三重积分的概念及其计算法三重积分的概念及其计算法第四节第四节重积分的概念及其计算法课件复习复习 二重积分的概念二重积分的概念设函数设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域在平面有界闭区域D上上有界有界，将将 D 任意任意分成分成 n 个无公共内点的小区域个无公共内点的小区域每个小区域的面积记作每个小区域的面积记作在每个小区域上在每个小区域上任意任意取一点取一点作和式作和式如果上述和式的如果上述和式的极限存在极限存在，点点Pi 的取法的取法无关无关，并且与区域并且与区域 D 的分法及的分法及则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x,y) 在在区域区域 D 上的上的二重积分二重积分，记作记作此时也称函数此时也称函数 f(x, y) 在区域在区域 D 上是上是可积的可积的即即重积分的概念及其计算法课件一、三重积分的概念一、三重积分的概念1. 定义定义 设函数设函数 f (x,y,z)在空间有界闭区域在空间有界闭区域上上有界有界，将将 任意任意 分成分成 n个无公共内点的小区域个无公共内点的小区域每个小区域的体积记作每个小区域的体积记作在每个小区域上在每个小区域上任意任意 取一点取一点如果上述和式的如果上述和式的极限存在极限存在， 并且与区域并且与区域的分法及的分法及则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x,y,z) 在在记作记作此时也称函数此时也称函数 f(x,y,z) 在区域在区域 上是上是可积的可积的作和式作和式点点Pi 的取法的取法无关无关，区域区域上的上的三重积分三重积分，重积分的概念及其计算法课件由定义由定义其中：其中： f (x,y,z) 称为称为被积函数被积函数， 称为称为积分区域积分区域， f (x,y,z)dv 称为称为被积表达式被积表达式， dv 称为称为体积元素体积元素， 积分和积分和2. 函数可积的条件函数可积的条件 可以证明：如果可以证明：如果 f (x,y,z) 闭区域闭区域 上连续，上连续， 则则 f (x,y,z) 在在上可积上可积 特别地：如果特别地：如果 f (x,y,z) 1， 则有则有 三重积分有与二重积分三重积分有与二重积分完全类似完全类似 的性质的性质 重积分的概念及其计算法课件二、三重积分的直角坐标计算法二、三重积分的直角坐标计算法 故在空间直角坐标系下故在空间直角坐标系下体积元素体积元素为：为： 从而在直角坐标系下三重积分可表示为从而在直角坐标系下三重积分可表示为 与二重积分与二重积分类似类似， 三重积分可化为三重积分可化为三次积分三次积分 进行计算进行计算重积分的概念及其计算法课件设区域设区域 的下、上的下、上边界曲面界曲面 方程为方程为求积分求积分 重积分的概念及其计算法课件三次积分三次积分 注意积分区域注意积分区域 的特点的特点重积分的概念及其计算法课件重积分的概念及其计算法课件先关于先关于z 积分积分故故 重积分的概念及其计算法课件先关于先关于x 积分积分故故 重积分的概念及其计算法课件666x+y+z=63x+y=62x0z y ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 重积分的概念及其计算法课件666x+y+z=63x+y=62x0z y ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 重积分的概念及其计算法课件3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42 ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 重积分的概念及其计算法课件3x+y=63x+2y=12x+y+z=666426x0z y ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 重积分的概念及其计算法课件z = 0y = 042x+y+z=6666x0z y ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 重积分的概念及其计算法课件42666.D0y x624D.x0z yx+y+z=6 ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 重积分的概念及其计算法课件y2=xxyzo例例3 将将 化为三次积分化为三次积分 重积分的概念及其计算法课件y2=xxyzo例例3 将将 化为三次积分化为三次积分 重积分的概念及其计算法课件例例3 将将 化为三次积分化为三次积分, z = 0y=0xyzo 。