文数课标版第五节椭圆1.椭圆的定义椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.教材研读教材研读(1)若ac,则集合P表示椭圆;(2)若a=c,则集合P表示线段;(3)若ab0)+=1(ab0)图形性质范围-axa,-byb-bxb,-aya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=,e(0,1)a、b、c间的关系c2=a2-b23.点点P(x0,y0)和椭圆的位置关系和椭圆的位置关系(1)P(x0,y0)在椭圆内+1.判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.()(4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(5)方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案答案A由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称,故|PM|=|PF|,所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r|OF|(r为圆O的半径).故由椭圆的定义可知,点P的轨迹为椭圆.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3答案答案A根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.3.椭圆x2+my2=1(m0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于()A.B.2C.4D.答案答案D由x2+=1(m0)及题意知,2=221,解得m=,故选D.4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案答案B2x2+3y2=m(m0)+=1,c2=-=,e2=,又0eb0),则有解得a=2,b2=3.故C的方程为+=1.考点一椭圆的定义及标准方程考点一椭圆的定义及标准方程典例典例1(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的 轨 迹 方 程 为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1(2)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1考点突破考点突破(3)已知F1、F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=.答案答案(1)D(2)A(3)3解析解析(1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=80,n0,mn)的形式.1-1一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案答案A设椭圆的标准方程为+=1(ab0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆方程为+=1.1-2设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为.答案答案x2+y2=1解析解析不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b0).又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质典例典例2(1)(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的 离 心 率 为()A. B. C.D.(2)已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值为.答案答案(1)A(2)解析解析(1)解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=.同理,OE的中点N的纵坐标yN=.因为2yN=yE,所以=,即2a-2c=a+c,所以e=.故选A.解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,PFy轴,=,=,又=,即=,a=3c,故e=.(2)由|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,=0,PMAM,即PM为A的切线,连接PA(如图),则|=,又P在椭圆上运动,当|min=5-3=2时,|min=.方法技巧方法技巧求椭圆离心率的常用方法:(1)直接求出a,c,利用定义求解.(2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.(3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.2-1(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭 圆 中 心 到l的 距 离 为 其 短 轴 长 的,则该椭圆的离心率为()A. B. C.D.答案答案B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB| , 即bc=a,所以e=.故选B.2-2已知F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一 个 动 点 , 那 么 |+| 的 最 小 值 是()A.0B.1C.2 D.2答案答案C设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0),+=(-2x0,-2y0),|+|=2=2.点P在椭圆上,01,当=1时,|+|取最小值,为2.考点三直线与椭圆的位置关系考点三直线与椭圆的位置关系典例典例3已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON,求直线l的方程.解析解析(1)依题意可得解得a=,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立得方程组消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以y1y2=k2x1x2-(x1+x2)+1=.因为OMON,所以=0,所以x1x2+y1y2=0,所以k=,即直线l的方程为y=(x-1).方法技巧方法技巧(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题,涉及弦中点的问题常用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(k为直线斜率,k0).提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.3-1(2016山西太原五中月考)已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为.答案答案x+2y-3=0解析解析解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2).由消去y得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,x1+x2=,又x1+x2=2,=2,解得k=-.故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦的端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则+=1,+=1,-得+=0,x1+x2=2,y1+y2=2,+y1-y2=0,k=-.此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.3-2已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是左、右焦点为M、N,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.