考点分析 】本题考查函数的周期性解析：00ff得00f，假设0f n因为点（n ，0）和点（1,0n）关于12x对称，所以10f nfnfn因此，对一切正整数n 都有：0fn从而：123450fffff。本题答案填写：0 例 2. 已知( )f x是周期为2 的奇函数，当01x时，( )lg.f xx设63( ),( ),52afbf5(),2cf则（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab解： 已知( )f x是周期为2 的奇函数，当01x时，( )lg.fxx设644( )()( )555afff，311( )()( )222bfff，51( )()22cff0，b+c0，c+a0，证明： f（a） +f（b） +f（c）0。 （12 分）解：f（x）是定义域R 上的奇函数且为增函数。由 a+b0得 a-b ，由增函数f(a)f(-b)，且奇函数f （-b ） =-f （b ） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载得 f（a）+f （b）0 。同理可得f（b）+f （c） 0 ，f （c）+f （a）0 。相加得： f（a）+f （b ）+f （c）0 。例9 设 函 数f （ x ） 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 且 对 于 定 义 域 内 任 意 的21xx， 有)()()()(1)(122121xfxfxfxfxxf，试判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（12 分）解： )()()()()(1)(12122121xxfxfxfxfxfxxf)()()()()(1)()()()(12112212121xxfxfxfxfxfxfxfxfxf，设21xxx，则12xxx，f（-x ）=-f （x） ；又f（ x）的定义域关于原点对称，f（x ）为奇函数。例10. 设)(xf是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知22，x时，函数1)(2xxf，则26，x时，)(xf_ 例 11. 设)(xf是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(xfxf，当2,0x时22)(xxxf求证：)(xf是周期函数；当4, 2x时，求)(xf的解析式； (3) 算：)0(f)1 (f)2(f)2005(f例12. 已 知f(x) 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 ， 且,32)1 (,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f(2005)= . 例 13. 已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当 0x1 时，f(x)=x ，则 f(7.5)=_当堂练习 : 1. 定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,则_。2. 已知函数满足，则图象关于 _对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载3. 函数与函数的图象关于关于_对称。4. 设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于 _对称。5. 设函数的定义域为R， 且满足， 则的图象关于 _对称。图象关于 _对称。6. 设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于_对称，关于 _对称。7. 已知函数对一切实数x 满足，且方程有 5 个实根，则这5个实根之和为（）A、5 B、10 C、15 D、18 8. 已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根附参考答案：y 轴即： y 轴：C ：方程的根为共 9 个根作业：1.)(xf是定义在 R 上的偶函数，图象关于1x对称，对任意21,0,21xx， 有)(21xxf)()(21xfxf，且0)1 (af求)21(f；)41(f证明：)(xf是周期函数；2)(xf是定义在R 上的奇函数，且对一切Rx，恒有)23()23(xfxf求证：)(xf是周期函数；若2)1 (f，求)2(f)3(f的值。3.若存在常数0p， 使得函数)(xf满足)2()(ppxfpxf(Rx)， 则)(xf的一个正周期为_ 4.已知定义在R 上， 最小正周期为5 的函数( )f x满足()( )fxf x， 且( 3 ) 0f， 则在区间0,10内，方程( )0f x的解的个数至少为_个5. 定 义 在R上 的 偶 函 数( )f x， 满 足(2)(2)fxfx， 在 区 间 -2,0 上 单 调 递 减 ， 设(1.5),(2),(5)afbfcf，则, ,a b c的大小顺序为_ 6.定义在 R 上的函数)(xf满足xxxfxxfxf2)(2,0)(3)2(2时当， 则当)(,2,4xfx时的最小值是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页