0y xy2=xD重积分的概念及其计算法课件例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， 1x+ y=1yozx1z=xy.重积分的概念及其计算法课件例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， z =01x+ y=1ozx1yz=xy.重积分的概念及其计算法课件例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， 11z =0ozxx+ y=1y z=xy.重积分的概念及其计算法课件三重积分的截面计算法三重积分的截面计算法即即 重积分的概念及其计算法课件重积分的概念及其计算法课件解解重积分的概念及其计算法课件三、三重积分的柱面坐标计算法三、三重积分的柱面坐标计算法0xz yM(x,y,z) rN(x,y,0)xyz设点设点 M(x, y, z) 是空间任一点，是空间任一点， .故点故点 M(x, y, z)且有：且有：r 由图可知直角坐标与柱面坐标的关系：由图可知直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标柱面坐标，记作，记作 可以证明柱面坐标系下的可以证明柱面坐标系下的体积元素体积元素为：为：圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面重积分的概念及其计算法课件由前面的讨论可知：由前面的讨论可知：在柱面坐标系下三重积分可表示为在柱面坐标系下三重积分可表示为解解 重积分的概念及其计算法课件10xz yDxy1解解 重积分的概念及其计算法课件0xz y1Dxy11解解 重积分的概念及其计算法课件解解所围立体所围立体1在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域D1为：为： 积分区域积分区域 如图，如图， 重积分的概念及其计算法课件所围立体所围立体2在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域 D2为：为：重积分的概念及其计算法课件四、三重积分的球面坐标计算法四、三重积分的球面坐标计算法0xz yM(r, , )r Nyxz 空间任一点空间任一点 M 还可用还可用球面坐标球面坐标 由图可知直角坐标与由图可知直角坐标与圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面且且球面坐标的关系球面坐标的关系:重积分的概念及其计算法课件可以证明球面坐标系下的可以证明球面坐标系下的体积元素体积元素为为: 从而在球面坐标系下三重积分可表示为从而在球面坐标系下三重积分可表示为 重积分的概念及其计算法课件解解一、直角坐标系下一、直角坐标系下 二、柱面坐标系下二、柱面坐标系下 三、球面坐标系下三、球面坐标系下 重积分的概念及其计算法课件重积分的概念及其计算法课件重积分的概念及其计算法课件解解重积分的概念及其计算法课件例例13 解解 (1) 重积分的概念及其计算法课件例例13 解解 (2) 重积分的概念及其计算法课件重积分的概念及其计算法课件三重积分在物理上的应用三重积分在物理上的应用1. 空间立体的质量、重心空间立体的质量、重心 则立体的质量为则立体的质量为 重心坐标为重心坐标为 当立体是均匀的，当立体是均匀的，重心也称为重心也称为形心形心.重积分的概念及其计算法课件2. 空间立体的转动惯量空间立体的转动惯量 重积分的概念及其计算法课件补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的奇偶性的奇偶性重积分的概念及其计算法课件解解 积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数，重积分的概念及其计算法课件解解重积分的概念及其计算法课件重积分的概念及其计算法课件一、重积分的概念及性质，函数可积的条件一、重积分的概念及性质，函数可积的条件二、重积分的计算二、重积分的计算1. 二重积分的计算二重积分的计算 (1) 直角坐标计算法直角坐标计算法 (2) 极坐标计算法极坐标计算法2. 三重积分的计算三重积分的计算 (1) 直角坐标计算法直角坐标计算法 (2) 柱面坐标计算法柱面坐标计算法 (3) 球面坐标计算法球面坐标计算法 注意注意 各种坐标与直角坐标的关系各种坐标与直角坐标的关系三、重积分的应用三、重积分的应用1. 数学上的应用数学上的应用 (1) 平面区域的面积；平面区域的面积； (2) 空间立体的体积；空间立体的体积； (3)曲面曲面的面积的面积2. 物理上的应用物理上的应用 质量、重心、转动惯量质量、重心、转动惯量本章小结本章小结注意注意 积分次序的选择积分次序的选择 重积分的概念及其计算法课件